角運動量

角運動量
このジャイロスコープは、角運動量保存則により、回転しながらも直立したままになります。
一般的な記号	ら
SI基本単位では	kg⋅m 2 ⋅s −1
保存されていますか?	はい
他の量からの導出	L = I ω = r × p
寸法	${\displaystyle {\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-1}}$

角運動量（運動量モーメントまたは回転運動量と呼ばれることもある）は、線運動量の回転方向の類似物である。これは保存量であり、閉鎖系 の全角運動量は一定のままであるため、重要な物理量である。角運動量には方向と大きさがあり、どちらも保存される。 自転車やオートバイ、空飛ぶ円盤、^[1]ライフル弾、ジャイロスコープは、角運動量が保存されるおかげで有用な特性を備えている。また、ハリケーン^[2]が螺旋状になったり、中性子星が高速で回転したりするのも、角運動量が保存されるためである。一般に、保存則は系の可能な運動を制限しますが、それを一意に決定するわけではない。

点粒子の 3 次元角運動量は、古典的には擬似ベクトル r × p、つまり粒子の位置ベクトルr (ある原点を基準とした) と運動量ベクトルの外積として表されます。後者は、ニュートン力学ではp = m vです。線状運動量とは異なり、角運動量はこの原点がどこで選択されるかによって決まります。粒子の位置は原点から測定されるからです。

角運動量は広がりのある量です。つまり、複合システムの全角運動量は、その構成部分の角運動量の合計です。連続した 剛体または流体の場合、全角運動量は、角運動量密度（体積がゼロに収縮する極限における単位体積あたりの角運動量）を物体全体にわたって体積積分したものです。

外力がなければ線形運動量が保存されるのと同様に、角運動量は外部トルクがなければ保存されます。トルクは、力と同様に、角運動量の変化率として定義できます。どのシステムにも生じる正味の外部トルクは、常にシステムにかかる総トルクに等しく、どのシステムのすべての内部トルクの合計は常に 0 です (これは、ニュートンの運動の第 3 法則の回転版です)。したがって、閉じたシステム(正味の外部トルクがない) では、システムにかかる総トルクは 0 でなければならず、これはシステムの総角運動量が一定であることを意味します。

特定の相互作用における角運動量の変化は、角インパルスと呼ばれ、時には回転と呼ばれる。^{[3]角インパルスは（線形）}インパルスの角度的な類似物である。

軌道上の物体の 角運動量の単純なケースは、 によって与えられます。 ここで、は軌道上の物体の質量、は軌道の周波数、 は軌道の半径です。 ${\displaystyle L}$$${\displaystyle L=2\pi Mfr^{2}}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$

軸の周りを回転する均一な剛体球の 角運動量は次のように表される。${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L={\frac {4}{5}}\pi Mfr^{2}}$$

ここで、は球の質量、は回転周波数、は球の半径です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$

したがって、たとえば、地球の太陽に対する公転角運動量は約 2.66 × 10 ⁴⁰ kg⋅m ² ⋅s ⁻¹ですが、自転角運動量は約 7.05 × 10 ³³ kg⋅m ² ⋅s ⁻¹です。

軸の周りを回転する均一な剛体球の場合、質量ではなく密度が分かっていると、角運動量は次のように表されます。 ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L={\frac {16}{15}}\pi ^{2}\rho fr^{5}}$$

ここで、は球の密度、は回転周波数、は球の半径です。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$

回転する円盤の最も単純なケースでは、角運動量は^[4]で与えられる。${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L=\pi Mfr^{2}}$$

ここで、はディスクの質量、は回転周波数、はディスクの半径です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$

代わりに円盤が直径の周りを回転する場合（例えばコイントス）、その角運動量は次のように表される^[4]。${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\pi Mfr^{2}}$$

角速度と同様に、物体の角運動量にも2 つの特殊なタイプがあります。スピン角運動量は物体の質量中心の周りの角運動量で、軌道角運動量は選択された回転中心の周りの角運動量です。地球は、太陽の周りを公転するという性質上、軌道角運動量を持ち、極軸の周りの毎日の自転という性質上、スピン角運動量を持ちます。全角運動量は、スピン角運動量と軌道角運動量の合計です。地球の場合、太陽系の全角運動量が主な保存量です。これは、角運動量が惑星と太陽の間でわずかながらも重要な程度に交換されるためです。点粒子の軌道角運動量ベクトルは常に平行で、その軌道角速度ベクトルωに正比例します。ここで、比例定数は粒子の質量と原点からの距離の両方に依存します。剛体のスピン角運動量ベクトルはスピン角速度ベクトルΩに比例しますが、必ずしも平行とは限らないため、比例定数はスカラーではなく 第 2 階のテンソルになります。

角運動量は、物体の回転慣性と特定の軸の周りの回転速度（ラジアン/秒単位）の積を表すベクトル量（より正確には擬似ベクトル）である。しかし、粒子の軌道が単一の平面上にある場合、角運動量のベクトル性質を捨てて、スカラー（より正確には擬似スカラー）として扱うだけで十分である。^[5]角運動量は、線運動量の回転類似体と考えることができる。したがって、線運動量p が質量mと線速度vに比例する場合、 p = m v 、 {\displaystyle p=mv,}

角運動量Lは慣性モーメント Iと角速度 ω（ラジアン/秒で測定）に比例する。 ^[6] L = I ω . {\displaystyle L=I\omega .}

物質の量のみに依存する質量とは異なり、慣性モーメントは回転軸の位置と物質の分布にも依存します。原点の選択に依存しない線速度とは異なり、軌道角速度は常に固定された原点に対して測定されます。したがって、厳密に言えば、Lはその中心に対する角運動量と呼ばれるべきです。^[7]

