類体理論

数学において、類体理論（CFT ）は代数的整数論の基本的な分野であり、その目的は基底体に関連付けられたオブジェクトを使用して局所体と大域体のすべてのアーベルガロア拡大を記述することです。 ^[1]

ヒルベルトは類体の概念の先駆者の一人として知られています。しかし、この概念はクロネッカーにはすでに知られており、ヒルベルトの基礎論文が発表される前にこの用語を作ったのはウェーバーでした。 ^[2]関連するアイデアは数十年にわたって発展し、ヒルベルトによる一連の予想を生み出し、その後、高木とアルティンによって（チェボタレフの定理の助けを借りて）証明されました。

主要な結果の 1 つは、数体Fが与えられ、K をFの最大アーベル非分岐拡大と書くと、 KのF上のガロア群はFのイデアル類群に標準同型であるというものです。この主張は、いわゆる アルティンの相互法則に一般化されました。イデアル言語では、C _{F を}Fのイデアル類群と書き、L をFの任意の有限アーベル拡大とすると、この法則は標準同型を与えます。

${\displaystyle \theta _{L/F}:C_{F}/{N_{L/F}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/F),}$

ここで、 はLからFへのイデアルノルム写像を表します。この同型は相互写像と呼ばれます。 ${\displaystyle N_{L/F}}$

存在定理は、相互写像がFのアーベル拡大の集合と有限指数の閉部分群の集合との間の一対一関係を与えるために使用できることを述べています。${\displaystyle C_{F}.}$

1930 年代以来、大域類体理論を展開する標準的な方法は、局所体のアーベル拡大を記述する局所類体理論を構築し、それを使用して大域類体理論を構築することでした。これは、エミール・アルティンとテイトによって、群コホモロジー理論を使用して、特に類形成の概念を展開することによって最初に行われました。後に、ノイキルヒは、コホモロジーの考え方を使用せずに、大域類体理論の主なステートメントの証明を見つけました。彼の方法は明示的かつアルゴリズム的でした。

類体理論では、特殊類体理論と一般類体理論 を区別することができます^{[3] 。}

明示的類体理論は、さまざまな状況における数体の極大アーベル拡大の明示的な構成を提供します。理論のこの部分は、のアーベル拡大を構成するために使用できるクロネッカー-ウェーバーの定理と、 CM 体のアーベル拡大を構成するための複素乗法の理論で構成されています。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

類体理論の主な一般化には、高類体理論、ラングランズ プログラム(または「ラングランズ対応」)、遠アーベル幾何学の 3 つがあります。

現代の数学言語では、類体理論 (CFT) は次のように定式化できます。局所体または大域体Kの最大アーベル拡大A を考えます。これはK上で無限次です。 K 上の A のガロア群G は無限プロフィニット群であるため、コンパクトな位相群であり、アーベルです。類体理論の中心的目的は、Kに関連付けられた特定の適切な位相対象によってG を記述すること、 Kに関連付けられた位相対象における有限インデックスの開部分群によってKの有限アーベル拡大を記述することです。特に、 Kのこの位相対象におけるKの有限アーベル拡大とそれらのノルム群との間に 1 対 1 の対応を確立することが目的です。この位相対象は、有限剰余体を持つ局所体の場合は乗法群、大域体の場合はイデアル類群です。有限指数の開部分群に対応する有限アーベル拡大は、その部分群の類体と呼ばれ、これが理論の名前の由来となっています。

一般類体論の基本的な結果は、群G が、体_Kの特定の構造に関連するC K上の自然位相に関して、局所体の乗法群または大域体のイデアル類群であるC _Kの漸近完備化に自然に同型であることを述べています。同様に、 Kの任意の有限ガロア拡大Lに対して、同型（アルティンの相互写像） があります。

${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)^{\operatorname {ab} }\to C_{K}/N_{L/K}(C_{L})}$

Kのイデアル類群の商をLのイデアル類群のノルムの像で割った拡大のガロア群のアーベル化。

有理数体やその二次虚数拡大などの小さな体には、より詳細で非常に明示的だが特殊すぎる理論があり、より多くの情報が得られる。例えば、のアーベル化絶対ガロア群Gは（自然に同型となり）すべての素数pに対してとられたp 進整数の単位群の無限積であり、対応する有理数の最大アーベル拡大はすべての 1 の根によって生成される体である。これはクロネッカー・ウェーバーの定理として知られ、もともとはレオポルド・クロネッカーによって予想された。この場合、類体理論の相互同型性（またはアルティンの相互写像）もクロネッカー・ウェーバーの定理により明示的に記述できる。しかし、小さな代数体に対するそのようなより詳細な理論の主要な構成は、代数体の一般的なケースには拡張できず、一般的な類体理論では異なる概念原理が使用されている。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

相互性準同型性を構成する標準的な方法は、まず、大域体の完備化の乗法群からその最大可換拡大のガロア群への局所相互性同型性を構成し（これは局所類体理論の範囲内で行われる）、次に、そのようなすべての局所相互性写像の積が大域体のイデアル群上で定義される場合、大域体の乗法群の像上で自明であることを証明することです。後者の特性は大域相互性法則と呼ばれ、ガウスの二次相互性法則の広範囲にわたる一般化です。

