クルル次元

可換代数において、可換環Rのクルル次元は、ヴォルフガング・クルルにちなんで名付けられ、素イデアルのすべての鎖の長さの上限です。クルル次元は、ネーター環であっても有限である必要はありません。より一般的には、クルル次元は、可換でない環上の加群に対して、部分加群の半順序集合の偏差として定義できます。

クルル次元は、代数多様体の次元を代数的に定義するために導入されました。多項式環R内のイデアルIによって定義されるアフィン多様体の次元は、R / Iのクルル次元です。

体kの クルル次元は 0 です。より一般的には、k [ x ₁ , ..., x _n ] のクルル次元はnです。体ではない主イデアル整域のクルル次元は 1 です。局所環のクルル次元が 0 であるのは、その極大イデアルのすべての要素が冪零である場合のみです。

環の次元を定義するために用いられてきた方法は他にもいくつかある。それらのほとんどは、ネーター環のクルル次元と一致するが、ネーター環以外の環では異なる場合がある。

素イデアルの連鎖は次の形式であると言います。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}$長さ があります${\displaystyle n}$つまり、長さは素数の数ではなく、厳密な包含関係の数です。これらは次のように異なります。${\displaystyle 1}$クルル次元を定義します。${\displaystyle R}$素イデアルのすべての鎖の長さの上限となる${\displaystyle R}$。

素イデアルが与えられた場合${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$で${\displaystyle R}$我々は定義する高さ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$書かれた${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})}$素イデアルのすべての鎖の長さの上限となる${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$つまり、${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}}$^{[ 1 ]} つまり、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$は、局在化のクルル次元である。${\displaystyle R}$で${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$素イデアルの高さがゼロになるのは、それが極小素イデアルである場合に限る。環のクルル次元は、すべての極大イデアルの高さ、またはすべての素イデアルの高さの上限である。高さは、素イデアルの余次元、ランク、または高さとも呼ばれることがある。

ネーター環では、すべての素イデアルは有限の高さを持つ。しかしながら、永田は無限クルル次元のネーター環の例を示した。^{[ 2 ]}環は、包含関係が成り立つ場合に懸垂線と呼ばれる。${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}}$素イデアルの列は、素イデアルの最大列に拡張できます。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$、およびその間の任意の2つの最大鎖${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ そして${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$長さは同じである。環は、その上の任意の有限生成代数がカテナリーである場合、普遍的にカテナリーであると呼ばれる。永田は、カテナリーではないネーター環の例を挙げた。^{[ 3 ]}

ネーター環において、素イデアルの高さは最大で${\displaystyle n}$それは、${\displaystyle n}$要素（クルルの高さ定理とその逆）。^{[ 4 ]}これは、素イデアルに対して下降鎖条件が成り立ち、素イデアルから下降する鎖の長さは素イデアルの生成子の数によって制限されることを意味する。^{[ 5 ]}

より一般的には、理想の高さ${\displaystyle I}$ は、すべての素イデアルの高さの下限であり、${\displaystyle I}$代数幾何学の言葉で言えば、これは部分多様体の余次元である。${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$に対応する${\displaystyle I}$[ ^{1 ]​}

環Spec( R ) のスペクトルの定義、すなわちザリスキ位相を備えたRの素イデアルの空間の定義から、 Rのクルル次元は位相空間としてのスペクトルの次元に等しいことが容易に導かれる。これは、既約閉部分集合のすべての鎖の長さの上限を意味する。これは、 Rのイデアルと Spec( R ) の閉部分集合との間のガロア関係と、Spec( R )の定義により各素イデアルが${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$Rの は、 に関連付けられた閉部分集合の一般的な点に対応します。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ガロアとの関連で。