単一粒子の円運動の場合、とを使用して角運動量を展開すると、次の式に簡約されます。 ${\displaystyle I=r^{2}m}$${\displaystyle \omega ={v}/{r}}$${\displaystyle L=r^{2}m\cdot {v}/{r},}$$${\displaystyle L=rmv,}$$

回転半径rと粒子の線運動量の積、ここで線（接線）速度。 ${\displaystyle p=mv}$${\displaystyle v=r\omega }$

この単純な分析は、半径ベクトルに垂直な運動成分を使用すれば、非円運動にも適用できます。 $${\displaystyle L=rmv_{\perp },}$$

ここで、は運動の垂直成分です。拡大、再配置、縮小により、角運動量は次のように表すこともできます。 ${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$${\displaystyle L=rmv\sin(\theta ),}$${\displaystyle L=r\sin(\theta )mv,}$$${\displaystyle L=r_{\perp }mv,}$$

ここで、はモーメントアームの長さ、つまり原点から粒子の軌道に垂直に下ろされた線である。この定義、（モーメントアームの長さ）×（線運動量）が、運動量モーメントと呼ばれるものである。^[8]${\displaystyle r_{\perp }=r\sin(\theta )}$

別のアプローチは、角運動量を、機械システムのラグランジアン表現された角座標の共役運動量（正準運動量とも呼ばれる）として定義することです。外部の力場がない状態で、 半径の円内を動くように制約された質量を持つ機械システムを考えてみましょう。システムの運動エネルギー は、T = 1 2 m r 2 ω 2 = 1 2 m r 2 ϕ ˙ 2 です。{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mr^{2}\omega ^{2}={\tfrac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}.} ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle m}$${\displaystyle r}$

そして位置エネルギーは $${\displaystyle U=0.}$$

ラグランジアンは $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\phi ,{\dot {\phi }}\right)=T-U={\tfrac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}.}$$

座標に「正準共役な」一般化運動量は次のように定義される。 ${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}{\dot {\phi }}=I\omega =L.}$$

3次元における軌道角運動量を完全に定義するには、位置ベクトルが角を掃引する速度、瞬間的な角変位平面に垂直な方向、および関与する質量、さらにこの質量が空間内でどのように分布しているかを知る必要があります。^{[9]角運動量の}ベクトル的性質を保持することで、方程式の一般的な性質も保持され、回転中心の周りのあらゆる種類の3次元運動（円運動、直線運動、その他）を記述できます。ベクトル表記では、原点の周りを運動している点粒子の軌道角運動量は次のように表すことができます。 ここで $${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},}$$

• ${\displaystyle I=r^{2}m}$は質点の慣性モーメントであり、
• ω = r × v r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}} は 粒子の原点周りの軌道角速度であり、
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$は原点に対する粒子の位置ベクトルであり、${\displaystyle r=\left\vert \mathbf {r} \right\vert }$
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$は原点に対する粒子の線速度であり、
• ${\displaystyle m}$粒子の質量です。

これは、ベクトル代数の規則により、拡大、縮小、および並べ替えることができます。 これは、位置ベクトルと粒子の線形運動量の外積 です。外積の定義により、ベクトルはとの両方に垂直です。右手の法則で示されるように、ベクトルは角変位の平面に垂直に向けられているため、角速度はベクトルの先端から反時計回りに見られます。逆に、ベクトルは、およびが存在する平面を定義します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\left(r^{2}m\right)\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right)\\&=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {v} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

角変位の平面に垂直な単位ベクトルを 定義すると、スカラー角速度が得られます。ここで 、は 上記のように、運動の垂直成分です。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle \omega \mathbf {\hat {u}} ={\boldsymbol {\omega }},}$$$${\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},}$$${\displaystyle v_{\perp }}$

したがって、前のセクションの 2 次元スカラー方程式には方向を指定できます。 また、すべての運動が半径 に垂直な円運動の場合は方向を指定できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=I{\boldsymbol {\omega }}\\&=I\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=\left(r^{2}m\right)\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=rmv_{\perp }\mathbf {\hat {u}} \\&=r_{\perp }mv\mathbf {\hat {u}} ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {L} =rmv\mathbf {\hat {u}} }$${\displaystyle r}$

球面座標系では、角運動量ベクトルは次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \mathbf {v} =mr^{2}\left({\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} \right).}$

角運動量は、線形運動量の回転版として説明できます。線形運動量と同様に、角運動量には質量と変位の要素が含まれます。線形運動量とは異なり、角運動量には位置と形状の要素も含まれます。

物理学における多くの問題は、空間のある特定の点の周りを運動する物質、つまりその点の周りを実際に回転する物質、あるいは単にその点を通り過ぎる物質に関係しており、運動する物質がその点にどのような影響を与えるか、つまりその点にエネルギーを及ぼすか、その点の周りで仕事をするかを知ることが求められます。エネルギー、つまり仕事をする能力は、物質を動かすことによって、つまり慣性と変位の組み合わせによって蓄えられます。慣性は質量によって、変位は速度によって測定されます。それらの積、

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\text{amount of inertia}})\times ({\text{amount of displacement}})&={\text{amount of (inertia⋅displacement)}}\\{\text{mass}}\times {\text{velocity}}&={\text{momentum}}\\m\times v&=p\\\end{aligned}}}$$

は物質の運動量である。^[10]この運動量を中心点に当てはめると、運動量がその点に直接適用されるわけではないという複雑さが生じる。例えば、車輪の外側の端にある物質の粒子は、実際には車輪の半径と同じ長さのてこの端にあり、その運動量によっててこは中心点を中心に回転する。この仮想のてこはモーメントアームと呼ばれる。その長さに比例して運動量の力を倍増させる効果があり、この効果はモーメントと呼ばれる。したがって、粒子の運動量は特定の点に当てはめられ、

