レヴィツキーの定理

数学、より具体的には環論と零イデアルの理論において、ヤコブ・レヴィツキーにちなんで名付けられたレヴィツキーの定理は、右ネーター環において、すべての零片側イデアルは必然的に冪零であるということを述べています。^{[1] [2]レヴィツキーの定理は、}ケーテ予想の正確さを示唆する多くの結果の1つであり、実際に(Levitzki 1945)で説明されているケーテの質問の1つに解決策を提供しました。この結果は、1939年に(Levitzki 1950)として最初に提出され、特に簡単な証明は(Utumi 1963)で与えられました。

これは、（Lam 2001、p. 164-165）に記載されているUtumiの議論である。

補題^[3]

R が、 aがRに含まれる形の消滅子に対する昇順連鎖条件を満たすと仮定する。すると、 ${\displaystyle \{r\in R\mid ar=0\}}$

1. 任意の nil 片側イデアルは、下側の nil 根号 Nil _* ( R ) に含まれます。
2. すべての非ゼロの nil 右イデアルには、非ゼロの nilpotent 右イデアルが含まれます。
3. すべての非ゼロの nil 左イデアルには、非ゼロの nilpotent 左イデアルが含まれます。

レヴィツキーの定理^[4]

R を右ネーター環とします。すると、 Rのすべての nil 片側イデアルは冪零です。この場合、上と下の nil 根基は等しく、さらにこのイデアルは冪零右イデアルと冪零左イデアルの中で最大の冪零イデアルです。

証明: 前の補題を考慮すると、 Rの下の冪根基が冪零であることを示すだけで十分です。Rは右ネーターなので、最大冪零イデアルN が存在します。Nの最大性により、商環R / Nには非ゼロの冪零イデアルがないため、R / N は半素環です。その結果、NにはRの下の冪根基が含まれます。下の冪根基にはすべての冪零イデアルが含まれるため、Nも含まれ、したがってN は下の冪根基に等しくなります。QED

• 零位の理想
• ケーテ予想
• ジェイコブソンラジカル

• アイザックス、I. マーティン (1993)、代数学、大学院課程(第 1 版)、ブルックス/コール出版、ISBN 0-534-19002-2
• ハースタイン、IN (1968)、非可換環（第1版）、アメリカ数学協会、ISBN 0-88385-015-X
• ラム、TY（2001）、非可換環入門、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95183-6
• Levitzki, J. (1950)、「乗法システムについて」、Compositio Mathematica、8 : 76–80、MR  0033799。
• レヴィツキ、ヤコブ(1945)、「G. ケーテの問題の解法」、アメリカ数学ジャーナル、67 (3)、ジョンズホプキンス大学出版局: 437–442、doi :10.2307/2371958、ISSN  0002-9327、JSTOR  2371958、MR  0012269
• 内海雄三 (1963)、「数学ノート：レビツキの定理」、アメリカ数学月刊誌、70 (3)、アメリカ数学協会：286、doi：10.2307/2313127、hdl：10338.dmlcz/101274、ISSN  0002-9890、JSTOR  2313127、MR  1532056