• 体k [ x ₁ , ..., x _n ] 上の多項式環の次元は、変数の数nです。代数幾何学の言葉で言えば、これは、体上の次元nのアフィン空間の次元が、予想どおりnであることを意味します。一般に、Rが次元nのネーター環である場合、 R [ x ] の次元はn + 1 です。ネーター仮説を放棄すると、R [ x ] の次元はn + 1 から 2 n + 1の間の任意の値になります。
• 例えば、理想的な${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]}$素イデアルの最大昇順鎖を形成できるため、高さは2になります。${\displaystyle (0)={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq (y^{2}-x)={\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq (y^{2}-x,y)={\mathfrak {p}}_{2}={\mathfrak {p}}}$。
• 既約多項式が与えられた場合${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x,y,z]}$理想的な${\displaystyle I=(f^{3})}$素数ではない（なぜなら${\displaystyle f\cdot f^{2}\in I}$（ただし、どちらの因子もそうではない）だが、最小の素イデアルを含むので、高さは簡単に計算できる。${\displaystyle I}$はただ${\displaystyle (f)}$。
• 整数環Zの次元は1である。より一般的に言えば、体ではない任意の主イデアル整域の次元は1である。
• 整域が体であるのは、そのクルル次元がゼロである場合に限る。体ではないデデキント整域（例えば、離散付値環）は次元が1である。
• ゼロリングのクルル次元は、通常、次のように定義される。${\displaystyle -\infty }$または${\displaystyle -1}$ゼロ環は、負の次元を持つ唯一の環である。
• 環がアルティン環であるのは、それがネーター環であり、かつクルル次元が0以下である場合に限る。
• リングの完全拡張部分は、元のリングと同じ寸法を持つ。
• R を体k上の代数で、k が整域であるとする。このとき、R のクルル次元は、Rのk上の分数体の超越度以下である。^{[ 6 ]} R が代数として有限生成である場合（例えば、ノーター正規化補題による場合）には、等号が成り立つ。
• Rをネーター環、Iをイデアルとし、${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(R)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}}$関連する次数付き環（幾何学者はこれをIの正規円錐の環と呼ぶ）とする。すると${\displaystyle \operatorname {dim} \operatorname {gr} _{I}(R)}$は、 Iを含むRの最大イデアルの高さの上限である。^{[ 7 ]}
• A commutative Noetherian ring of Krull dimension zero is a direct product of a finite number (possibly one) of local rings of Krull dimension zero.
• A Noetherian local ring is called a Cohen–Macaulay ring if its dimension is equal to its depth. A regular local ring is an example of such a ring.
• A Noetherian integral domain is a unique factorization domain if and only if every height 1 prime ideal is principal.^[8]
• For a commutative Noetherian ring the three following conditions are equivalent: being a reduced ring of Krull dimension zero, being a field or a direct product of fields, being von Neumann regular.

If ${\displaystyle R}$ is a commutative ring, and ${\displaystyle M}$ is an ${\displaystyle R}$-module, we define the Krull dimension of ${\displaystyle M}$ to be the Krull dimension of the quotient of ${\displaystyle R}$ making ${\displaystyle M}$ a faithful module. That is, we define it by the formula:

${\displaystyle \dim _{R}M:=\dim(R/{\operatorname {Ann} _{R}(M)})}$

where ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(M)}$, the annihilator, is the kernel of the natural map ${\displaystyle R\to \operatorname {End} _{R}(M)}$ of ${\displaystyle R}$ into the ring of ${\displaystyle R}$-linear endomorphisms of ${\displaystyle M}$.

In the language of schemes, finitely generated modules are interpreted as coherent sheaves, or generalized finite rank vector bundles.

The Krull dimension of a module over a possibly non-commutative ring is defined as the deviation of the poset of submodules ordered by inclusion. For commutative Noetherian rings, this is the same as the definition using chains of prime ideals.^[9] The two definitions can be different for commutative rings which are not Noetherian.

• Analytic spread
• Dimension theory (algebra)
• Gelfand–Kirillov dimension
• Hilbert function
• Homological conjectures in commutative algebra
• Krull's principal ideal theorem

• Irving Kaplansky, Commutative rings (revised ed.), University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5. Page 32.
• L.A. Bokhut'; I.V. L'vov; V.K. Kharchenko (1991). "I. Noncommuative rings". In Kostrikin, A.I.; Shafarevich, I.R. (eds.). Algebra II. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 18. Springer-Verlag. ISBN 3-540-18177-6. Sect.4.7.
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6
• Serre, Jean-Pierre (2000). Local Algebra. Springer Monographs in Mathematics (in German). doi:10.1007/978-3-662-04203-8. ISBN 978-3-662-04203-8. OCLC 864077388.