判別式

上記の多項式が体上で定義される場合、n 個の根を持ちます。${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$必ずしもすべてが異なるとは限らないが、体の任意の代数的に閉じた拡大体において根をとることができる。（係数が実数の場合、根は複素数体で求めることができ、その場合、代数学の基本定理が適用される。）

根に関して言えば、判別式は

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j}).}$

これは、ヴァンデルモンド多項式の二乗に掛けたものです。${\displaystyle a_{n}^{2n-2}}$。

この判別式の表現は、しばしば定義として用いられます。この表現は、多項式が重根を持つ場合、判別式はゼロになること、また、係数が実数の場合、すべての根が実数かつ単純根であれば、判別式は正になることを明確に示しています。前の定義とは異なり、この表現は係数に関する多項式であることは明らかではありませんが、ガロア理論の基本定理、または対称多項式の基本定理とヴィエタの公式から、この表現がAの根に関する対称多項式であることに注目することで、それが導かれます。

二次多項式${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$判別力がある

${\displaystyle b^{2}-4ac\,.}$

判別式の平方根は、二次多項式の根を求める二次方程式の解の公式に現れる。

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

判別式がゼロになるのは、 2 つの根が等しい場合のみです。a、b、c が実数の場合、判別式が正であれば多項式は 2 つの異なる実根を持ち、判別式が負であれば 2 つの複素共役根を持ちます。^{[ 6 ]}

判別式は、a ²と根の差の二乗の積です。

a、b、cが有理数である場合、判別式が有理数の二乗となるのは、2つの根が有理数である場合に限る。

3次多項式${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$判別力がある

${\displaystyle b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,.}$^{[ 7 ] [ 8 ]}

特殊なケースでは、${\displaystyle x^{3}+px+q}$判別式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle -4p^{3}-27q^{2}\,.}$

判別式は、少なくとも 2 つの根が等しい場合に限りゼロになります。係数が実数で、判別式がゼロでない場合、根が 3 つの異なる実数であれば判別式は正になり、1 つの実根と 2 つの複素共役根があれば判別式は負になります。^{[ 9 ]}

判別式と密接に関連する量の平方根は、3次多項式の根を求める公式に現れます。具体的には、この量は判別式の-3倍、または判別式と有理数の2乗の積になります。例えば、カルダノの公式の場合は1/18の2乗です。

多項式が既約であり、その係数が有理数（または数体に属する数）である場合、判別式が有理数（または数体に属する数）の二乗となるのは、三次方程式のガロア群が位数３の巡回群である場合に限る。

4次多項式${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,}$ 判別力がある

${\displaystyle {\begin{aligned}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\[4pt]&\quad -27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\[4pt]&\quad +18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde\\[4pt]&\quad -4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}}$

縮小された4次多項式 ${\displaystyle x^{4}+cx^{2}+dx+e\,}$ 判別力がある

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&16c^{4}e-4c^{3}d^{2}-128c^{2}e^{2}+144cd^{2}e-27d^{4}+256e^{3}.\end{aligned}}}$

判別式がゼロになるのは、少なくとも2つの根が等しい場合のみです。係数が実数で判別式が負の場合、2つの実根と2つの複素共役根が存在します。逆に、判別式が正の場合、根はすべて実数か、すべて複素数かのいずれかです。

体上の多項式の判別式がゼロになるのは、その多項式が何らかの体拡大において重根を持つ場合かつその場合に限る。

整数領域上の多項式の判別式がゼロになるのは、その多項式とその導関数が定数でない共通因数を持つ場合のみである。

特性0の場合、これは多項式が平方因子を持たない多項式ではない（つまり、定数でない多項式の平方で割り切れる）ということと同義である。

非ゼロ特性pにおいて、判別式がゼロになるのは、多項式が平方因子を持たないか、または分離不可能な既約因子を持つ場合（すなわち、既約因子が多項式である場合）に限られる。${\displaystyle x^{p}}$)

多項式の判別式は、スケーリングを除いて、変数の任意の射影変換に対して不変です。射影変換は、平行移動、相似変換、反転の積に分解できるため、より単純な変換に対して次の式が得られます。ここで、 P ( x )はn次多項式を表し、${\displaystyle a_{n}}$主係数として。

• 並進による不変性：

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P(x+\alpha ))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

これは、判別式を根を用いて表現した結果である。

• 相似変換による不変性：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Disc} _{x}(P(\alpha x))&=\alpha ^{n(n-1)}\operatorname {Disc} _{x}(P(x))\\\operatorname {Disc} _{x}(\alpha P(x))&=\alpha ^{2n-2}\operatorname {Disc} _{x}(P(x))\end{aligned}}}$

