ガウス整数

数論において、ガウス整数とは、実部と虚部がともに整数である複素数のことである。ガウス整数は、複素数の通常の加算と乗算によって、通常次のように表される整域を形成する。${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$または${\displaystyle \mathbb {Z} [i].}$^{[ 1 ]}

ガウス整数は、整数と多くの性質を共有しています。ユークリッド領域を形成するため、ユークリッド除法とユークリッド互除法を持ちます。これは一意の因数分解と多くの関連する性質を意味します。しかし、ガウス整数は算術を尊重する全順序を持ちません。

ガウス整数は代数的整数であり、最も単純な二次整数環を形成する。

ガウス整数は、ドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウスにちなんで名付けられました。

ガウス整数は集合^{[ 1 ] [ 2 ]です}

${\displaystyle \mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbf {Z} \},\qquad {\text{ ただし }}i^{2}=-1.}$

言い換えれば、ガウス整数とは、実部と虚部がともに整数である複素数のことである。ガウス整数は加法と乗法に関して閉じているため、複素数体の部分環である可換環を形成する。したがって、ガウス整数は整域である。複素平面内で考えると、ガウス整数は2次元正方格子を構成する。

複素数a + biの共役は複素数a − biです。ノルム${\displaystyle N(a+bi)}$ガウス整数a + biは、その整数とその共役整数との積です。

${\displaystyle N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.}$

ガウス整数のノルムは、複素数としての絶対値の二乗です。ガウス整数のノルムは非負整数であり、2つの平方数の和です。2つの平方数の和の定理により、ノルムは因数を持つことはできません。${\displaystyle p^{k}}$その素因分解において${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$そして${\displaystyle k}$は奇数である（特に、ノルム自体は4を法として3と合同ではない）。

ノルムは乗法的である、つまり^{[ 3 ]}

${\displaystyle N(zw)=N(z)N(w),}$

任意のガウス整数の組z、wに対して、これは直接示すことも、複素数の絶対値の乗法性質を用いることによって示すこともできる。

ガウス整数環の単位元（つまり、乗法逆元もガウス整数であるガウス整数）は、まさにノルムが 1 のガウス整数、すなわち 1、-1、i 、および-iである。^{[ 4 ]}

ガウス整数は、整数や多項式と同様のユークリッド除法（剰余を伴う除法）を持ちます。このため、ガウス整数はユークリッド領域となり、最大公約数を計算するためのユークリッドアルゴリズムの存在、ベズーの恒等式、主イデアルの性質、ユークリッドの補題、一意因数分解定理、中国剰余定理など、多くの重要な性質を整数や多項式と共有します。これらの性質はすべて、ユークリッド除法のみを用いて証明できます。

ユークリッド除算アルゴリズムは、ガウス整数環において、被除数aと除数b ≠ 0を受け取り、商qと剰余rを生成する。

${\displaystyle a=bq+r\quad {\text{かつ}}\quad N(r)<N(b).}$

実際、残りの部分をより小さくすることもできる。

${\displaystyle a=bq+r\quad {\text{かつ}}\quad N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}.}$

このより良い不等式を用いても、商と余りは必ずしも一意ではないが、一意性を確保するために選択を洗練させることは可能である。

これを証明するには、複素数商x + iy = a / bを考えることができる。− 1 / 2 < x − m ≤ 1 / 2および− 1 / 2 < y − n ≤ 1 / 2を満たす一意の整数mとn が存在し、したがってN ( x − m + i ( y − n )) ≤ 1 / 2となる。q = m + inとすると、次のようになる。

${\displaystyle a=bq+r,}$

と

${\displaystyle r=b{\bigl (}x-m+i(yn){\bigr )},}$

そして

${\displaystyle N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}.}$

一意性を確保するためには、 x − mとy − nを半開区間から選択する必要がある。このユークリッド除法の定義は、複素数ξから最も近いガウス整数までの距離が最大で √ 2 / 2 であることに注目することで、複素平面上で幾何学的に解釈することができる（図を参照）。^{[ 5 ]}

