ホモロジー（数学）

数学において、もともと代数的位相幾何学で導入された用語「ホモロジー」には、密接に関連した主要な用法が 3 つあります。この用語の最も直接的な用法は、連鎖複体のホモロジーをとることです。この結果、ホモロジー群と呼ばれるアーベル群の列が得られます。この操作により、さまざまな名前の付いたホモロジーまたはホモロジー理論をさまざまな他の種類の数学的対象に関連付けることができます。最後に、位相空間には同じ答えを生み出すホモロジー理論が多数存在するため、位相空間のホモロジーとも呼ばれます。(この後者のホモロジーの概念は、1 次元または 2 次元の位相空間をより直感的に記述できるため、一般的な数学で参照されることがあります。) また、コチェーン複体のコホモロジーという関連する概念もあり、位相空間のコホモロジーの概念に加えて、さまざまなコホモロジー理論が生じます。

鎖複体のホモロジーを求めるには、鎖複体から始めます。鎖複体とは、連続する任意の 2 つの写像の合成が 0 になるような、アーベル群(その要素は鎖と呼ばれます) と群準同型(境界写像と呼ばれます)の列です。 ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle d_{n}}$

${\displaystyle C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots 、\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

この鎖複体の番目のホモロジー群は、境界を法とするサイクルの商群です。ここで、番目のサイクル群は核部分群によって与えられ、番目の境界群は像部分群によって与えられます。オプションで、鎖複体に追加の構造を与えることができます。たとえば、さらに群を係数環 上の加群とし、境界写像を- 加群準同型 とすると、ホモロジー群も商加群になります。ホモロジー代数のツールを使用すると、異なる鎖複体のホモロジー群を関連付けることができます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}=Z_{n}/B_{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z_{n}}$${\displaystyle Z_{n}:=\ker d_{n}:=\{c\in C_{n}\,|\;d_{n}(c)=0\}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle B_{n}:=\mathrm {im} \,d_{n+1}:=\{d_{n+1}(c)\,|\;c\in C_{n+1}\ }}$${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle d_{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle H_{n}}$

ホモロジー理論を他の種類の数学的対象に関連付けるには、まずその対象に連鎖複合体を関連付ける規定を与え、次にそのような連鎖複合体のホモロジーを取ります。ホモロジー理論が有効であるためには、同じ数学的対象に関連付けられたそのような連鎖複合体はすべて同じホモロジーを持っている必要があります。結果として得られるホモロジー理論は、規定された連鎖複合体の種類に応じて名前が付けられることがよくあります。たとえば、特異ホモロジー、モースホモロジー、コバノフホモロジー、ホックシルトホモロジーは、それぞれ特異連鎖複合体、モース複合体、コバノフ複合体、ホックシルト複合体から得られます。グループホモロジーなどの他の場合には、同じホモロジー群を計算するための一般的な方法が複数あります。

圏論の言語では、ホモロジー理論は、研究されている数学的対象の圏からアーベル群および群準同型の圏、またはより一般的には関連する連鎖複体に対応する圏への関数の一種です。ホモロジー理論は、適切なアーベル圏上の導来関数として定式化することもでき、適切な関数が正確でないことの測定になります。この後者の構成は、解析の観点から明示的に記述することも、導来圏またはモデル圏の観点からより抽象的に記述することもできます。

どのように定式化されるかに関係なく、ホモロジー理論は、それが関連付けられている数学的オブジェクトの構造に関する情報を提供するのに役立ち、場合によっては異なるオブジェクトを区別するのに役立ちます。

おそらく、ホモロジーという用語の最もよく知られた用法は、位相空間のホモロジーに対する用法です。十分に良い位相空間と互換性のある係数環の選択に対して、アイレンバーグ-スティーンロッド公理を満たす任意のホモロジー理論は、その位相空間の特異ホモロジー(以下を参照)と同じホモロジー群を生成します。その結果、問題のホモロジー群を計算するためにどのホモロジー理論が使用されたかを指定する代わりに、その空間の「ホモロジー」のみを参照することがよくあります。

1 次元の位相空間の場合、おそらく最も単純なホモロジー理論はグラフ ホモロジーです。これは、位相空間を単体に分解する単体ホモロジーの 1 次元の特殊ケースと見なすことができます。(単体は、任意の次元への三角形の一般化です。たとえば、グラフの辺は1 次元の単体に同相であり、三角形をベースとするピラミッドは 3 単体です。) 単体ホモロジーは、特異点ホモロジーに一般化でき、これにより、位相空間へのより一般的な単体の写像が可能になります。単体をさまざまな次元のディスクに置き換えると、セル ホモロジーと呼ばれる関連する構成になります。