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\text{moment arm}})\times ({\text{amount of inertia}})\times ({\text{amount of displacement}})&={\text{moment of (inertia⋅displacement)}}\\{\text{length}}\times {\text{mass}}\times {\text{velocity}}&={\text{moment of momentum}}\\r\times m\times v&=L\\\end{aligned}}}$$

は角運動量で、ここでのように、粒子の特定の中心点に対する運動量のモーメントと呼ばれることもあります。この式は、モーメント（質量回転モーメントアーム）と線速度（直線速度に相当）を組み合わせたものです。中心点を基準とした線速度は、単に距離と角速度の積で、もう 1 つのモーメントです。したがって、角運動量には 2 つのモーメントが含まれます。少し単純化すると、この量は粒子の慣性モーメントで、質量の第 2 モーメントと呼ばれることもあります。これは回転慣性の尺度です。^[11]${\displaystyle L=rmv}$${\displaystyle m}$${\displaystyle r}$${\displaystyle v}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle v=r\omega ,}$${\displaystyle L=rmr\omega .}$${\displaystyle L=r^{2}m\omega ,}$${\displaystyle r^{2}m}$

上記の並進運動量と回転運動量の類推はベクトル形式で表現できる: ^[要出典]

• ${\textstyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$直線運動用
• ${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}}$回転用

運動量の方向は直線運動の速度の方向に関連します。角運動量の方向は回転の角速度に関連します。

慣性モーメントはスピン角運動量の重要な部分であるため、後者は必然的に前者の複雑な要素をすべて含み、前者は質量の基本ビットに回転中心からの距離の2乗を掛けて計算されます。 ^[12]したがって、総慣性モーメントと角運動量は、回転中心の周りの物質の構成とさまざまなビットの回転方向の複雑な関数です。

車輪や小惑星などの剛体の場合、回転の向きは単に回転軸の位置と物体の物質との関係で決まります。回転軸は質量の中心を通る場合もあれば通らない場合もあり、また物体の外側に完全に位置している場合もあります。同じ物体でも、回転の軸ごとに角運動量は異なる値を取ることがあります。^[13]角運動量は軸が質量の中心を通るときに最小値になります。^[14]

中心の周りを回る物体の集合、たとえば太陽系のすべての物体の場合、その向きは太陽系のようにある程度整然としていて、ほとんどの物体の軸が太陽系の軸に近い位置にある場合があります。また、向きが完全にランダムである場合もあります。

簡単に言えば、質量が大きく回転中心から遠いほど（モーメントアームが長いほど）、慣性モーメントは大きくなり、したがって与えられた角速度に対する角運動量は大きくなります。多くの場合、慣性モーメント、したがって角運動量は次のように簡略化できます。^[15] I = k 2 m , {\displaystyle I=k^{2}m,} ここで、は回転半径、つまり質量全体が集中していると考えられる軸からの距離です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$

同様に、質点 の慣性モーメントは次のように定義されます。 ここで、は回転中心からの質点の 半径です。${\displaystyle m}$$${\displaystyle I=r^{2}m}$$${\displaystyle r}$

そして、粒子の集合の合計として、 ${\displaystyle m_{i}}$$${\displaystyle \sum _{i}I_{i}=\sum _{i}r_{i}^{2}m_{i}}$$

角運動量の位置と形状への依存性は、線運動量に対する単位に反映されています。角運動量の場合は kg⋅m ² /s または N⋅m⋅s で、線運動量の場合はkg⋅m/sまたはN⋅s です。角運動量を慣性モーメントと角速度の積として計算する場合、角速度はラジアン/秒で表す必要があります。ここで、ラジアンは次元のない値 1 とみなされます。(次元解析を実行する場合、ラジアンを基本単位として扱う方向解析を使用すると効果的ですが、これは国際単位系では行われていません)。角運動量の単位は、トルク⋅時間として解釈できます。角運動量L N⋅m⋅sの物体は、角インパルスL N⋅m⋅sによって角速度をゼロに減らすことができます。^{[16] [17]}

角運動量の軸に垂直で質量の中心を通る平面^[18]は、外部の影響を受けない系内の物体の相互作用のみを考慮すると軸の方向が固定されるため、 不変面と呼ばれることがあります。^[19]そのような平面の1つが太陽系の不変面です。

ニュートンの運動の第二法則は、力=質量×加速度 として数学的に表現できます 。点粒子の回転に相当する法則は、次のように導き出されます。 つまり、トルク (つまり、角運動量の 時間微分) は τ = d I d t ω + I d ω d t です。{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {dI}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}+I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}.} $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}}$$

慣性モーメントは なので、 となり、これは次のように減少します。 ${\displaystyle mr^{2}}$${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=2mr{\frac {dr}{dt}}=2rp_{||}}$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }},}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }}.}$$ これはニュートンの第 2 法則の回転版です。トルクは必ずしも角加速度に比例または平行であるとは限りません (予想されるとおり)。その理由は、粒子の慣性モーメントが時間とともに変化する可能性があるためです。これは通常の質量では発生しません。

ニュートンの運動の第三法則の回転類似物は、「閉鎖系では、同じ軸の周りに等しく反対のトルクを他の物質に及ぼさない限り、いかなる物質にもトルクを及ぼすことはできない」と書くことができる。 ^[20]したがって、閉鎖系内の物体間で角運動量を交換することはできるが、交換前後の総角運動量は一定のままである（保存される）。^[21]

