アルティニアンモジュール

数学、特に抽象代数学において、アルティン加群は、部分加群の半集合上で下降連鎖条件を満たす加群である。加群に対するアルティン環の役割は環に対するアルティン環の役割と同じであり、環がアルティン環であるためには、環自体に対するアルティン加群（左乗法または右乗法）である必要がある。どちらの概念も、エミール・アルティンにちなんで名付けられた。

(従属)選択公理が存在する場合、下降連鎖条件は最小条件と同等になるため、代わりに定義でそれを使用することができます。

ネーター加群と同様に、アルティン加群は次の遺伝特性を持ちます。

• M がアルティニアンR加群である場合、 Mの任意のサブ加群と任意の商もアルティニアン R 加群です。

逆もまた成り立ちます:

• M が任意のR加群であり、N がM / Nが Artinian となる任意の Artinian サブ加群である場合、Mは Artinian です。

結果として、アルティン環上の任意の有限生成加群はアルティンである。 ^[1]アルティン環はネーター環でもあり、ネーター環上の有限生成加群はネーターであるため、^[1]アルティン環Rに対して、任意の有限生成R加群はネーターとアルティンの両方であり、有限長であると言われることは真である。また、 Rがアルティンであるという仮定がなくても、任意の有限生成アルティン加群はネーターであることがわかる。しかし、 Rがアルティンでなく、M が有限生成でない場合は、反例がある。

環R は右加群とみなすことができ、その作用は右の環乗法によって与えられる自然な作用である。 この右加群Rがアルティニアン加群である場合、 R は右アルティニアンと呼ばれる。「左アルティニアン環」の定義も同様に行われる。非可換環の場合、この区別は必要である。なぜなら、環の一方側がアルティニアンであっても、もう一方がアルティニアンでない可能性があるからである。

モジュールMは通常、最初に左または右のRモジュールとして与えられるため、左-右の形容詞は通常モジュールには必要ありません。ただし、 M が左と右の両方のRモジュール構造を持つ可能性があり、その場合M をArtinian と呼ぶのは曖昧になり、どちらのモジュール構造が Artinian であるかを明確にする必要があります。2 つの構造の特性を区別するために、用語を乱用してMを左 Artinian または右 Artinian と呼ぶことがありますが、厳密に言えば、左Rモジュール構造を持つM はArtinian であると言うのが正しいです。

左構造と右構造を持つ加群の出現は珍しいことではありません。たとえば、R自体は左 R 加群と右R加群の構造を持っています。実際、これは双加群の例であり、アーベル群 M を別の環Sの左R、右S双加群にすることは可能です。実際、任意の右加群Mは自動的に整数環Z上の左加群であり、さらにZ - R双加群でもあります。たとえば、有理数Q を自然な方法でZ - Q双加群として考えてみましょう。すると、 Q は左Z加群としてはアルティニアンではありませんが、右Q加群としてはアルティニアンです。

アルティニアン条件は、双加群構造にも定義できます。アルティニアン双加群とは、サブ双加群のポセットが降順連鎖条件を満たす双加群のことです。R - S 双加群 M のサブ双加群は、なおさら左 R 加群であるため、左R加群として考えられたM がアルティニアンであれば、Mは自動的にアルティニアン双加群になります。ただし、次の例に示すように、双加群の左または右の構造がアルティニアンでなくても、双加群がアルティニアンである場合があります。

例:単純環が左アルティニアンである場合、かつその場合のみそれが右アルティニアンであり、その場合それは半単純環であること はよく知られています。R を右アルティニアンではない単純環とします。その場合、それは左アルティニアンでもありません。R を自然な方法でR - R双加群と見なすと、そのサブ双加群はまさにRのイデアルです。Rは単純であるため、 Rと零イデアルの2 つしかありません。したがって、双加群Rは双加群としてはアルティニアンですが、それ自身の左または右R加群としてはアルティニアンではありません。

環の場合とは異なり、ノイザン加群ではないアルティン加群が存在します。たとえば、のp主成分、つまり を考えます。これは、 -加群と見なされるp準巡回群と同型です。この連鎖は終了しないため、(したがって) はノイザンではありません。しかし、(一般性を失うことなく) 適切なサブ加群のすべての下降連鎖は終了します。このような各連鎖は、 いくつかの整数 に対して の形を持ち、 を含めることはがを割り切ることを意味します。正の整数の減少するシーケンスも同様です。したがって、シーケンスは終了し、アルティンになります。 ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \langle 1/p\rangle \subset \langle 1/p^{2}\rangle \subset \langle 1/p^{3}\rangle \subset \cdots }$${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \langle 1/n_{1}\rangle \supseteq \langle 1/n_{2}\rangle \supseteq \langle 1/n_{3}\rangle \supseteq \cdots }$${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},\ldots }$${\displaystyle \langle 1/n_{i+1}\rangle \subseteq \langle 1/n_{i}\rangle }$${\displaystyle n_{i+1}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},\ldots }$${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$

も忠実な加群であることに注意してください。したがって、これは非アルティン環上の忠実なアルティン加群の例でもあります。これはネーターの場合は起こりません。MがA上の忠実なネーター加群である場合、A もネーターです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

可換環上では、すべての巡回アルティン加群はノイザンでもありますが、非可換環上では、巡回アルティン加群はハートリーの論文で示され、ハートリーを偲んでポール・コーンが書いた論文でうまくまとめられているように、無数の長さを持つことがあります。

もう一つの関連する結果は、秋月・ホプキンス・レビツキーの定理であり、これは、半一次環上の加群に対してアルティン条件とネーター条件が同値であることを述べている。

• ネーターモジュール
• 昇順/降順チェーン条件
• 作曲シリーズ
• クルル次元

• Atiyah, MF ; Macdonald, IG (1969)。「第 6 章 連鎖条件、第 8 章 アルティン環」。可換代数入門。Westview Press。ISBN 978-0-201-40751-8。
• Cohn, PM (1997). 「合成級数のない巡回アルティニアン加群」. J. London Math. Soc . シリーズ 2. 55 (2): 231–235. doi :10.1112/S0024610797004912. MR  1438626.
• Hartley, B. (1977). 「Min-nを満たす非可算アルティン加群と非可算可溶群」Proc. London Math. Soc . Series 3. 35 (1): 55–75. doi :10.1112/plms/s3-35.1.55. MR  0442091.
• テキサス州ラム (2001)。 「第1章 ウェダーバーン＝アーティン理論」。非可換環の最初のコース。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 978-0-387-95325-0。