これらのホモロジー群を計算する他の方法もあります。たとえば、モースホモロジーを使用する方法や、チェフコホモロジーや (実係数の場合)ド・ラームコホモロジーなどのコホモロジー理論に適用されたときの普遍係数定理の出力を使用する方法などがあります。

ホモロジーの発展につながったアイデアの 1 つは、特定の低次元形状は「穴」を調べることによって位相的に区別できるという観察でした。たとえば、8 の字形状には円よりも多くの穴があり、2 次元トーラス(内管のような形状の 2 次元表面) には 2 次元球面(バスケットボールのような形状の 2 次元表面) とは異なる穴があります。 ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$

このような位相的特徴を研究することで、ホモロジー類 (ホモロジー群の要素) を表すサイクルの概念が生まれました。たとえば、 8 の字型に埋め込まれた2 つの円は 1 次元サイクル、つまり 1 サイクルの例であり、2 トーラスと 2 球は2 サイクルを表します。サイクルは形式的加算の演算によってグループを形成します。形式的加算とは、サイクルを幾何学的に組み合わせるのではなく、記号的に加算することを意味します。サイクルの形式的合計は、すべてサイクルと呼ばれます。 ${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$

ホモロジー群の明示的な構成は、いくぶん技術的です。上で述べたように、位相空間のホモロジー群の明示的な実現は、に関連付けられた鎖複体のサイクルと境界によって定義されます。ここで、鎖複体のタイプは、使用するホモロジー理論の選択によって異なります。これらのサイクルと境界はアーベル群の要素であり、鎖複体の境界準同型によって定義されます。ここで、それぞれはアーベル群であり、 はすべての に対してを満たす群準同型です。 ${\displaystyle H_{n}(X)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle d_{n}}$${\displaystyle d_{n-1}\circ d_{n}=0}$${\displaystyle n}$

このような構成はいくぶん技術的なため、ホモロジーに関する非公式の議論では、サイクルや境界の群論的側面の一部に類似する位相的な概念に焦点が当てられることがあります。

例えば、鎖複体の文脈では、境界とは、ある に対して、境界準同型 の像 の任意の元です。位相幾何学では、空間の境界は、技術的には空間の閉包からその内部を引いて得られますが、例からもおなじみの概念です。例えば、単位円 の境界は単位円であり、より位相的に言えば、 の境界はです。 ${\displaystyle B_{n}:=\mathrm {im} \,d_{n+1}:=\{d_{n+1}(c)\,|\;c\in C_{n+1}\ }}$${\displaystyle d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$

位相的には、閉区間の境界は互いに素な和 によって与えられ、適切な方向付けの規則に従って、 の向き付けられた境界は、正の向きに向いたと負の向きに向いた の和 によって与えられます。このステートメントの単体連鎖複素数類似体は です。( は準同型なので、任意の整数 に対してが成り立ちます。) ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \{0\}\,\amalg \,\{1\}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle \{0\}.}$${\displaystyle d_{1}([0,1])=\{1\}-\{0\}}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{1}(k\cdot [0,1])=k\cdot \{1\}-k\cdot \{0\}}$${\displaystyle k}$

鎖複体の文脈では、サイクルは、ある に対して核の任意の要素です。言い換えると、は の場合にのみサイクルです。この考え方の最も近い位相的類似物は、境界が空集合であるという意味で「境界がない」図形です。たとえば、、および には境界がないため、これらの各空間にサイクルを関連付けることができます。ただし、鎖複体のサイクルの概念 (境界が「ゼロ鎖」である要素) は、境界のない図形の位相的概念よりも一般的です。 ${\displaystyle Z_{n}:=\ker d_{n}:=\{c\in C_{n}\,|\;d_{n}(c)=0\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c\in C_{n}}$${\displaystyle d_{n}(c)=0}$${\displaystyle S^{1},S^{2}}$${\displaystyle T^{2}}$

サイクルは直感的に穴を見つけることだと考えられると主張するときに、人々が一般的に念頭に置いているのは、この境界がないという位相的な概念です。この考え方は、、、などの境界がない図形の場合、それぞれの場合に、元の図形が境界であるより大きな図形を接着することが可能であるということです。たとえば、円 から始めて、が の境界となるように2 次元ディスク をに接着することができます。同様に、2 次元球 が与えられている場合、が の境界となるようにボール をに接着することができます。この現象は、 に 形の「穴」がある、または で「埋められる」可能性があると説明されることがあります。 ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle B^{3}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle B^{3}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle B^{3}}$${\displaystyle B^{3}}$