別の見方をすれば、ニュートンの第一運動法則の回転類似物は、「剛体は外部からの影響を受けない限り、一様な回転状態を維持する」と書くことができる。^[20]したがって、外部からの影響がなければ、システムの元々の角運動量は一定のままである。^[22]

角運動量保存則は中心力運動の解析に使用されます。ある物体にかかる正味の力が常にある点、つまり中心に向いている場合、すべての力が動径ベクトルに向いており、動径に垂直な力はないので、中心に対する物体へのトルクは発生しません。数学的には、この場合と は平行ベクトルであるため、トルク となります。したがって、物体の中心周りの角運動量は一定です。これは、惑星や衛星の軌道における重力の場合に当てはまります。重力は常に主物体 に向いており、周回物体は主物体の周りを移動する際に距離と速度を交換することで角運動量を保存します。中心力運動は、原子のボーアモデルの解析にも使用されます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$

惑星の場合、角運動量は惑星の自転と軌道公転の間で分配され、これらはさまざまなメカニズムによって交換されることが多い。地球-月系における角運動量保存則により、月が地球に及ぼす潮汐トルクにより、地球から月へ角運動量が移動する。その結果、地球の自転速度は1日あたり約65.7ナノ秒遅くなり、^[23]月の軌道半径は1年あたり約3.82センチメートルずつ徐々に増加する。^[24]

角運動量保存則は、アイススケーターが腕と脚を垂直回転軸に近づけたときの角加速度を説明します。体の質量の一部を軸に近づけることで、体の慣性モーメントが減少します。角運動量は慣性モーメントと角速度の積であるため、角運動量が一定（保存）であれば、スケーターの角速度（回転速度）は必ず増加します。

同じ現象により、はるかに大きくてゆっくりと回転する恒星から形成された コンパクトな恒星（白色矮星、中性子星、ブラックホールなど）の極めて高速な回転が実現します。

保存則は、システムのダイナミクスを常に完全に説明するわけではありませんが、重要な制約条件です。たとえば、回転するコマは重力トルクの影響を受け、傾いて章動軸の周りの角運動量を変えますが、回転接触点の摩擦を無視すると、回転軸の周りには保存された角運動量があり、歳差運動軸にも保存された角運動量があります。また、どの惑星系でも、惑星、​​恒星、彗星、小惑星はすべて、システムの角運動量が保存されるように、さまざまな複雑な方法で運動することができます。

ネーターの定理は、すべての保存則は基礎となる物理学の対称性（不変量）と関連していると述べています。角運動量保存に関連する対称性は回転不変性です。軸を中心に任意の角度で回転してもシステムの物理的性質が変わらないという事実は、角運動量が保存されることを意味します。^[25]

角運動量全保存則は、回転対称系におけるノイマンの定理に由来するものとしてニュートンの運動法則とは別に理解することもできるが、ニュートンの運動第二法則と自​​然界の力を支配する法則（ニュートンの運動第三法則、マクスウェル方程式、ローレンツ力など）から直接導き出される結果を効率的に計算する方法として単純に理解することもできる。確かに、すべての点の位置と速度の初期条件、およびそのような条件での力が与えられれば、ニュートンの運動第二法則を使用して位置の2次導関数を計算することができ、これを解くことで物理系の時間的発展に関する完全な情報が得られる。^{[26]ただし、}量子力学では、粒子スピンの存在により、これはもはや当てはまらないことに注意する必要がある。粒子スピンは、空間内の点状運動の累積効果では説明できない角運動量である。

例として、フィギュアスケート選手が手を引っ込めて円運動を加速するときなど、慣性モーメントが減少することを考えてみましょう。角運動量保存則では、角運動量L、慣性モーメントI、角速度ωについて次の式が成り立ちます。 $${\displaystyle 0=dL=d(I\cdot \omega )=dI\cdot \omega +I\cdot d\omega }$$

これを使用すると、変化には次のエネルギーが必要であることがわかります。

$${\displaystyle dE=d\left({\tfrac {1}{2}}I\cdot \omega ^{2}\right)={\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}+I\cdot \omega \cdot d\omega =-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}$$ そのため、慣性モーメントを減少させるにはエネルギーを投入する必要があります。

これは、ニュートンの法則を使用して計算された仕事と比較できます。回転体の各点は、各時点で次の半径加速度で加速しています。 $${\displaystyle -r\cdot \omega ^{2}}$$

運動の中心に対する位置ベクトルが特定の時点で z 軸に垂直で、距離zにある質量点mを観察します。円運動を維持するこの点にかかる 向心力は、次のようになります。$${\displaystyle -m\cdot z\cdot \omega ^{2}}$$

したがって、この点を運動の中心から 距離dzだけ移動させるために必要な仕事は次のようになります。$${\displaystyle dW=-m\cdot z\cdot \omega ^{2}\cdot dz=-m\cdot \omega ^{2}\cdot d\left({\tfrac {1}{2}}z^{2}\right)}$$

点状でない物体の場合は、m を単位zあたりの質量密度に置き換えてこれを積分する必要があります。これにより、次の式が得られます。 $${\displaystyle dW=-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}$$

これはまさに角運動量を保存するために必要なエネルギーです。

なお、上記の計算は、運動学のみを使用して質量ごとに実行することもできます。したがって、フィギュア スケーターが手を引き寄せながら接線速度を加速する現象は、一般の人にもわかるように次のように理解できます。スケーターの手のひらは直線的に動いていないため、常に内側に加速していますが、加速は常に内側の動きがゼロのときに行われるため、追加の速度は得られません。ただし、手のひらを体に近づける場合は異なります。回転による加速によって速度が増加しますが、回転があるため、速度の増加は内側への大幅な速度にはならず、回転速度の増加につながります。