ガウス整数環Gはユークリッド整域であるため、 Gは主イデアル整域であり、これはGのすべてのイデアルが主イデアルであることを意味します。具体的には、イデアルIは環Rの部分集合であり、 Iの要素のすべての和と、 Iの要素とRの要素のすべての積がIに属します。イデアルが主イデアルであるのは、それが単一の要素gのすべての倍数から構成されている場合、つまり、次の形式を持つ場合です。

${\displaystyle \{gx\mid x\in G\}.}$

この場合、イデアルはgによって生成される、あるいはgはイデアルの生成元であると言う。

ガウス整数環のすべてのイデアルIは主イデアルである。なぜなら、 Iから最小ノルムを持つ非零元gを選べば、 Iのすべての元xに対して、 xをgでユークリッド除算したときの剰余もIに属し、そのノルムはgのノルムよりも小さくなるからである。gの選択により、このノルムはゼロとなり、したがって剰余もゼロとなる。つまり、x = qgとなる。ここでqは商である。

任意のgに対して、 gによって生成されるイデアルは、 gの任意の関連元、すなわちg、gi、−g 、 −giによっても生成されます。他のどの要素も同じイデアルを生成しません。イデアルのすべての生成元は同じノルムを持つため、イデアルのノルムは、その生成元のノルムのいずれかになります。

状況によっては、各イデアルに対して生成元を一度だけ選択することが有用です。これを行うための古典的な方法は 2 つあり、どちらも最初に奇数ノルムのイデアルを考慮します。g = a + bi のノルムが奇数a ² + b ²である場合、aとbの 1 つが奇数で、もう 1 つが偶数です。したがって、gには奇数かつ正の実数部分aに対応するものがちょうど 1 つあります。ガウスは元の論文で別の選択をし、 2 + 2 iで割った余りが1 になるような唯一の対応物を選択しました。実際、N (2 + 2 i ) = 8なので、余りのノルムは 4 以下です。このノルムは奇数であり、3 はガウス整数のノルムではないので、余りのノルムは 1 であり、つまり余りは単位です。g にこの単位の逆数を掛けると、 2 + 2 iで割ったときに余りが 1 になる対応物が見つかります。

gのノルムが偶数の場合、g = 2 ^k hまたはg = 2 ^k h (1 + i )のいずれかとなり、ここでkは正の整数、N ( h )は奇数です。したがって、奇数ノルムの要素に対する対応関係の選択に適合するhを得るために、gの対応関係を選択します。

ガウス整数は主イデアル領域を形成するため、一意の因数分解領域も形成します。これは、ガウス整数が既約（つまり、2つの非単位数の積ではない）であるのは、それが素数（つまり、素イデアルを生成する）である場合に限ることを意味します。

Z [ i ]の素元はガウス素数とも呼ばれます。ガウス素数の同伴元もガウス素数です。ガウス素数の共役元もガウス素数です（これはガウス素数が実軸と虚軸に関して対称であることを意味します）。

正の整数がガウス素数であるのは、それが3 を法4で割った値と合同な素数である場合（つまり、 nを非負整数として4n + 3と書ける場合）に限ります（OEISのシーケンスA002145）。その他の素数はガウス素数ではありませんが、それぞれが 2 つの共役ガウス素数の積です。

ガウス整数a + biがガウス素数であるのは、以下のいずれかの条件を満たす場合に限る。

• aとbのうち一方がゼロで、もう一方の絶対値が4 n + 3の形の素数( nは非負整数) である、または
• 両方ともゼロではなく、a ² + b ²は素数です ( 4 n + 3の形には決してなりません)。

言い換えれば、ガウス整数mがガウス素数であるのは、そのノルムが素数であるか、またはmが単位 ( ±1, ± i ) と4 n + 3の形の素数の積である場合に限る。

したがって、ガウス整数における素数pの因数分解には3つの場合が存在する。

• pが4を法として3と合同である場合、pはガウス素数である。代数的整数論の言葉で言えば、pはガウス整数において不活性であると言われる。
• p が4 を法として 1 と合同である場合、それはガウス素数とその共役の積であり、どちらも非関連ガウス素数です (どちらも単位による積ではありません)。pはガウス整数の分解素数と呼ばれます。たとえば、5 = (2 + i )(2 − i )および13 = (3 + 2 i )(3 − 2 i )です。
• p = 2 の場合、 2 = (1 + i )(1 − i ) = i (1 − i ) ²となります。つまり、2 はガウス素数の二乗と単位の積であり、ガウス整数の中で唯一の分岐素数です。