より一般的には、境界のない任意の図形は円錐で「埋める」ことができます。これは、与えられた空間に境界がない場合、 上の円錐の境界はで与えられるため、上の円錐を に貼り付けて「埋める」と、 がその円錐の境界になるからです。(たとえば、 上の円錐は、を境界とする円板に同相です。 ) ただし、多様体などのより適切な空間に制限することが望ましい場合もあり、すべての円錐が多様体に同相であるとは限りません。1サイクル、3 サイクル、および向き付けられた 2 サイクルの埋め込み表現はすべて、多様体の形状の穴を許容しますが、たとえば、実射影平面と複素射影平面は非自明なコボルディズム類を持つため、多様体で「埋める」ことはできません。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

一方、位相空間のホモロジーで議論される境界は、「埋められた」穴の境界とは異なります。位相空間のホモロジーは、 に追加のピースを に貼り付けることで構築された新しい形状ではなく、元の空間 に関係しているからです。たとえば、 に埋め込まれた円は、すでに に埋め込まれたディスクを囲んでいるため、のホモロジーでは境界クラスが生じます。対照的に、の字形の 2 つのローブのいずれかにを埋め込むと境界は生成されませんが、 の字形のローブにディスクを貼り付けることは可能です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$

十分に良い位相空間、適切なホモロジー理論の選択、およびそのホモロジー理論と互換性のある に関連付けられた連鎖複体 が与えられれば、 番目のホモロジー群は、 次元境界を法とする- サイクル ( - 次元サイクル)の商群によって与えられます。言い換えると、ホモロジー類と呼ばれるの元は、代表が- サイクルである同値類であり、任意の 2 つのサイクルは、境界の追加によって異なる場合にのみ で等しいと見なされます。これはまた、 の「ゼロ」元が - 次元境界の群によって与えられ、これにはそのような境界の形式的な和も含まれること を意味します。${\displaystyle X}$${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}(X)}$ ${\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}/B_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}(X)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}(X)}$${\displaystyle H_{n}(X)}$${\displaystyle n}$

位相空間 Xのホモロジーは、ホモロジー群によって表されるXの位相不変量の集合であり 、ホモロジー群は、非公式には、 k次元境界を持つXの穴の数を記述する。 0 次元境界の穴は、単に 2 つの成分間のギャップである。したがって、 はXのパス連結成分を記述する。^[1] $${\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }$$${\displaystyle k^{\rm {th}}}$${\displaystyle H_{k}(X)}$${\displaystyle H_{0}(X)}$

1次元球は 円である。1つの連結成分と1次元境界ホールを持ち、高次元ホールを持たない。対応するホモロジー群は として与えられ、 は整数群、 は自明群である。この群は有限生成アーベル群を表し、単一の生成元は円に含まれる1次元ホールを表す。^[2]${\displaystyle S^{1}}$$${\displaystyle H_{k}\left(S^{1}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle H_{1}\left(S^{1}\right)=\mathbb {Z} }$

2次元球面には、 連結成分が1つあり、1次元境界ホールはなく、2次元境界ホールがあり、高次元ホールはない。対応するホモロジー群は^{[2] [3]である。}${\displaystyle S^{2}}$ $${\displaystyle H_{k}\left(S^{2}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

一般にn次元球面のホモロジー群は ${\displaystyle S^{n},}$$${\displaystyle H_{k}\left(S^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

2次元球 は固体円板である。2次元球は単一の経路連結成分を持ち、円とは対照的に高次元の穴を持たない。対応するホモロジー群は を除いてすべて自明である。一般に、 n次元球^[2]に対して${\displaystyle B^{2}}$${\displaystyle H_{0}\left(B^{2}\right)=\mathbb {Z} }$${\displaystyle B^{n},}$

$${\displaystyle H_{k}\left(B^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

トーラスは2つの円の積として定義される。トーラスには、1つのパス接続されたコンポーネント、2つの独立した1次元の穴（赤と青の円で示される）、およびトーラスの内部としての1つの2次元の穴がある。対応するホモロジー群は^{[4]である。}${\displaystyle T^{2}=S^{1}\times S^{1}}$ $${\displaystyle H_{k}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

位相空間Xのn積が と書かれる場合、一般にn次元トーラスに対して、 ${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle T^{n}=(S^{1})^{n}}$

$${\displaystyle H_{k}(T^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}&0\leq k\leq n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

(詳細については、 トーラス#n次元トーラスとベッティ数#その他の例を参照してください)。

2つの独立した1次元ホールは有限生成アーベル群の独立生成元を形成し、積群として表現される。 ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

射影平面 Pについては、簡単な計算で次式が得られる（ここでは位数2の巡回群）。^[5]${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ $${\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