古典力学では、作用関数の回転不変性は角運動量の保存を意味することが示されています。 作用は、古典物理学では位置の関数として定義され、多くの場合、角括弧を使用して表され、最終時刻と初期時刻があります。 これは、直交座標で次の形式をとります。ここで、繰り返されるインデックスは、インデックスの合計を示します。 作用が微小変換に対して不変である場合、数学的には次のように表すことができます。 ${\displaystyle x_{i}(t)}$$${\displaystyle S\left([x_{i}];t_{1},t_{2}\right)\equiv \int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\left({\frac {1}{2}}m{\frac {dx_{i}}{dt}}\ {\frac {dx_{i}}{dt}}-V(x_{i})\right)}$$${\textstyle \delta S=S\left([x_{i}+\delta x_{i}];t_{1},t_{2}\right)-S\left([x_{i}];t_{1},t_{2}\right)=0}$

変換により、アクションは次のようになります。 ${\displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}+\delta x_{i}}$

$${\displaystyle S\left([x_{i}+\delta x_{i}];t_{1},t_{2}\right)=\!\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\left({\frac {1}{2}}m{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}-V(x_{i}+\delta x_{i})\right)}$$

ここで、 の項を 1 次まで展開することができます。 ${\textstyle \delta x_{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}&\simeq {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dx_{i}}{dt}}-2{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\delta x_{i}+2{\frac {d}{dt}}\left(\delta x_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right)\\V(x_{i}+\delta x_{i})&\simeq V(x_{i})+\delta x_{i}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}\\\end{aligned}}}$$アクションでは次の変更が行われます。

$${\displaystyle S[x_{i}+\delta x_{i}]\simeq S[x_{i}]+\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\,\delta x_{i}\left(-{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}-m{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\frac {d}{dt}}\left(\delta x_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right).}$$

すべての回転は、歪対称行列の行列指数として、つまりとして表現できるため、は歪対称行列で は回転角です。回転による座標の変化は、回転角の 1 次まで、次のように表現できます。 ${\displaystyle R({\hat {n}},\theta )=e^{M\theta }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle R({\hat {n}},\delta \theta )}$${\displaystyle \delta \theta }$

$${\displaystyle \delta x_{i}=M_{ij}x_{j}\delta \theta .}$$

運動方程式と作用の回転不変性を組み合わせると、上記の方程式から次のようになります。これは、それを満たす任意の行列に対して真であるため、次の量が保存されます。 $${\displaystyle 0=\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\frac {d}{dt}}\left(m{\frac {dx_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)=M_{ij}\,\delta \theta \,m\,x_{j}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\Bigg \vert }_{t_{1}}^{t_{2}}}$$${\displaystyle M_{ij}}$${\displaystyle M_{ij}=-M_{ji},}$

$${\displaystyle \ell _{ij}(t):=m\left(x_{i}{\frac {dx_{j}}{dt}}-x_{j}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right),}$$

となる。これは運動全体にわたって角運動量が保存されることに対応する。^[27]${\displaystyle \ell _{ij}(t_{1})=\ell _{ij}(t_{2})}$

ラグランジアン力学では、与えられた軸の周りの回転の角運動量は、同じ軸の周りの角度の一般化座標の共役運動量です。たとえば、z 軸の周りの角運動量は次のようになります。 ここで、はラグランジアンであり、はz 軸の周りの角度です。 ${\displaystyle L_{z}}$$${\displaystyle L_{z}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}_{z}}}}$$${\displaystyle {\cal {L}}}$${\displaystyle \theta _{z}}$

角度の時間微分である は角速度であることに注意してください。通常、ラグランジアン は運動エネルギーを介して角速度に依存します。後者は、速度をその半径方向部分と接線方向部分に分離して記述でき、z 軸の周りの xy 平面での接線方向部分は次のように表されます。 ここで、下付き文字 i は i 番目の物体を表し、m、v _T、およびω _{z は}それぞれ質量、z 軸の周りの接線方向速度、およびその軸の周りの角速度を表します。 ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{z}}$ ${\displaystyle \omega _{z}}$$${\displaystyle \sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}{v_{T}}_{i}^{2}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}}$$

点状ではない密度ρの物体の場合、代わりに次式が成り立ちます。 ここで積分_は 物体の面積にわたって行われ、^[28] Izはz軸周りの慣性モーメントです。 $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \rho (x,y,z)\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}}$$

したがって、位置エネルギーがω _zに依存しないと仮定すると （この仮定は電磁気システムでは成り立たない可能性がある）、 i番目の物体の角運動量は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{L_{z}}_{i}&={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}={\frac {\partial E_{k}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}\\&={I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}\end{aligned}}}$$

これまで、各オブジェクトを個別の角度で回転させてきましたが、システム全体を回転させる全体的な角度θ _{z を}定義して、各オブジェクトを z 軸を中心に回転させ、全体的な角運動量を得ることもできます。 $${\displaystyle L_{z}=\sum _{i}{I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}$$

オイラー・ラグランジュ方程式から次のことが分かります。 $${\displaystyle 0={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}}}\right)={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}}$$

ラグランジアンはポテンシャルを通じてのみ物体の角度に依存するため、次の式が得られます。 これはi番目の物体 にかかるトルクです。 $${\displaystyle {\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}}$$

システムが回転に対して不変であると仮定すると、ポテンシャルは角度θ _zによる全体的な回転とは独立しています（したがって、ポテンシャルはオブジェクトの角度の差のみに依存し、 の形式になります）。したがって、全角運動量は次のようになります。 ${\displaystyle V({\theta _{z}}_{i},{\theta _{z}}_{j})=V({\theta _{z}}_{i}-{\theta _{z}}_{j})}$

$${\displaystyle {\frac {dL_{z}}{dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}}}=0}$$ したがって、Z 軸の周りの角運動量は保存されます。