すべての一意な因数分解領域と同様に、すべてのガウス整数は単位元とガウス素数の積として因数分解でき、この因数分解は因数の順序を除いて一意であり、任意の素数をその関連素数に置き換えること（およびそれに伴う単位元の因数の変更）によって一意になります。

関連する素数の同値類ごとに、固定されたガウス素数を一度だけ選択し、素因数分解においてこれらの選択された素数のみを用いる場合、因数の位数を除いて一意な素因数分解が得られる。上記の選択により、得られる一意な素因数分解は次の形式となる。

${\displaystyle u(1+i)^{e_{0}}{p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},}$

ここで、uは単位 (つまり、u ∈ {1, −1, i , − i } ) であり、e ₀およびkは非負整数、e ₁、…、e _kは正の整数、p ₁、…、p _kは異なるガウス素数であり、選択された関連子の選択に応じて、

• p _k = a _k + ib _kのいずれかで、a は奇数かつ正、b は偶数である。
• またはp _{k を}2 + 2 iで割ったユークリッド除算の余りが1 に等しい (これはガウスの元の選択です^{[ 6 ]} )。

2番目の選択肢の利点は、選択された関連数が奇数ノルムのガウス整数の積に対して良好な振る舞いを示すことです。一方、実ガウス素数に対して選択された関連数は負の整数です。例えば、231の整数への因数分解は、最初の関連数の選択では3 × 7 × 11ですが、2番目の選択では(−1) × (−3) × (−7) × (−11)となります。

ガウス有理数体は、ガウス整数環の分数体である。これは、実部と虚部の両方が有理数である複素数から構成される。

ガウス整数環は、ガウス有理数に含まれる整数の整閉包である。

これは、ガウス整数は二次整数であり、ガウス有理数は、それが方程式の解である場合に限りガウス整数であることを意味する。

${\displaystyle x^{2}+cx+d=0,}$

cとdは整数です。実際、a + biは方程式の解です。

${\displaystyle x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2},}$

そして、この方程式の係数が整数となるのは、aとbが両方とも整数である場合に限る。

任意の一意な因数分解領域に関して、2 つのガウス整数a、bの最大公約数(gcd)は、 aとbの共通約数であり、 aとbのすべての共通約数を約数として持つガウス整数dです。つまり、( |は整除関係を表します)、

• d | aおよびd | b、
• c | aかつc | bならばc | dとなる。

したがって、「最大」とは、環の順序ではなく、可除性関係に関していう意味で使われる（整数については、両方の意味が一致する）。

より厳密に言うと、 aとbの最大公約数は、aとbによって生成されるイデアルの生成元である（この特徴付けは主イデアル領域には有効であるが、一般に一意分解領域には有効ではない）。

2 つのガウス整数の最大公約数は一意ではなく、単位の乗算を除いて定義されます。つまり、 aとbの最大公約数がd である場合、 aとbの最大公約数はd、-d 、 id 、および-idです。

2 つのガウス整数aとbの最大公約数を計算する方法はいくつかあります。aとbの素因数分解がわかっている場合、

${\displaystyle a=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}},\quad b=i^{n}\prod _{m}{p_{m}}^{\mu _{m}},}$

素数p _mは互いに関連がなく、指数μ _mも関連がないとき、最大公約数は

${\displaystyle \prod _{m}{p_{m}}^{\lambda _{m}},}$

と

${\displaystyle \lambda _{m}=\min(\nu _{m},\mu _{m}).}$

残念ながら、単純な場合を除いて、素因数分解の計算は難しく、ユークリッドの互除法を用いると、はるかに簡単（かつ高速）な計算が可能になります。このアルゴリズムは、入力( a , b )を( b , r )に置き換えることから成ります。ここで、rはa をbで割ったときのユークリッド除算の余りです。この操作を、余りがゼロ、つまりペア( d , 0 )が得られるまで繰り返します。このプロセスは、各ステップで 2 番目のガウス整数のノルムが減少するため、終了します。結果として得られるdは最大公約数です。なぜなら、（各ステップで）bとr = a − bqはaとbと同じ約数を持つため、同じ最大公約数を持つからです。