${\displaystyle H_{0}(P)=\mathbb {Z} }$は、前の例と同様に、単一の連結成分が存在するという事実に対応します。は新しい現象です。直感的には、単一の収縮不可能な「ループ」が存在するという事実に対応しますが、ループを 2 回実行すると、ゼロに収縮可能になります。この現象は、ねじれと呼ばれます。 ${\displaystyle H_{1}(P)=\mathbb {Z} _{2}}$

以下のテキストでは、ホモロジー群を構築するための一般的なアルゴリズムについて説明します。まずはグラフホモロジーと単体ホモロジーという簡単な例を見てみるのが一番わかりやすいかもしれません。

一般的な構築は、位相空間Xなどのオブジェクトから始まり、その上でXに関する情報をエンコードする連鎖複体 C ( X ) を定義します。連鎖複体とは、境界演算子と呼ばれる準同型で接続されたアーベル群またはモジュールの列です。^[4]つまり、 ${\displaystyle C_{0},C_{1},C_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

ここで、0は自明な群を表し、i < 0の場合である。また、任意の2つの連続する境界演算子の合成は自明であることが要求される。つまり、すべてのnに対して、 ${\displaystyle C_{i}\equiv 0}$

${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0_{n+1,n-1},}$

すなわち、定数写像は、 のすべての要素を の群単位元に送る。${\displaystyle C_{n+1}}$${\displaystyle C_{n-1}.}$

境界の境界が自明であるというステートメントは、 というステートメントと同等です。ここで、 は境界演算子の像とその核を表します。 の要素は境界と呼ばれ、 の要素はサイクルと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle B_{n}(X)=\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$

各連鎖群C _{n は}アーベル群なので、そのすべての部分群は正規群です。 はC _nの部分群なので、 はアーベル群であり、はの正規部分群なので、 は商群を作成できます。${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$

${\displaystyle H_{n}(X):=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})=Z_{n}(X)/B_{n}(X),}$

Xのn番目のホモロジー群と呼ばれる。H n ( X )の元はホモロジー類と呼ばれる。各ホモロジー類はサイクル_上の同値類であり、同じホモロジー類内の 2 つのサイクルは相同であると言われる。^[6]

鎖複体は、 ( n +1)番目の写像の像が常にn番目の写像の核に等しい場合、正確であると言われる。したがって、 Xのホモロジー群は、Xに関連付けられた鎖複体が正確であることから「どれだけ離れているか」を測定する。 ^[7]

鎖状複合体C ( X )の縮小相同性群は、拡大鎖状複合体の相同性として定義される^[8]

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0}$

ここで境界演算子は ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$

C ₀の固定生成元である点の組み合わせに対して。縮小されたホモロジー群は、に対してと一致します。連鎖複体内の余分は、空の単体からXへの一意の写像を表します。 ${\displaystyle \sum n_{i}\sigma _{i},}$${\displaystyle \sigma _{i},}$${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)}$${\displaystyle H_{i}(X)}$${\displaystyle i\neq 0.}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle [\emptyset ]\longrightarrow X}$

サイクルグループと境界グループの計算は、ジェネレータの数が非常に多いため、通常はかなり困難です。一方、この作業を容易にするツールもあります。 ${\displaystyle Z_{n}(X)}$${\displaystyle B_{n}(X)}$

単体複体Xの単体ホモロジー群H _n ( X )は単体鎖複体C ( X ) を使用して定義されます。ここで、C _n ( X )はXのn単体によって生成される自由アーベル群です。詳細については単体ホモロジーを参照してください。

特異ホモロジー群H _n ( X ) は任意の位相空間Xに対して定義され、単体複体の単体ホモロジー群と一致する。

コホモロジー群は形式的にはホモロジー群に似ている。まず、コチェーン複体から始める。これはチェーン複体と同じだが、矢印はnを減少させる方向ではなくnを増加する方向を指す。次に、コサイクル群とコ境界群が同じ記述から導かれる。Xのn番目のコホモロジー群は、商群である。 ${\displaystyle d_{n},}$${\displaystyle \ker \left(d^{n}\right)=Z^{n}(X)}$${\displaystyle \mathrm {im} \left(d^{n-1}\right)=B^{n}(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X)=Z^{n}(X)/B^{n}(X),}$

n番目のホモロジー群と類似しています。

位相空間のn次ホモトピー群は、 連結の群演算の下で、 - 球面から への基底点保存写像のホモトピー類の群である。最も基本的なホモトピー群は基本群 である。連結に対して、ヒューレヴィッツの定理はヒューレヴィッツ準同型と呼ばれる準同型を記述する。 に対して、この準同型は複雑になる可能性があるが、 のとき、ヒューレヴィッツ準同型はアーベル化と一致する。つまり、 は射影的であり、その核は の交換子部分群であり、その結果、 はのアーベル化と同型である。高次のホモトピー群は計算が難しい場合がある。たとえば、球面のホモトピー群は十分に理解されておらず、一般には知られていないが、これはホモロジー群について上で示した簡単な記述とは対照的である。 ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h_{*}:\pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle h_{*}:\pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle H_{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