この分析は各軸について別々に繰り返すことができ、角運動量ベクトルの変換が得られます。ただし、3 つの軸の周りの角度は独立していないため、一般化座標として同時に扱うことはできません。特に、点ごとに 2 つの角度があれば、その位置を決定するのに十分です。剛体の場合、それを完全に記述するには、3 つの並進自由度に加えて、3 つの回転自由度の指定も必要であることは事実ですが、これらは直交軸の周りの回転として定義することはできません(オイラー角を参照)。この注意事項は、量子力学では、角運動量演算子のさまざまな成分の非自明な交換関係に反映されています。

同様に、ハミルトン力学では、ハミルトニアンは角運動量の関数として記述できます。前と同様に、 i番目のオブジェクトの Z 軸周りの回転に関連する運動エネルギーの部分は次のとおりです。 $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}={\frac {{{L_{z}}_{i}}^{2}}{2{I_{z}}_{i}}}}$$

これは、Z軸に沿った運動量に対するエネルギーの依存性に類似しています。 ${\displaystyle {\frac {{{p_{z}}_{i}}^{2}}{{2m}_{i}}}}$

ハミルトンの方程式は、Z 軸の周りの角度とその共役運動量、つまり同じ軸の周りの角運動量を関連付けます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\theta _{z}}_{i}}{dt}}&={\frac {\partial {\cal {H}}}{\partial {L_{z}}_{i}}}={\frac {{L_{z}}_{i}}{{I_{z}}_{i}}}\\{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}&=-{\frac {\partial {\cal {H}}}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}\end{aligned}}}$$

最初の式は $${\displaystyle {L_{z}}_{i}={I_{z}}_{i}\cdot {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}={I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}$$

そして、ラグランジアン形式と同じ結果が得られます。

すべての軸を組み合わせると、運動エネルギーは次のように表されることに注意してください。 $${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {|{\bf {{p}_{i}|^{2}}}}{2m_{i}}}=\sum _{i}\left({\frac {{{p_{r}}_{i}}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}{\bf {{L}_{i}}}^{\textsf {T}}{I_{i}}^{-1}{\bf {{L}_{i}}}\right)}$$

ここで、p _rは半径方向の運動量、慣性モーメントは 3 次元行列です。太字は 3 次元ベクトルを表します。

点状の物体の場合、次の式が成り立ちます。 $${\displaystyle E_{k}=\sum _{i}\left({\frac {{{p_{r}}_{i}}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {|{\bf {{L}_{i}}}|^{2}}{2m_{i}{r_{i}}^{2}}}\right)}$$

ハミルトニアンの運動エネルギー部分のこの形式は、中心ポテンシャルの問題を分析するのに役立ち、量子力学的な作業フレームに簡単に変換できます (たとえば、水素原子の問題)。

古典力学では、角運動量の用語はニュートンの運動法則に置き換えることができますが、これは太陽系の惑星の運動など、中心ポテンシャル内の運動に特に役立ちます。したがって、太陽系の惑星の軌道は、そのエネルギー、角運動量、および座標フレームに対する軌道長軸の角度によって定義されます。

天体力学と天体力学では、角運動量と密接に関係する量が^[29] 比角運動量として 定義されています。軌道力学の計算では、物体の運動は重力によって決まるため、質量は重要ではないことが多いことに注意してください。システムの主要な物体は、その周りを運動しているどの物体よりもはるかに大きいことが多いため、より小さな物体の重力の影響は無視できます。つまり、実質的に一定の速度を維持します。すべての物体の運動は、質量に関係なく、同じように重力の影響を受けるため、同じ条件下ではすべてほぼ同じように動きます。 $${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ,}$$${\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {h} .}$

角運動量は、ジャイロスコープや岩石惑星などの回転する剛体を説明するのにも非常に役立つ概念です。密度関数ρ ( r ) を持つ連続的な質量分布の場合、質量内の位置ベクトルrを持つ微分体積要素 dVには、質量要素dm = ρ ( r ) dVがあります。したがって、この要素の微小角運動量は次のようになります。

$${\displaystyle d\mathbf {L} =\mathbf {r} \times dm\mathbf {v} =\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )dV\mathbf {v} =dV\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )\mathbf {v} }$$

この微分を質量全体の体積で 積分すると、その総角運動量が得られます。

$${\displaystyle \mathbf {L} =\int _{V}dV\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )\mathbf {v} }$$

続く導出では、連続質量の場合の合計をこれに類似した積分で置き換えることができます。

任意の原点の周りを運動する粒子の集合について、それらの運動を自身の質量中心と原点の周りの成分に分解して角運動量の方程式を展開することは有益である。

• ${\displaystyle m_{i}}$は粒子の質量であり、${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$は原点に対する粒子の位置ベクトルであり、${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$は原点に対する粒子の速度であり、${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \mathbf {R} }$は原点に対する質量中心の位置ベクトルであり、
• ${\displaystyle \mathbf {V} }$は原点に対する質量中心の速度であり、
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$は質量中心に対する粒子の位置ベクトルであり、${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$は質量中心に対する粒子の速度であり、${\displaystyle i}$

粒子の総質量は単純にそれらの合計であり、 $${\displaystyle M=\sum _{i}m_{i}.}$$

質量中心の位置ベクトルは次のように定義される。^[30] $${\displaystyle M\mathbf {R} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}.}$$

検査により、

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}}$そして${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}.}$

粒子の集合体の総角運動量は各粒子の角運動量の合計である。

拡大中、 ${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}\right)\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\end{aligned}}}$