この計算方法は常に機能しますが、ユークリッド除算はより複雑なため、整数の場合ほど単純ではありません。したがって、手書きの計算では、3番目の方法が好まれることがよくあります。それは、aとbの最大公約数のノルムN ( d )がN ( a )、N ( b )、およびN ( a + b )の共通約数であることに注目することです。これら3つの整数の最大公約数Dの約数が少ない場合、 Dを割り切るノルムを持つすべてのガウス整数を共通約数として簡単にテストできます。

例えば、a = 5 + 3 i、b = 2 − 8 iの場合、N ( a ) = 34、N ( b ) = 68、N ( a + b ) = 74 となります。3 つのノルムの最大公約数は 2 なので、 aとbの最大公約数は1 または 2 のノルムを持ちます。ノルム 2 のガウス整数は必ず1 + iに関連付けられ、1 + iはaとbを割り切るので、最大公約数は1 + iです。

b をその共役b = 2 + 8 iに置き換えると、3 つのノルムの最大公約数はaのノルムである 34 になります。したがって、最大公約数はa であると推測できます。つまり、a | bです。実際、2 + 8 i = (5 + 3 i )(1 + i )となります。

ガウス整数z ₀を法とすると、2 つのガウス整数z ₁とz ₂は_、その差が z 0 の倍数である場合、_つまりz 1 ₋ z 2 ₌ qz 0_となるようなガウス整数q が存在する場合に、法z 0 に関して合同である。言い換えれば、2 つのガウス整数は、その差がz ₀によって生成されるイデアルに属する場合に、法 z _{0に関して合同である。これは}z ₁ ≡ z ₂ (mod z ₀ )と表記される。

z ₀を法とする合同関係は、ガウス整数を同値類（ここでは合同類または剰余類と呼ばれる）に分割する同値関係（合同関係とも呼ばれる）である。剰余類の集合は通常、Z [ i ]/ z ₀ Z [ i ]、Z [ i ]/ ⟨ z ₀ ⟩、または単にZ [ i ]/ z ₀と表記される。

ガウス整数aの剰余類は、次の集合である。

${\displaystyle {\bar {a}}:=\left\{z\in \mathbf {Z} [i]\mid z\equiv a{\pmod {z_{0}}}\right\}}$

aと合同なすべてのガウス整数のうち、a = bとなるのはa ≡ b (mod z ₀ )の場合のみで ある。

加算と乗算は合同式と互換性があります。つまり、a ₁ ≡ b ₁ (mod z ₀ )およびa ₂ ≡ b ₂ (mod z ₀ )は、 a ₁ + a ₂ ≡ b ₁ + b ₂ (mod z ₀ )およびa ₁ a ₂ ≡ b ₁ b ₂ (mod z ₀ )を意味します。これにより、剰余類に対する明確に定義された演算(つまり、代表元の選択に依存しない) が定義されます。

$\displaystyle {\bar {a}}+{\bar {b}}:={\overline {a+b}}\text{および}}\quad {\bar {a}}\cdot {\bar {b}}:={\overline {ab}}.}$

これらの操作により、剰余類は可換環、すなわちz ₀によって生成されるイデアルによるガウス整数の商環を形成します。これは伝統的にz ₀を法とする剰余類環とも呼ばれます(詳細は「商環」を参照)。 

残基クラスの記述

法z ₀が与えられたとき、剰余類のすべての要素は、上記で説明した一意の商と剰余を持つ除算を用いる限り、z ₀によるユークリッド除算で同じ剰余を持ちます。したがって、剰余類を列挙することは、可能な剰余を列挙することと同等です。これは、次の方法で幾何学的に行うことができます。