例えば、8の字が考えられます。通常どおり、その最初のホモトピー群、つまり基本群 は、所定の点 (たとえば中心) で始まり、終わる有向ループのホモトピー類の群です。これは、階数 2 の自由群と同型ですが、これは可換ではありません。つまり、左側のサイクルを一周してから右側のサイクルを一周することは、右側のサイクルを一周してから左側のサイクルを一周することとは異なります。対照的に、8の字 の最初のホモロジー群はアーベル群です。これをサイクルのホモロジー類で明示的に表現するには、左側のサイクルのホモロジー類と右側のサイクルのホモロジー類を の基底元としてとり、 と書くことができます。 ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \mathbb {Z} *\mathbb {Z} }$${\displaystyle H_{1}(X)\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$${\displaystyle l}$${\displaystyle r}$${\displaystyle H_{1}(X)}$${\displaystyle H_{1}(X)=\{a_{l}l+a_{r}r\,|\;a_{l},a_{r}\in \mathbb {Z} \}}$

ホモロジー理論のさまざまなタイプは、さまざまな数学的オブジェクトのカテゴリから連鎖複合体のカテゴリにマッピングする関数から生じます。それぞれの場合、オブジェクトから連鎖複合体への関数と連鎖複合体からホモロジー群への関数の合成によって、理論全体のホモロジー関数が定義されます。^[9]

動機となる例は代数位相学から来ている。単体複体Xの単体ホモロジーである。ここで、連鎖群C _{n は}自由アーベル群または自由加群であり、その生成元はXのn次元の向き付けられた単体である。向きは、複体の頂点を順序付けし、向き付けられた単体をその頂点の昇順で並べたn組として表現することによって表現される（つまり、複体の頂点の順序付けにおいて、 は組に現れる 番目の頂点である） 。 C _nからC _n−1への写像は境界写像と呼ばれ、単体を ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$${\displaystyle \sigma [0]<\sigma [1]<\cdots <\sigma [n]}$${\displaystyle \sigma [i]}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \partial _{n}}$

${\displaystyle \sigma =(\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$

正式な金額に

${\displaystyle \partial _{n}(\sigma )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(\sigma [0],\dots ,\sigma [i-1],\sigma [i+1],\dots ,\sigma [n]\right),}$

これは の場合 0 とみなされます。この生成子の振る舞いは、次のようにC _nのすべてに準同型性を誘導します。元 が与えられたとき、それを生成子の和として書きます。ここで はXのn単体の集合であり、m _{i は}C _nが定義されている環の係数です(通常は整数ですが、特に指定がない限り)。次に定義します。 ${\displaystyle n=0.}$${\displaystyle c\in C_{n}}$${\textstyle c=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\sigma _{i},}$${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle \partial _{n}(c)=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\partial _{n}(\sigma _{i}).}$

Xのn番目のホモロジーの次元は、次元nにおけるXの「穴」の数になります。これは、これらの境界マッピングの行列表現をスミス正規形に配置することで計算できます。

単体ホモロジーの例をモデルとして使用して、任意の位相空間Xの特異ホモロジーを定義できます。 Xの連鎖複体は、C _{n を、}その生成元がすべてn次元単体からXへの連続写像である自由アーベル群（または自由モジュール）とすることで定義されます。準同型 ∂ _{n は}単体の境界写像から生じます。

抽象代数では、ホモロジーを使用して導来関手、たとえばTor 関手を定義します。ここでは、共変加法関手Fと何らかのモジュールXから始めます。 Xの連鎖複体は次のように定義されます。まず、自由モジュールと全射準同型を見つけます。次に、自由モジュールと全射準同型を見つけます。このように続けると、自由モジュールと準同型のシーケンスを定義できます。このシーケンスに関手F を適用することにより、連鎖複体が得られます。この複体のホモロジーはFとXのみに依存し、定義により、Xに適用されたFのn番目の導来関手です。 ${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle p_{1}:F_{1}\to X.}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle p_{2}:F_{2}\to \ker \left(p_{1}\right).}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle H_{n}}$

群（コ）ホモロジーの一般的な用途は、与えられたG加群Mを正規部分群として含み、与えられた商群Gを持つ可能な拡大群Eを分類することである。${\displaystyle H^{2}(G,M)}$ ${\displaystyle G=E/M.}$