拡大中、 ${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\left(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}\right)+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i})\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\end{aligned}}}$

（サイドバー参照）

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0} }$そして${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,}$

したがって、2番目と3番目の項は消え、

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

最初の項は並べ替えることができ、

${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times \sum _{i}m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times M\mathbf {V} ,}$

そして粒子の集合体の総角運動量は最終的に、^[31]

最初の項は、原点に対する質量中心の角運動量です。下の§ 単一粒子と同様に、これは質量中心にある質量Mの 1 つの粒子が速度Vで運動する際の角運動量です。2 番目の項は、下の§ 固定された質量中心と同様に、質量中心に対して運動する粒子の角運動量です。結果は一般的なもので、粒子の運動は原点または質量中心の周りの回転や公転に制限されません。粒子は個別の質量である必要はなく、固体などの連続分布の要素である場合があります。

式（２）をベクトル恒等式で整理し、両項に「１」を掛け、適切にグループ化すると、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=M(\mathbf {R} \times \mathbf {V} )+\sum _{i}\left[m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&={\frac {R^{2}}{R^{2}}}M\left(\mathbf {R} \times \mathbf {V} \right)+\sum _{i}\left[{\frac {r_{i}^{2}}{r_{i}^{2}}}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&=R^{2}M\left({\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {V} }{R^{2}}}\right)+\sum _{i}\left[r_{i}^{2}m_{i}\left({\frac {\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}}{r_{i}^{2}}}\right)\right],\\\end{aligned}}}$$

慣性モーメント と角速度の観点から粒子系の全角運動量を与える。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

任意の原点の周りを運動する単一粒子の場合、 全角運動量に関する 式（２）と（３ ）は次のように簡約される。$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} _{i}&=\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,\\\mathbf {r} &=\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} &=\mathbf {V} ,\\m&=M,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,}$$ $${\displaystyle \sum _{i}I_{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i}=\mathbf {0} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {R} \times m\mathbf {V} =I_{R}{\boldsymbol {\omega }}_{R}.}$$

質量中心が原点に対して空間的に固定されている場合、 全角運動量に関する 式（２）および（３ ）は次のように簡約される。$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {0} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} \times M\mathbf {V} =\mathbf {0} ,}$$ $${\displaystyle I_{R}{\boldsymbol {\omega }}_{R}=\mathbf {0} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}I_{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i}.}$$

現代（20世紀）の理論物理学では、角運動量（固有の角運動量は含まない – 以下を参照）は、古典的な擬ベクトルの代わりに、異なる形式を用いて記述される。この形式では、角運動量は回転不変性と関連した2形式 ノイマン電荷である。結果として、一般的な曲がった時空では、回転対称性を持たない限り、角運動量は一般に局所的には保存されない。 ^[32]一方、大域的には、角運動量の概念自体は、時空が漸近的に平坦である場合にのみ意味をなす。[ ^33]カー計量のように時空が軸対称である場合、全角運動量は保存されないが、対称軸の周りの回転の不変性と関連して保存される。ここで、は計量^{[曖昧さ回避必要]}、は静止質量、は4元速度、 は球座標における4元位置 であることに留意する。 ${\displaystyle p_{\phi }}$${\displaystyle p_{\phi }=g_{\mu \phi }p^{\phi }=mg_{\mu \phi }dX^{\mu }/d\tau }$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle m={\sqrt {|p_{\mu }p^{\mu }|}}}$${\displaystyle dX^{\mu }/d\tau }$${\displaystyle X^{\mu }=(t,r,\theta ,\phi )}$

古典力学では、粒子の角運動量は平面要素として再解釈することができます。 ここでは、外積(∧) が外積(×) に置き換わります (これらの積は同様の特性を持っていますが、同等ではありません)。これには、ベクトルxとp を使用して定義される平面要素としてより明確な幾何学的解釈ができるという利点があり、この式は任意の次元数で当てはまります。直交座標では、 またはより簡潔にインデックス表記で次のように表されます。 $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \wedge \mathbf {p} \,,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\left(xp_{y}-yp_{x}\right)\mathbf {e} _{x}\wedge \mathbf {e} _{y}+\left(yp_{z}-zp_{y}\right)\mathbf {e} _{y}\wedge \mathbf {e} _{z}+\left(zp_{x}-xp_{z}\right)\mathbf {e} _{z}\wedge \mathbf {e} _{x}\\&=L_{xy}\mathbf {e} _{x}\wedge \mathbf {e} _{y}+L_{yz}\mathbf {e} _{y}\wedge \mathbf {e} _{z}+L_{zx}\mathbf {e} _{z}\wedge \mathbf {e} _{x}\,,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle L_{ij}=x_{i}p_{j}-x_{j}p_{i}\,.}$$

角速度は、ω _ij成分を持つ反対称2次テンソルとして定義することもできます。2つの反対称テンソルの関係は、慣性モーメントによって与えられ、これは4次テンソルである必要があります。^[34] $${\displaystyle L_{ij}=I_{ijk\ell }\omega _{k\ell }\,.}$$

繰り返しますが、Lとω をテンソルとするこの方程式は、任意の次元数で成り立ちます。この方程式は、 Lとωがバイベクトルであり、慣性モーメントがそれらの間のマッピングである幾何代数形式にも現れます。

相対論的力学では、粒子の相対論的角運動量は、2次の 反対称テンソルとして、 4元ベクトル、すなわち4元位置Xと4元運動量P で表され、上記のLを質量モーメント、すなわち粒子の相対論的質量と質量中心 の積とともに吸収します。質量とエネルギーは保存されるため、質量中心の運動を記述するものと考えることができます。 $${\displaystyle M_{\alpha \beta }=X_{\alpha }P_{\beta }-X_{\beta }P_{\alpha }}$$