複素平面では、 2本の線で区切られた正方形のグリッドを考えることができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{s}&=\left\{\left.z_{0}\left(s-{\tfrac {1}{2}}+ix\right)\right\vert x\in \mathbf {R} \right\}\quad {\text{and}}\\H_{t}&=\left\{\left.z_{0}\left(x+i\left(t-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\right\vert x\in \mathbf {R} \right\},\end{aligned}}}$

sとtは整数（図中の青線）である。これらは平面を半開正方形（mとnは整数）に分割する。

${\displaystyle Q_{mn}=\left\{(s+it)z_{0}\left\vert s\in \left[m-{\tfrac {1}{2}},m+{\tfrac {1}{2}}\right),t\in \left[n-{\tfrac {1}{2}},n+{\tfrac {1}{2}}\right)\right.\right\}.}$

Q _mnの定義に現れる半開区間は、すべての複素数がちょうど 1 つの正方形に属するように選択されています。つまり、正方形Q _{mn は}複素平面の分割を形成します。

${\displaystyle Q_{mn}=(m+in)z_{0}+Q_{00}=\left\{(m+in)z_{0}+z\mid z\in Q_{00}\right\}.}$

これは、すべてのガウス整数が、z _{0を法として、} Q ₀₀内の一意のガウス整数（図中の緑色の四角）と合同であることを意味します。この一意のガウス整数は、 z ₀で割ったときの剰余です。言い換えれば、すべての剰余類には、Q ₀₀内の要素がちょうど 1 つ含まれています。

Q ₀₀ (またはその境界)内のガウス整数は、そのノルムが同じ剰余類内の他のどのガウス整数のノルムよりも大きくないため、最小剰余と呼ばれることがあります (ガウスはそれらを絶対最小の剰余と呼びました)。

このことから、幾何学的考察により、ガウス整数z ₀ = a + biを法とする剰余類の数は、そのノルムN ( z ₀ ) = a ² + b ^{2に等しいことが推論できる（証明については下記を参照。同様に、整数の場合、} nを法とする剰余類の数は、その絶対値| n |である）。

証拠

関係式Q _mn = ( m + in ) z ₀ + Q ₀₀は、すべてのQ _mnがQ _{00 を}ガウス整数で平行移動することによって得られることを意味します。これは、すべてのQ _mnが同じ面積N = N ( z ₀ )を持ち、同じ数のn _g個のガウス整数を含むことを意味します。

一般に、面積Aの任意の正方形内のグリッド点 (ここではガウス整数) の数はA + Θ ( √ A )です(表記についてはBig theta を参照)。 k × k個の正方形Q _mnからなる大きな正方形を考えると、 k ² N + O ( k √ N )個のグリッド点が含まれます。したがって、 k ² n _g = k ² N + Θ ( k √ N )となり、k ²で割るとn _g = N + Θ ( ⁠ √ N / k ⁠ )となります。kが無限大に近づく極限を取ると、n _g = N = N ( z ₀ )となります。

整数の法に関する多くの定理（およびその証明）は、法の絶対値をノルムに置き換えることで、ガウス整数の法に直接適用できます。これは特に、原始剰余類群（nを法とする整数の乗法群とも呼ばれる）とオイラーのトーシェント関数に当てはまります。法zの原始剰余類群は、その剰余類のサブセットとして定義され、 zと互いに素なすべての剰余類a、つまり( a , z ) = 1 を含みます。明らかに、このシステムは乗法群を構築します。その要素の数はϕ ( z )で表されます（整数nに対するオイラーのトーシェント関数φ ( n )と同様）。

ガウス素数の場合、ϕ ( p ) = | p | ² − 1となり、任意の合成ガウス整数の場合、

${\displaystyle z=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}}}$

オイラーの積の公式は次のように導出できる。

${\displaystyle \phi (z)=\prod _{m\,(\nu _{m}>0)}{\bigl |}{p_{m}}^{\nu _{m}}{\bigr |}^{2}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}\right)=|z|^{2}\prod _{p_{m}|z}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}\right)}$