連鎖複体はカテゴリを形成します。連鎖複体 ( ) から連鎖複体 ( ) への射は、すべてのnに対してとなる準同型写像の列です。n番目のホモロジーH _{n は}、連鎖複体のカテゴリからアーベル群 (またはモジュール) のカテゴリへの 共変関数として考えることができます。${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$${\displaystyle e_{n}:B_{n}\to B_{n-1}}$${\displaystyle f_{n}:A_{n}\to B_{n}}$${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n}\circ f_{n}}$

連鎖複体がオブジェクトXに共変的に依存する場合 (つまり、任意の射がXの連鎖複体からY の連鎖複体への射を誘導する 場合)、H _{n は}Xが属するカテゴリからアーベル群 (またはモジュール) のカテゴリへの 共変関数です。${\displaystyle X\to Y}$

ホモロジーおよびコホモロジーの唯一の違いは、コホモロジーでは鎖複体が反変的にXに依存すること、したがってホモロジー群 (この文脈ではコホモロジー群と呼ばれ、 H ⁿと表記される)がXが属するカテゴリからアーベル群または加群のカテゴリへの 反変関手を形成することです。

( ) が鎖複体で、有限個以外のA _nがゼロで、残りが有限生成アーベル群（または有限次元ベクトル空間）である場合、オイラー特性を定義することができる。${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}$

(アーベル群の場合は階数、ベクトル空間の場合は ハメル次元を使用)。オイラー特性はホモロジーのレベルで計算することもできることがわかります。

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$

そして、特に代数的位相幾何学においては、これは連鎖複体を生じさせた オブジェクトXの重要な不変量を計算する 2 つの方法を提供します。${\displaystyle \chi }$

すべての短い正確なシーケンス

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$

鎖状複合体は、ホモロジー群の 長い正確な列を生み出す。

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(B)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(B)\to H_{n-1}(C)\to H_{n-2}(A)\to \cdots }$

この長い完全列のすべての写像は、写像を除いて、連鎖複体間の写像によって誘導されます。後者は接続準同型と呼ばれ、ジグザグ補題によって提供されます。この補題は、相対ホモロジーやマイヤー-ヴィートリス列の理論など、ホモロジー群の計算に役立つさまざまな方法でホモロジーに適用できます。 ${\displaystyle H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)}$

ホモロジーを使用して証明された注目すべき定理には以下のものがあります。

• ブラウワー不動点定理：球体B ⁿからそれ自身への連続写像fに対して、${\displaystyle a\in B^{n}}$${\displaystyle f(a)=a.}$
• 領域の不変性: U がの開集合であり、が単射連続写像である場合、 は開集合であり、f はUとV の間の同相写像である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V=f(U)}$
• ヘアリーボール定理: 2 次元球面 (またはより一般的には、任意の に対する2 k次元球面)上の任意の連続ベクトル場は、ある点で消失します。${\displaystyle k\geq 1}$
• ボルスク・ウラム定理: n球面からユークリッドn空間への任意の連続関数は、いくつかの反対心点のペアを同じ点にマッピングします。(球面上の 2 つの点は、球の中心からちょうど反対方向にある場合、反対心点と呼ばれます。)
• 次元の不変性：空でない開集合とが同相である場合、^[10]${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle m=n.}$

位相データ解析では、データセットはユークリッド空間に埋め込まれた多様体または代数多様体の点群サンプリングとみなされます。クラウド内の最近傍点を三角形にリンクすることで、多様体の単体近似が作成され、その単体ホモロジーを計算できます。さまざまな三角形分割戦略を使用して、複数の長さスケールでホモロジーを確実に計算する手法を見つけることが、パーシステントホモロジーのトピックです。^[11]

センサーネットワークでは、センサーは時間とともに動的に変化するアドホックネットワークを介して情報を通信することがあります。この一連のローカル測定と通信パスのグローバルコンテキストを理解するには、ネットワークトポロジの相同性を計算して、たとえばカバレッジの穴を評価することが有用です。^[12]

物理学における力学系理論において、ポアンカレは力学系の不変多様体とその位相不変量との相互作用を最初に考察した人物の一人である。モース理論は、多様体上の勾配流のダイナミクスを、例えばそのホモロジーと関連付ける。フレアーホモロジーはこれを無限次元多様体に拡張した。KAM定理は、周期軌道が複雑な軌道をたどることができることを確立した。特に、フレアーホモロジーを使用して調査できる組紐を形成する可能性がある。 ^[13]