これは、判別式の根による表現、あるいは判別式の準同次性から生じる結果である。

• 反転による不変性：逆多項式の${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0}}$と ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$ は：

${\displaystyle P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x)=x^{n}P(1/x)=a_{0}x^{n}+\cdots +a_{n}.}$

それから：

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P^{\mathrm {r} }\!\!\,(x))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x)).}$

させて${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$可換環の準同型である。多項式が与えられた場合

${\displaystyle A=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}$

R [ x ]における準同型写像${\displaystyle \varphi }$多項式を生成するためにAに作用する

${\displaystyle A^{\varphi }=\varphi (a_{n})x^{n}+\varphi (a_{n-1})x^{n-1}+\cdots +\varphi (a_{0})}$

S [ x ]において。

判別式は、${\displaystyle \varphi }$以下の意味で。${\displaystyle \varphi (a_{n})\neq 0,}$それから

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A)).}$

判別式は決定式を用いて定義されるため、この性質は決定式の同様の性質から直ちに導かれる。

もし${\displaystyle \varphi (a_{n})=0,}$それから${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))}$ゼロの場合もあれば、そうでない場合もある。${\displaystyle \varphi (a_{n})=0,}$

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=\varphi (a_{n-1})^{2}\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi }).}$

判別式がゼロかどうかだけを知りたい場合（代数幾何学では一般的にそうであるように）、これらの性質は次のように要約できます。

$\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0}$いずれかが該当する場合に限り$\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=0}$または${\displaystyle \deg(A)-\deg(A^{\varphi })\geq 2.}$

これはしばしば次のように解釈される。$\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0}$かつその場合に限り${\displaystyle A^{\varphi }}$多重根を持つ（おそらく無限大）。

R = PQがxに関する多項式の積である場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {disc} _{x}(R)&=\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)^{2}\operatorname {disc} _{x}(Q)\\[5pt]{}&=(-1)^{pq}\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)\operatorname {Res} _{x}(Q,P)\operatorname {disc} _{x}(Q),\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \operatorname {Res} _{x}}$は変数xに関する結果を表し、pとqはそれぞれPとQの次数です。

この性質は、それぞれの多項式の根を用いて、結果式と判別式の式を代入することで直ちに導かれる。

判別式は係数に関して同次多項式であり、根に関しても同次多項式であるため、係数に関して準同次多項式である。

n次多項式の判別式は、係数に関して2 n − 2次同次です。これは 2 つの方法で確認できます。根と先頭項の公式で表すと、すべての係数にλを掛けても根は変わりませんが、先頭項にλが掛けられます。 (2 n − 1) × (2 n − 1)行列(シルベスター行列) の行列式をnで割ったものとして表すと、行列式は要素に関して2 n − 1次同次であり、n で割ると次数が₂ n − 2_になります。

n次多項式の判別式は、根に関してn ( n − 1)次同次である。これは、判別式を根で表すと定数と の積になることから導かれる。${\displaystyle {\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}}$平方根の差の二乗。

n次多項式の判別式は、係数に関してn ( n − 1)次準同次である。ただし、すべてのiについて、係数が${\displaystyle x^{i}}$にはn − iの重みが与えられる。また、すべてのiに対して、の係数が同じであれば、同じ次数の準同次性を持つ。${\displaystyle x^{i}}$には重みiが与えられます。これは、根に関して同次かつ対称なすべての多項式は、根の基本対称関数に関する準同次多項式として表現できるという一般的な事実の結果です。

多項式を考える

${\displaystyle P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}.}$

前述のことから、すべての単項式の指数は${\displaystyle a_{0}^{i_{0}},\dots ,a_{n}^{i_{n}}}$判別式に現れるものは、2つの式を満たす。

${\displaystyle i_{0}+i_{1}+\cdots +i_{n}=2n-2}$

そして

${\displaystyle i_{1}+2i_{2}+\cdots +ni_{n}=n(n-1),}$

そして方程式も

${\displaystyle ni_{0}+(n-1)i_{1}+\cdots +i_{n-1}=n(n-1),}$

これは、最初の式にnを掛けたものから 2 番目の式を引くことによって得られます。

これにより判別式に含まれる項が制限されます。一般の二次多項式の場合、判別式は${\displaystyle b^{2}-4ac}$は、2 次同次多項式であり、項は 2 つしかありませんが、3 変数の一般的な 2 次同次多項式は 6 つの項を持ちます。一般的な 3 次多項式の判別式は、4 変数の 4 次同次多項式であり、上記の規則で許容される最大値である 5 つの項を持ちますが、4 変数の一般的な 4 次同次多項式は 35 項を持ちます。