ここで、積はzのすべての素因数p _m（ν _m > 0 ）にわたって構築される。また、オイラーの重要な定理も直接適用できる。

( a , z ) = 1 を満たすすべてのaに対して、 a ^{ϕ ( z )} ≡ 1 (mod z )が成り立つ。

ガウス整数環は、カール・フリードリヒ・ガウスが第2の4次相互性に関するモノグラフ（1832年）で導入した。^{[ 7 ]} 2次相互性の定理（1796年に初めて証明に成功した）は、合同式x ² ≡ q (mod p )の可解性とx ² ≡ p (mod q )の可解性を関連付けている。同様に、3次相互性はx ³ ≡ q (mod p )の可解性とx ³ ≡ p (mod q )の可解性を関連付けており、2次（または4次）相互性はx ⁴ ≡ q (mod p )とx ⁴ ≡ p (mod q )の間の関係である。ガウスは、双二次相互法則とその補足法則は、通常の整数（つまり整数）に関する記述としてよりも、「複素数全体」（つまりガウス整数）に関する記述としての方が、より簡単に述べ、証明できることを発見した。

脚注で彼は、アイゼンシュタイン整数は三次相互法則に関する結果を述べ、証明するための自然な領域であると述べ、同様の整数の拡張はより高次の相互法則を研究するための適切な領域であると指摘している。

この論文は、ガウス整数を紹介し、それが唯一の因数分解領域であることを証明しただけでなく、現在では代数的整数論の標準となっているノルム、単位、主数、および関連数といった用語も導入した。

未解決問題のほとんどは、平面上におけるガウス素数の分布に関するものである。

• ガウスの円問題は、ガウス整数そのものを扱うものではなく、原点を中心とする与えられた半径の円の内側にある整数格子点の数を求める問題である。これは、与えられた値よりも小さいノルムを持つガウス整数の数を求めることと同等である。

ガウス素数についても、いくつかの予想や未解決の問題が存在する。そのうちの2つは以下のとおりである。

• 実軸と虚軸には、無限個のガウス素数 3, 7, 11, 19, ... とその関連数が存在します。無限個のガウス素数が存在する他の直線はありますか？特に、1 + kiの形のガウス素数は無限に存在しますか？^{[ 8 ]}
• ガウス素数を足場として、一定の長さの歩幅で無限に歩くことは可能でしょうか？これはガウスの堀問題として知られており、1962年にバジル・ゴードンによって提起され、未解決のままです。^{[ 9 ] [ 10 ]}

• 代数的整数
• 円切片領域
• アイゼンシュタイン整数
• アイゼンシュタイン・プライム
• フルヴィッツ四元数
• 2乗の和に関するフェルマーの定理の証明
• 二次相互性の証明
• 二次整数
• ガロア拡大における素イデアルの分割は、ガウス整数における素イデアルの構造を記述する。
• ガウス整数因数分解表

• ガウス、CF (1831)、「Theoria residuorum biquadraticorum。Commentatio secunda」。、通信。社会登録科学。ゲッティンゲン、7 : 89–148​; Werke、Georg Olms Verlag、ヒルデスハイム、1973 年、 93 ～ 148 ページに再版。この論文のドイツ語訳は、「H.メーザー (編): Carl Friedrich Gauss の Arithmetische Untersuchungen über höhere Arithmetik。 Springer、ベルリン、1889 年、 534 ページ。
• フレイリー、ジョン・B. (1976)、『抽象代数学入門』（第2 版）、リーディング：アディソン・ウェスリー、ISBN 0-201-01984-1
• Kleiner, Israel (1998). 「数から環へ：環論の初期の歴史」 . Elem. Math. 53 (1): 18– 35. doi : 10.1007/s000170050029 . Zbl 0908.16001 . 
• リベンボイム、パウロ（1996）。素数記録の新版（第3 版）。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 0-387-94457-5. Zbl 0856.11001 . 
• Henry G. Baker (1993). 「ガウスグラフィックスのための複素ガウス整数」". ACM SIGPLAN Notices . 28 (11): 22– 27. doi : 10.1145/165564.165571 . S2CID 8083226 . 

• IMO問題解決における二次拡張とガウス整数に関するIMOコンペンディウムテキスト
• キース・コンラッド著『ガウス整数』