相互準同型性を構築する方法の1つは、類体理論の公理から類体理論を導出する類形成を使用する。この導出は純粋に位相群論的であるが、公理を確立するには基底体の環構造を使用する必要がある。^[4]

コホモロジー群、特に Brauer 群を使用する方法もあれば、コホモロジー群を使用せず、非常に明示的で応用に有益な方法もあります。

類体理論の起源は、ガウスによって証明された二次の相互法則にあります。一般化は、二次形式とその「種数論」、エルンスト・クンマーとレオポルド・クロネッカー/クルト・ヘンゼルのイデアルと完備化に関する研究、円分理論とクンマー拡大を含む長期にわたる歴史的プロジェクトとして行われました。

最初の 2 つの類体理論は、非常に明示的な円分類体理論と複素乗法類体理論でした。これらは追加の構造を使用しました。有理数体の場合は 1 の根を使用し、有理数体の虚数 2 次拡大の場合は、複素乗法と有限位数の点を持つ楕円曲線を使用します。ずっと後になって、志村の理論は代数体のクラスに対して別の非常に明示的な類体理論を提供しました。正の特性 では、川田と佐竹はウィットの双対性を使用して、相互準同型の - 部分 の非常に簡単な記述を得ました。${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

しかし、これらの非常に明示的な理論は、より一般的な数体に拡張することはできませんでした。一般類体理論は、あらゆるグローバル体上で機能するさまざまな概念と構成を使用しました。

ダフィト・ヒルベルトの有名な問題がさらなる発展を促し、相互法則と、高木貞二、フィリップ・フルトヴェングラー、エミール・アルティン、ヘルムート・ハッセなどによる証明につながった。極めて重要な高木の存在定理は1920年までに知られ、すべての主要な結果は1930年頃までに知られていた。証明されるべき最後の古典的予想の1つは、主化特性であった。類体理論の最初の証明では、実質的な解析的手法が使用された。1930年代以降には、無限拡大と、ヴォルフガング・クルルのガロア群の理論の使用が増えた。これはポンチャギン双対性と組み合わさって、中心的結果であるアルティンの相互法則のより抽象的ではあっても明確な定式化を与えた。重要なステップは、1930年代にクロード・シュヴァレーがイデアル類に代わるイデルを導入したことで、本質的には大域体のアーベル拡大の記述を明確化して簡略化した。中心的な結果のほとんどは 1940 年までに証明されました。

その後、この結果は群コホモロジーの観点から再定式化され、数世代にわたる数論学者にとって類体理論を学ぶ標準的な方法となった。コホモロジー的方法の欠点の 1 つは、その相対的な非明示性である。Bernard Dwork、John Tate、Michiel Hazewinkelによる局所的な貢献と、 Jürgen Neukirchによる局所的および大域的な再解釈の結果として、また多くの数学者による明示的な相互性公式に関する研究との関連で、類体理論の非常に明示的でコホモロジーのない表現が 1990 年代に確立された (たとえば、Neukirch の Class Field Theory を参照)。

類体論はアルティン-ヴェルディエ双対性を証明するために使用されます。^{[5]非常に明示的な類体論は、}岩澤理論やガロア加群理論など、代数的整数論の多くのサブ分野で使用されています。

数体に対するラングランズ対応、数体に対するBSD 予想、数体に対する岩澤理論に向けた主要な成果のほとんどは、非常に明示的だが狭い類体理論の方法またはその一般化を使用しています。したがって、未解決の問題は、これら 3 つの方向で一般類体理論の一般化を使用することです。

それぞれ非常に興味深い 3 つの主な一般化があります。それは、ラングランズ プログラム、遠アーベル幾何学、および高等場理論です。

ラングランズ対応は、非可換類体理論として見られることが多い。それが完全に確立されれば、大域体の非可換ガロア拡大の特定の理論が含まれることになる。しかし、ラングランズ対応には、可換の場合の類体理論ほどの有限ガロア拡大に関する算術的情報は含まれていない。また、類体理論における存在定理の類似物も含まれていない。つまり、ラングランズ対応には類体の概念がない。ラングランズ対応の観点に代わる、局所的および大域的な非可換理論がいくつかある。

類体理論のもう一つの一般化は遠アーベル幾何学であり、これは元のオブジェクト（例えば数体やその上の双曲曲線）をその完全な絶対ガロア群や代数的基本群の知識から復元するアルゴリズムを研究する。^{[6] [7]}

もう一つの自然な一般化は高次類体理論であり、高次局所類体理論と高次大域類体理論に分けられる。これは高次局所体と高次大域体のアーベル拡大を記述する。後者は整数上の有限型のスキームの関数体とその適切な局所化および完備化として現れる。これは代数的 K 理論を使用し、適切なミルノア K 群は1 次元類体理論で使用されるを一般化する。 ${\displaystyle K_{1}}$

• 非可換類体理論
• 遠アーベル幾何学
• フロベニオイド
• ラングランズ対応