次数が高い場合、上記の規則を満たし判別式に現れない単項式が存在する可能性があります。最初の例は4次多項式です。${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$この場合、単項式${\displaystyle bc^{4}d}$判別式に現れずに規則を満たす。

二次形式とは、ある基底上で次数2の同次多項式によって定義されるベクトル空間上の関数である。

${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ =\ \sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j},}$

または、行列形式では、

${\displaystyle Q(X)=XAX^{\mathrm {T} },}$

のために${\displaystyle n\times n}$対称行列${\displaystyle A=(a_{ij})}$、${\displaystyle 1\times n}$行ベクトル${\displaystyle X=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$、そして${\displaystyle n\times 1}$列ベクトル${\displaystyle X^{\mathrm {T} }}$特性が2と異なる場合、 ^{[ 10 ]} Qの判別式または決定式はAの決定式である。^{[ 11 ]}

Qのヘッセ行列式は${\displaystyle 2^{n}}$Qの偏導関数の多変数終結式は、そのヘッセ行列式に等しくなります。したがって、二次形式の判別式は、上記の判別式の一般的な定義の特殊な場合です。

二次形式の判別式は、次の意味で線形変数変換（つまり、二次形式が定義されているベクトル空間の基底変換）に対して不変です。線形変数変換は非特異行列Sによって定義され、行列Aを次のように変換します。${\displaystyle S^{\mathrm {T} }A\,S,}$したがって判別式はSの行列式の二乗で乗算されます。したがって判別式は二乗による乗算を除いてのみ適切に定義されます。言い換えれば、体K上の二次形式の判別式はK /( K ^× ) ²の要素であり、Kの乗法モノイドを非零の二乗の部分群で割った商です (つまり、Kの 2 つの要素は、一方が他方の非零の二乗の積である場合、同じ同値類に属します)。したがって、複素数上では、判別式は 0 または 1 と同値です。実数上では、判別式は −1、0、または 1 と同値です。有理数上では、判別式は一意の平方因子を持たない整数と同値です。

ヤコビの定理により、標数が 2 と異なる体上の二次形式は、線形変数変換の後、対角形式で次のように表すことができる。

${\displaystyle a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.}$

より正確には、二次形式は和として表すことができる。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}L_{i}^{2}}$

ここで、L _iは独立な線形形式であり、nは変数の数です ( a _iの一部はゼロになる場合があります)。同様に、任意の対称行列Aに対して、次のような基本行列Sが存在します。${\displaystyle S^{\mathrm {T} }A\,S}$は対角行列です。判別式はa _iの積であり、これはK /( K ^× ) ²のクラスとして明確に定義されます。

幾何学的に言えば、3変数二次形式の判別式は、二次射影曲線の式である。判別式がゼロになるのは、曲線が直線に分解できる場合（おそらく体の代数的に閉じた拡大体上において）に限られる。

4変数の二次形式は射影曲面の式です。曲面は、判別式がゼロの場合に限り特異点を持ちます。この場合、曲面は平面に分解できるか、または唯一の特異点を持ち、円錐または円柱になります。実数体上では、判別式が正の場合、曲面は実点を持たないか、またはガウス曲率が常に負になります。判別式が負の場合、曲面は実点を持ち、ガウス曲率が負になります。

円錐曲線は、次の形式の陰関数方程式で定義される平面曲線です。

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0,}$

ここで、 a、b、c、d、e、fは実数である。

円錐曲線には、 2つの二次形式、したがって2つの判別式が関連付けられる可能性がある。

最初の二次形式は

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dxz+2eyz+fz^{2}=0.}$

その判別式は行列式である

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{vmatrix}}.}$

円錐曲線が2本の直線、二重線、または1点に退化する場合は、その値はゼロになります。

2番目の判別式は、多くの初等教科書で考慮される唯一の判別式であり、方程式の2次同次部分の判別式です。これは^{[ 12 ]に等しくなります。}

${\displaystyle b^{2}-ac,}$

そして、判別式によって円錐曲線の形状が決まります。判別式が負の場合、曲線は実点を持たないか、楕円または円になります。また、退化している場合は、一点に縮退します。判別式がゼロの場合、曲線は放物線になります。退化している場合は、二重線または2本の平行線になります。判別式が正の場合、曲線は双曲線になります。退化している場合は、交差する2本の直線になります。

3次元ユークリッド空間における実二次曲面とは、3変数2次多項式の零点として定義できる曲面のことである。円錐曲線と同様に、自然に定義できる判別式が2つ存在する。どちらも二次曲面の性質に関する情報を得るのに役立つ。

させて${\displaystyle P(x,y,z)}$は、実二次曲面を定義する3変数の2次多項式である。最初の関連する二次形式は、${\displaystyle Q_{4},}$は4つの変数に依存し、Pを均質化する ことによって得られます。つまり、