有限要素法の一種では、ホッジ・ラプラス演算子を含む微分方程式の境界値問題を、例えば電磁気シミュレーションなどの位相的に自明でない領域で解く必要がある場合がある。これらのシミュレーションでは、選択された境界条件と領域のホモロジーに基づいて、解のコホモロジー類を固定することで解の解が得られる。FEM領域は三角形に分割することができ、そこから単体ホモロジーを計算することができる。^{[14] [15]}

有限セル複体のホモロジー群を計算する目的で、さまざまなソフトウェア パッケージが開発されています。Linbox は、スミス正規形を含む高速行列演算を実行するためのC++ライブラリで、Gap と Maple の両方とインターフェイスします。Chomp、CAPD::Redhom Archived 2013-07-15 at the Wayback Machine、および Perseus も C++ で書かれています。3 つとも、単純ホモトピー同値と離散モース理論に基づく前処理アルゴリズムを実装し、入力セル複体のホモロジー保存縮約を実行してから、行列代数に頼ります。KenzoはLisp で書かれており、ホモロジーに加えて、有限単体複体のホモトピー群の表現を生成するためにも使用できます。Gmsh には、有限要素メッシュのホモロジー ソルバーが含まれており、有限要素ソフトウェアで直接使用できるコホモロジー基底を生成できます。^[14]

ホモロジー理論はオイラーの多面体公式、またはオイラー特性から始まったと言えます。^[16]これに続いて、1857年にリーマンが種数とn倍連結性の数値不変量を定義し、1871年にベッティが「ホモロジー数」が基底の選択に依存しないことを証明しました。^[17]

通常の球面 上では、図の曲線b は極まで縮めることができ、赤道大円aも同様に縮めることができます。ジョルダン曲線定理は、cなどの任意の閉曲線を同様に点まで縮めることができることを示しています。これは、 が自明な基本群を持つことを意味し、したがって、結果として、 は自明な第 1 ホモロジー群も持っています。 ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

トーラスには、 互いに連続的に変形できない閉じた曲線があります。たとえば、図では、サイクルa、b、cのいずれも互いに変形できません。特に、サイクルaとbは点まで縮小できませんが、サイクルc は縮小できます。 ${\displaystyle T^{2}}$

トーラス面をaとb の両方に沿って切断すると、それを開いて長方形、またはより便利な正方形に平らにすることができます。 1 つの向かい合った辺のペアはaに沿った切断を表し、もう 1 つの向かい合った辺のペアはbに沿った切断を表します。

正方形の辺は、さまざまな方法で接着し直すことができます。図の矢印で示すように、正方形をひねって辺が反対方向に合うようにすることもできます。辺を接着するさまざまな方法により、位相的に異なる 4 つの表面が生成されます。

${\displaystyle K^{2}}$はクラインの壷で、ねじれのあるトーラスです（正方形の図では、ねじれは下の矢印の反転として見ることができます）。再接着された表面は必ず自己交差する（ユークリッド3 次元空間に浸漬した場合）というのが定理です。トーラスと同様に、サイクルaとb は縮小できませんが、c は縮小できます。しかし、トーラスとは異なり、b を右回りして後ろにたどると、 b が1 つの接合に与えられたねじれを横切るため、左右が反転します。b の片側で等距離の切断が行われた場合、反対側に戻り、表面を 2 度目に回ってから開始点に戻り、ねじれたメビウスの帯を切り出します。このように局所的な左と右を任意に再方向付けできるため、表面全体としては向きが付けられないと言われています。

射影平面は 両方の接合部がねじれています。一般にボーイ面として表される切断されていない形式は視覚的に複雑なので、図では半球状の埋め込みが示されています。この埋め込みでは、縁の周りのAやA′などの反対称点が同じ点として識別されます。ここでも、a は収縮できませんが、 c は収縮できます。bが 1 回だけ巻かれた場合、これも収縮できず、左右が逆になります。ただし、 2 回目に巻かれると、左右が元に戻ります。これは 1 点に収縮でき、 cと相同です。 ${\displaystyle P^{2}}$

サイクルは、トーラスが切り開かれて平らになったときのaとb のように、結合または追加できます。クラインの壷図では、a は一方向に回転し、- a は反対方向に回転します。a をカットと考えると、 - a は接着操作と考えることができます。カットしてから再度接着しても表面は変化しないため、a + (- a ) = 0 となります。

