理想論

数学において、イデアル理論は可換環におけるイデアルの理論である。非可換環にもイデアルの概念は存在するが、より実質的な理論は可換環にのみ存在する（したがって、この記事では可換環におけるイデアルのみを対象とする）。

記事全体を通じて、環は可換環を指します。イデアルの和や積などの基本的な演算については、 記事「イデアル (環論)」も参照してください。

体上の有限生成代数に​​おけるイデアル（つまり、体上の多項式環の商）は、一般の可換環におけるイデアルよりも、何らかの点で適切に動作します。まず、一般の場合とは対照的に、 が体上の有限生成代数である場合、におけるイデアルの根基は、そのイデアルを含むすべての極大イデアルの共通部分です（はヤコブソン環であるため）。これは、 が多項式環である場合に関するヒルベルトの零点定理の拡張として考えることができます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

I が環Aのイデアルである場合、 A上の位相が決定され、 Aの部分集合Uが開集合となるのは、 U内の各xに対して、

${\displaystyle x+I^{n}\subset U.}$

ある整数 に対して、この位相はI進位相と呼ばれます。が要素 によって生成される場合、これはa進位相とも呼ばれます。 ${\displaystyle n>0}$${\displaystyle I=aA}$${\displaystyle a}$

たとえば、整数環 と素数pによって生成されるイデアル を取ります。各整数 に対して、 が と素であるとき を定義します。すると、明らかに、 ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$${\displaystyle I=pA}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|_{p}=p^{-n}}$${\displaystyle x=p^{n}y}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle x+p^{n}A=B(x,p^{-(n-1)})}$

ここで、 は中心 を持つ半径 の開球を表します。したがって、上の -進位相は、によって与えられる計量空間位相と同じです。計量空間として、は完備化できます。結果として得られる完備計量空間は、 の環構造を拡張した環の構造を持ちます。この環は と表され、 p進整数の環と呼ばれます。 ${\displaystyle B(x,r)=\{z\in \mathbb {Z} \mid |zx|_{p}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle d(x,y)=|xy|_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

分数体を持つデデキント域 A (例えば、数体内の整数環や滑らかなアフィン曲線の座標環) では、イデアルは次の意味で可逆です。つまり、 となる分数イデアル(つまり、のA部分加群)が存在し、左側の積はKの部分加群の積です。言い換えると、分数イデアルは積の下で群を形成します。分数イデアル群を主イデアルの部分群で割った商は、Aのイデアル類群です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I^{-1}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle I\,I^{-1}=A}$

一般環では、イデアルは可逆ではないかもしれない（実際、分数イデアルの定義は既に明確ではない）。しかし、ネーター整域上では、デデキント域の状況を一般化する理論を展開することはまだ可能である。例えば、ブルバキの「可換代数」の第 VII 章では、そのような理論が示されている。

Aの理想類群は、定義できる場合、Aのスペクトルのピカール群と密接に関連しています(多くの場合、この 2 つは同じです。たとえば、デデキント領域の場合)。

代数的整数論、特に類体理論においては、イデアル類群と呼ばれるイデアル類群の一般化を使用する方が便利です。

イデアルに対する操作には、閉包の役割を果たすものがいくつかあります。最も基本的なものは、イデアルの根号です。もう 1 つは、イデアルの整閉包です。冗長性のない一次分解 が与えられた場合、根号が最小である (他の の根号をまったく含まない)の共通部分はによって一意に決定されます。この共通部分は の非混合部分と呼ばれます。これも閉包操作です。 ${\displaystyle I=\cap Q_{i}}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle Q_{j}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$

環上のイデアルが与えられた場合、イデアル ${\displaystyle I,J}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle (I:J^{\infty })=\{f\in A\mid fJ^{n}\subset I,n\gg 0\}=\bigcup _{n>0}\operatorname {Ann} _{A}((J^{n}+I)/I)}$

はに対するの飽和と呼ばれ、閉包演算である（この概念は局所コホモロジーの研究と密接に関連している）。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$

タイトクロージャーも参照してください。

局所コホモロジーは、イデアルに関する情報を得るために使用されることがあります。このセクションでは、層理論とスキーム理論についてある程度の知識があることを前提としています。

を環とイデアル上の加群とします。すると、 （ Mに関連付けられた層のYへの制限）上の層が決定されます。定義を解くと、次のようになります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (R)-V(I)}$

${\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\Gamma (Y,{\widetilde {M}})=\varinjlim \operatorname {Hom} (I^{n},M)}$。

ここで、はに関するの理想変換と呼ばれます。^[要出典]${\displaystyle \Gamma _{I}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I}$

• パラメータのシステム

• アティヤ、マイケル・フランシス、マクドナルド、IG（1969）、可換代数入門、ウェストビュー・プレス、ISBN 978-0-201-40751-8
• アイゼンバッド、デイヴィッド、「代数幾何学に向けた可換代数」、Graduate Texts in Mathematics、150、Springer-Verlag、1995年、ISBN 0-387-94268-8。 
• Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006)、「イデアル、環、およびモジュールの積分閉包」、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第336巻、ケンブリッジ、英国：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-68860-4、MR  2266432、2019-11-15にオリジナルからアーカイブ、2019-11-15に取得