${\displaystyle Q_{4}(x,y,z,t)=t^{2}P(x/t,y/t,z/t).}$

その判別式をで表す${\displaystyle \Delta _{4}.}$

2番目の二次形式、${\displaystyle Q_{3},}$3 つの変数に依存し、 Pの 2 次項から構成されます。つまり、

${\displaystyle Q_{3}(x,y,z)=Q_{4}(x,y,z,0).}$

その判別式をで表す${\displaystyle \Delta _{3}.}$

もし${\displaystyle \Delta _{4}>0,}$そして、その曲面が実点を持つ場合、それは双曲放物面か一葉双曲面のいずれかである。どちらの場合も、これは線織面であり、すべての点で負のガウス曲率を持つ。

もし${\displaystyle \Delta _{4}<0,}$その曲面は、楕円体、二葉双曲面、または楕円放物面のいずれかである。いずれの場合も、すべての点において正のガウス曲率を持つ。

もし${\displaystyle \Delta _{4}=0,}$曲面には特異点が存在し、それは無限遠にある場合もある。特異点が1つしかない場合、曲面は円柱または円錐となる。特異点が複数ある場合、曲面は2つの平面、二重平面、または1本の直線から構成される。

いつ${\displaystyle \Delta _{4}\neq 0,}$の兆候${\displaystyle \Delta _{3},}$0でない場合、 Pを-Pに変更しても表面は変化せず、符号が変わるだけなので、有用な情報は提供されません。${\displaystyle \Delta _{3}.}$しかし、もし${\displaystyle \Delta _{4}\neq 0}$そして${\displaystyle \Delta _{3}=0,}$表面は放物面であり、その符号に応じて楕円形または双曲形になります。${\displaystyle \Delta _{4}.}$

代数体の判別式は、 （その）代数体の整数環の大きさを測る。

より具体的には、それは整数環の基本領域の体積の二乗に比例し、どの素数が分岐するかを規定する。

判別式は数体の最も基本的な不変量の1つであり、Kのデデキント ゼータ関数の関数方程式やKの解析的類数公式など、いくつかの重要な解析式に現れます。エルミートの定理によれば、判別式が有界な数体は有限個しか存在しませんが、この量を決定することは未解決の問題であり、現在も研究の対象となっています。^{[ 13 ]}

K を代数体とし、O K_をその整数環とする。b 1 , ..., b n を O K の整数基底 (すなわち Z ​​加群としての基底) とし、_{ σ 1 _, ... _, σ n }をKから複素数_への_埋め込みの集合(すなわち K → C の単射環準同型) とする。Kの判別式は、 ( i , j )成分がσ i ( b j ) である_n × n_行列Bの行列式の二乗である。記号的に、  

${\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}$

K の判別式は、数体の拡大K / Lの判別式と区別するために、Kの絶対判別式と呼ばれることがあります。後者はLの整数環のイデアルであり、絶対判別式と同様に、K / Lでどの素数が分岐しているかを示します。これは、 LがQより大きい場合を許容する絶対判別式の一般化です。実際、L = Qの場合、 K / Qの相対判別式は、Kの絶対判別式によって生成されるZの主イデアルになります。  

二次体の研究において有用な特定の判別式は、基本判別式である。これは、次の形式の式で表される整数二項二次形式の理論において現れる。$${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$$どこ${\textstyle a}$、${\textstyle b}$、 そして${\textstyle c}$は整数です。判別式は${\textstyle Q(x,y)}$次のように与えられます。$${\displaystyle D=b^{2}-4ac.}$$すべての整数が整数二進形式の判別式として現れるわけではありません。${\textstyle D}$が基本判別因子であるのは、以下のいずれかの基準を満たす場合に限る。

• ケース1：${\textstyle D}$は 1 を法として 4 と合同である (${\textstyle D\equiv 1{\pmod {4}}}$）であり、平方因子を持たない、つまり、どの素数の平方でも割り切れない。
• ケース2：${\textstyle D}$整数の4倍に等しい${\textstyle m}$（${\textstyle D=4m}$） どこ${\textstyle m}$は 2 または 3 を法 4 と合同である (${\textstyle m\equiv 2,3{\pmod {4}}}$）であり、平方数を含まない。

これらの条件により、すべての基本判別式が特定の種類の二次形式に一意に対応することが保証されます。

最初の11個の正の基本判別因子は以下のとおりです。

1、5、8、12、13、17、21、24、28、29、33（OEISの配列A003658 ）​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

最初の11個の否定的な基本判別因子は以下のとおりです。

−3、−4、−7、−8、−11、−15、−19、−20、−23、−24、−31 （OEISの配列A003657）。