不変理論

不変式理論は、関数への影響の観点から、ベクトル空間などの代数多様体への群の作用を扱う抽象代数学の一分野です。古典的には、この理論は、与えられた線型群からの変換の下で変化しない、つまり不変である多項式関数の明示的な記述の問題を扱っていました。たとえば、左乗法による n 行 n 列の行列の空間への特殊線型群 SL n の作用を考えるとき、AがSL nにある_とき、AX_の行列式はXの行列式に等しいため、 行列式はこの作用の不変量です。

を群、体上の有限次元ベクトル空間(古典的な不変理論では複素数であると仮定されることが多い)とします。におけるの表現は群準同型であり、への群作用を誘導します。 が上の多項式関数の空間である場合、へのの群作用は、次の式によってへの作用を生成します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k[V]}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k[V]}$

${\displaystyle (g\cdot f)(x):=f(g^{-1}(x))\qquad \forall x\in V,g\in G,f\in k[V].}$

この作用では、この群作用の下で不変であるすべての多項式関数の部分空間、つまりすべての に対してとなる多項式の集合を考えるのが自然です。この不変多項式の空間は と表されます。 ${\displaystyle g\cdot f=f}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle k[V]^{G}}$

不変量理論の第一問題: ^[1]有限生成代数は上にあるか? ${\displaystyle k[V]^{G}}$${\displaystyle k}$

たとえば、と正方行列の空間があり、へのの作用が左乗法で与えられる場合、 は1 変数の多項式代数と同型で、行列式によって生成されます。言い換えると、この場合、すべての不変多項式は、行列式多項式のべき乗の線形結合です。したがって、この場合、は 上で有限生成されます。 ${\displaystyle G=SL_{n}}$${\displaystyle V=M_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k[V]^{G}}$${\displaystyle k[V]^{G}}$${\displaystyle k}$

答えが「はい」の場合、次の質問は、最小基底を見つけ、基底要素間の多項式関係のモジュール（シジジーと呼ばれる）が 上で有限生成されるかどうかを尋ねることです。 ${\displaystyle k[V]}$

有限群の不変量理論はガロア理論と密接な関係がある。最初の主要な成果の 1 つは、対称関数に関する主定理であり、変数の置換によって多項式環に作用する対称群 の不変量を記述した。より一般的には、シュヴァレー・シェパード・トッドの定理は、不変量の代数が多項式環である有限群を特徴付ける。有限群の不変量理論の現代の研究では、生成子の次数の明示的な境界など、「有効な」結果が強調されている。モジュラー表現理論に思想的に近い正特性のケースは、代数位相幾何学とのつながりを持つ活発な研究分野である。 ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle R[x_{1},\ldots,x_{n}}$

無限群の不変量論は、線型代数学、特に二次形式と行列式の理論の発展と密接に結びついています。相互に強い影響を与えたもう1つの主題は射影幾何学であり、そこでは不変量論が資料の整理に大きな役割を果たすと期待されていました。この関係のハイライトの1つは記号法です。半単純リー群の表現論は不変量論にそのルーツがあります。

不変量代数の有限生成の問題に関するデイヴィッド・ヒルベルトの研究 (1890) は、抽象代数という新しい数学の分野を生み出すことになった。ヒルベルトの後期の論文 (1893) では、同じ問題がより構成的かつ幾何学的な方法で扱われたが、デイヴィッド・マンフォードが1960 年代に、はるかに一般化され現代的な形で、幾何学的不変量理論においてこれらのアイデアを復活させるまで、ほとんど知られていなかった。マンフォードの影響を大きく受けて、不変量理論の主題は、アフィン多様体および射影多様体への線型代数群の作用の理論を包含すると見なされている。19 世紀の古典的な構成的および組合せ的方法にまで遡る、不変量理論の明確な流れは、ジャン＝カルロ・ロータと彼の学派によって発展してきた。このアイデアの輪の顕著な例は、標準単項式の理論である。

不変理論の簡単な例は、群の作用から不変単項式を計算することから得られる。例えば、送信 時の-作用を考える。${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\mapsto -x&&y\mapsto -y\end{aligned}}}$

そして、不変な最低次単項式なので、 ${\displaystyle x^{2},xy,y^{2}}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }\cong \mathbb {C} [x^{2},xy,y^{2}]\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}}$

この例は、多くの計算を行うための基礎となります。

ケイリーは「線型変換の理論について（1845年）」で初めて不変理論を確立した。論文の冒頭で、ケイリーはジョージ・ブールの1841年の論文を引用し、「ブール氏による同じ主題に関する非常に洗練された論文によって、調査の示唆を得た」と述べている。（ブール氏の論文は「線型変換の一般理論の説明」、ケンブリッジ数学ジャーナル。）^[2]

古典的には、「不変理論」という用語は、線型変換の作用に対する不変代数形式（対称テンソルと同義）の研究を指します。これは 19 世紀後半の主要な研究分野でした。対称群と対称関数、可換代数、モジュライ空間、リー群の表現に関する現在の理論は、この分野に根ざしています。