しかし、今度は 2 つのaサイクルを考えてみましょう。クラインの壺は向きが付けられないので、そのうちの 1 つを ( bサイクルに沿って) 壺の周りを一周させることができ、 − aとして戻ってきます。これは、クラインの壺が円筒で作られており、そのaサイクルの端が反対向きで接着されているためです。したがって、 2 a = a + a = a + (− a ) = 0 です。この現象はねじれと呼ばれます。同様に、射影平面では、収縮できないサイクルbを 2 周すると、点に収縮できる自明なサイクル、つまりb + b = 0が作成されます。ゼロ サイクルを実現するにはb を2 周する必要があるため、この表面はねじれ係数が 2 であると言われています。ただし、クラインの壺でbサイクルを 2 周すると、このサイクルはねじれのないホモロジー類に属するため、単にb + b = 2 bになります。これは、クラインの壺の基本多角形では 1 組の辺だけがねじれて接着されているのに対し、射影平面では両方の辺がねじれているという事実に対応しています。

正方形は収縮可能な位相空間であり、これは正方形が自明なホモロジーを持つことを意味する。したがって、追加の切断により正方形は切断される。正方形は、平面上で表面に接着できる唯一の形状ではない。たとえば、八角形の反対側の辺を接着すると、2つの穴のある表面が生成される。実際、すべての閉じた表面は、何らかの多角形の辺を接着することで生成でき、すべての偶数辺の多角形 (2 n角形) を接着して異なる多様体を作成することができる。逆に、 n 個の非ゼロクラスを持つ閉じた表面は、 2 n角形に切断できる。バリエーションも可能であり、たとえば、六角形を接着してトーラスを形成することもできる。^[18]

ホモロジーに関する最初の理論は、アンリ・ポアンカレが彼の重要な論文「Analysis situs」、J. Ecole polytech. (2) 1 . 1–121 (1895) で発表した。この論文ではホモロジー類と関係が紹介された。有向閉路の可能な構成は、多様体のベッティ数によって分類される（ベッティ数はオイラー特性の改良である）。有向閉路を分類するには、ねじれ係数に関する追加情報が必要である。^[19]

1 次元多様体と 2 次元多様体の完全な分類は表に示されています。

注記

1. 非方向性サーフェスの場合、穴は 2 つのクロスキャップと同等になります。
2. 任意の閉じた 2 次元多様体は、 gトーラスとc射影平面の連結和として実現できます。ここで、2 次元球面は空の連結和とみなされます。連結和の演算によってホモロジーが保存されます。${\displaystyle S^{2}}$

より厳密さを追求する中で、ポアンカレは三角形多様体の単体ホモロジーを発展させ、現在では単体鎖複体と呼ばれるものを作り出した。^{[21] [22]} 鎖複体（その後大幅に一般化）は、ホモロジーに関する現代のほとんどの扱いの基礎を形成している。

エミー・ネーターは、また、レオポルド・ヴィートリスとヴァルター・マイヤーもそれぞれ独立に、 1925年から1928年にかけて代数ホモロジー群の理論をさらに発展させた。^{[23] [24] [25]}新しい組合せ論的位相幾何学は、位相類をアーベル群として正式に扱った。ホモロジー群は有限生成アーベル群であり、ホモロジー類はこれらの群の要素である。多様体のベッティ数はホモロジー群の自由部分の階数であり、曲面の特殊なケースでは、ホモロジー群の捩れ部分は向き付け不可能なサイクルに対してのみ発生する。

その後のホモロジー群の普及により、用語と観点が「組合せ位相幾何学」から「代数位相幾何学」へと変化した。 ^[26] 代数ホモロジーは多様体を分類する主要な方法であり続けている。^[27]

• ベッティ数
• 自転車スペース
• ド・ラームコホモロジー
• アイレンバーグ・スティーンロッド公理
• 異常なホモロジー理論
• ホモロジー代数
• 可換代数におけるホモロジー予想
• 相同的接続
• ホモロジー次元
• ホモトピー群
• キュネス定理
• コホモロジー理論のリスト- ホモロジー理論のリストもあります
• ポアンカレ双対性

• カルタン、アンリ・ポール、アイレンバーグ、サミュエル(1956)。ホモロジー代数。プリンストン数学シリーズ。第 19 巻。プリンストン大学出版局。ISBN 9780674079779. OCLC  529171.
• ハーバート・エデルスブルンナーとジョン・L・ハラー（2010）：計算トポロジー入門、アメリカ数学会
• アイレンバーグ、サミュエル; ムーア、JC (1965)。相対ホモロジー代数の基礎。アメリカ数学会誌第55巻。アメリカ数学会。ISBN 9780821812556. OCLC  1361982.
• ガワーズ、ティモシー、バローグリーン、ジューン、リーダー、イムレ編（2010）、プリンストン数学コンパニオン、プリンストン大学出版、ISBN 9781400830398。
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• 数学百科事典のホモロジー群
• [1] NJ Windberger 代数的位相幾何学入門、最後の6回の講義でホモロジーの簡単な入門を解説
• [2] 代数的位相幾何学 アレン・ハッチャー - 第2章 ホモロジー