より詳しくは、次元nの有限次元ベクトル空間 Vが与えられれば、 V上の次数rの多項式の対称代数S ( S r ⁽ V ) ) と、それに対する GL( V )の作用を考えることができます。不変量について話す場合、実際には GL( V )の相対不変量、または SL( V ) の表現を考える方が正確です。これは、恒等式のスカラー倍数が、スカラーのr乗の「重み」を通じてS( V ) の階数rのテンソルに作用するためです。ポイントは、作用に対する不変量の部分代数I ( S ^r ( V )) を定義することです。古典的な言葉で言えば、 n元r個の不変量(nはVの次元) を見ていることになります。 (これは、GL( V ) の S( V ) 上の不変量を見つけることと同じではありません。このような不変量は定数だけなので、これは興味深い問題ではありません。) 最も研究されたケースは、n = 2のバイナリ形式の不変量でした 。

その他の研究には、フェリックス・クラインによる、ADE 分類によって分類された二元多面体群に対する有限群作用の不変環の計算が含まれる。これらはデュ・ヴァル特異点の座標環である。 ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$

デイヴィッド・ヒルベルトの研究は、 I ( V ) が多くの場合有限に提示されることを証明し、数十年にわたって古典的な不変量理論に終止符を打ったが、この分野の古典的な時代は、50年以上後のアルフレッド・ヤングの最後の出版物まで続いた。特定の目的のための明示的な計算は、現代でも知られている（たとえば、塩田のバイナリオクタビック計算）。

ヒルベルト（1890）は、Vが複素代数群G = SL _n ( C )の有限次元表現である場合、多項式環R = S ( V )に作用するGの不変量環は有限生成であることを証明した。彼の証明は、RからR ^Gへのレイノルズ作用素ρを使用し、次の性質を持つ。

• ρ (1) = 1
• ρ ( a + b ) = ρ ( a ) + ρ ( b )
• aが不変量である場合、 ρ ( ab ) = a ρ ( b )となります。

ヒルベルトはケイリーのオメガ過程Ω を使用してレイノルズ演算子を明示的に構築しましたが、現在では ρ を次のように間接的に構築する方が一般的です。コンパクト群Gの場合、レイノルズ演算子はG上の平均を取ることで与えられ、非コンパクトな簡約群はワイルのユニタリアントリックを使用してコンパクト群の場合に簡約できます。

レイノルズ作用素が与えられれば、ヒルベルトの定理は次のように証明される。環Rは多項式環なので次数で次数付けされ、イデアルI は正次数の同次不変量によって生成されるイデアルとして定義される。ヒルベルトの基底定理により、イデアルI は有限生成 (イデアルとして) である。したがって、I はG の有限個の不変量に​​よって有限生成(なぜなら、有限生成イデアルIを生成する任意の (無限の場合もある) 部分集合Sが与えられた場合、I はすでにSの有限部分集合によって生成されているからである)。i ₁ ,..., i _{n を}I を生成するGの不変量の有限集合とする(イデアルとして)。重要なアイデアは、これらが不変量の環R ^{G を}生成することを示すことである。 x が次数d  > 0 の同次不変量であるとする。すると

x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n

環Rの任意のa _jに対して、 x はイデアルIに含まれるため、成り立つ。任意のjに対して、a _{j は}次数d − deg i _jの同次成分であると仮定できる（そうでない場合は、 a _{j を}次数d − deg i _jの同次成分で置き換える。任意のjに対してこれを行うと、方程式x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _{n は}有効なままである）。ここで、レイノルズ演算子をx = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _nに適用すると、次の式が得られる 。

x = ρ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ ( a _n ) i _n

ここで、 x がi ₁ ,..., i _nによって生成されるR代数に含まれることを示します。

まず、要素 ρ( a _k ) の次数がd未満の場合について考えてみましょう。この場合、それらはすべてi ₁ ,..., i _nによって生成されたR代数内にあります(帰納法の仮定により)。したがって、xもこのR代数内にあります ( x = ρ ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ( a _n ) i _nであるため)。

一般的なケースでは、要素 ρ( a _k ) がすべてd未満の次数を持つとは断言できません。しかし、各 ρ( a _k ) を次数d − deg i _jの同次成分で置き換えることができます。結果として、これらの修正された ρ( a _k ) は依然としてG不変量であり ( G不変量のすべての同次成分はG不変量であるため)、次数はd未満です(deg i _k > 0であるため)。方程式x = ρ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ( a _n ) i _{n は}依然として修正された ρ( a _k ) に対して成り立つため、 x はi ₁ ,..., i _nによって生成されるR代数に存在すると再び結論付けることができます。

したがって、次数に関する帰納法により、R ^Gのすべての要素は、 i ₁、...、i _nによって生成されるR代数に含まれます。

幾何学的不変理論の現代的な定式化はデイビッド・マンフォードによるもので、座標環を通して不変情報を捕捉するべき群作用による商の構成を強調している。これは、いくつかの「悪い」軌道を排除し、他の軌道を「良い」軌道と同一視することで成功するという点で、微妙な理論である。別の展開として、明らかにヒューリスティックな組み合わせ表記法である不変理論の記号的方法が復活した。

1 つの動機は、代数幾何学におけるモジュライ空間を、マークされたオブジェクトをパラメータ化するスキームの商として構築することであった。1970 年代と 1980 年代に、この理論はシンプレクティック幾何学や同変位相との相互作用を発展させ、インスタントンやモノポールなどの微分幾何学におけるオブジェクトのモジュライ空間の構築に使用された。

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