上記の各ケースでは、粒子システムの場合、全角運動量は個々の粒子の角運動量の合計であり、質量中心はシステム全体にわたります。

量子力学では、角運動量は（他の量と同様に）演算子として表現され、その1次元射影は量子化された固有値を持つ。角運動量はハイゼンベルクの不確定性原理の対象であり、つまり、いかなる時点においても、1つの射影（「成分」とも呼ばれる）のみが明確な精度で測定でき、他の2つは不確定なままである。このため、量子粒子の回転軸は定義されていない。量子粒子は「スピン」と呼ばれる非軌道角運動量の一種を持っているが、この角運動量は回転運動に対応しない。^[35]相対論的量子力学では、上記の相対論的定義はテンソル演算子になる。

角運動量の古典的な定義は、 rを量子位置演算子、pを量子運動量演算子として再解釈することで、量子力学に持ち込むことができます。すると、Lは演算子であり、特に軌道角運動量演算子と呼ばれます。角運動量演算子の成分は、リー代数so(3)の交換関係を満たします。実際、これらの演算子は、量子ヒルベルト空間に対する回転群の微小作用そのものです。^[37]（回転の生成子としての角運動量演算子に関する以下の議論も参照してください。） ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

しかし、量子物理学では、スピン角運動量と呼ばれる別の種類の角運動量があり、スピン演算子Sで表されます。スピンは、文字通り軸の周りを回転する粒子として描かれることが多いですが、これは誤解を招きやすく不正確な図です。スピンは粒子の固有の特性であり、空間内のいかなる種類の運動とも無関係であり、軌道角運動量とは根本的に異なります。すべての素粒子は特性スピン（ゼロの場合もあります）を持ち、^[38]ほぼすべての素粒子はゼロ以外のスピンを持ちます。^[39]たとえば、電子は「スピン 1/2」（これは実際には「スピンħ /2」を意味します）、光子は「スピン 1」（これは実際には「スピン ħ」を意味します）、パイ中間子はスピン 0 です。^[40]

最後に、全角運動量 Jがあり、これはすべての粒子と場のスピン角運動量と軌道角運動量の両方を組み合わせたものです。（1つの粒子の場合、J = L + S。）角運動量の保存はJに適用されますが、LやSには適用されません。たとえば、スピン軌道相互作用により、角運動量はLとSの間で行き来できますが、合計は一定のままです。電子と光子は、全角運動量に対して整数ベースの値を持つ必要はなく、半整数値を持つこともできます。^[41]

分子では、全角運動量F は、回転振動角運動量N、電子スピン角運動量S、および核スピン角運動量Iの合計です。電子一重項状態では、回転振動角運動量はNではなくJで表されます。Van Vleck によって説明されているように、^[42]分子固定軸に関する分子回転振動角運動量の成分は、空間固定軸に関する成分とは異なる交換関係を持ちます。

量子力学では、角運動量は量子化されます。つまり、連続的に変化することはできず、特定の許容値の間で「量子飛躍」的にしか変化しません。どのシステムでも、測定結果には次の制限が適用されます。ここで、は縮小プランク定数、 はx、y、z などの任意の ユークリッド ベクトルです。${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle {\hat {n}}}$

換算プランク定数は 日常的な基準からすると非常に小さく、約 10 ⁻³⁴ J sであるため、この量子化はマクロな物体の角運動量に顕著な影響を与えません。しかし、ミクロな世界では非常に重要です。たとえば、化学における電子殻とサブシェルの構造は、角運動量の量子化によって大きく影響を受けます。 ${\displaystyle \hbar }$

角運動量の量子化は、ニールス・ボーアが原子模型の中で最初に提唱し、後にエルヴィン・シュレーディンガーがシュレーディンガー方程式の中で予測しました。

定義には、位置演算子、、、および運動量演算子、、の6 つの演算子が関係しています。ただし、ハイゼンベルクの不確定性原理によれば、これら 6 つの量すべてを任意の精度で同時に知ることは不可能です。したがって、粒子の角運動量について知ることができることや測定できることには限界があります。最善の方法は、角運動量ベクトルの大きさと 1 つの軸に沿ったその成分の両方を同時に測定することです。 ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ ${\displaystyle r_{x}}$${\displaystyle r_{y}}$${\displaystyle r_{z}}$ ${\displaystyle p_{x}}$${\displaystyle p_{y}}$${\displaystyle p_{z}}$

この不確実性は、例えば角運動量演算子の異なる成分が交換しないという事実と密接に関係しています。(正確な交換関係については、角運動量演算子を参照してください。) ${\displaystyle L_{x}L_{y}\neq L_{y}L_{x}}$

上で述べたように、軌道角運動量Lは古典力学では と定義されますが、全角運動量Jは別の、より基本的な方法で定義されます。Jは「回転の生成子」として定義されます。^[43]より具体的には、Jは、演算子 が 任意のシステムを軸 の周りで角度だけ回転させる回転演算子 となるように定義されます。(式中の「exp」は、演算子指数を指します。) 逆に言えば、量子ヒルベルト空間が何であれ、回転群 SO(3)がその空間に作用すると予想されます。すると、SO(3) のリー代数 so(3) の関連する作用があります。ヒルベルト空間に対する so(3) の作用を記述する演算子が、(全) 角運動量演算子です。 ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )\equiv \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\phi \,\mathbf {J} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)}$$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

角運動量演算子と回転演算子の関係は、数学におけるリー代数とリー群の関係と同じです。角運動量と回転の密接な関係は、物理法則が回転不変であるときは常に角運動量が保存されることを証明する ノイマンの定理に反映されています。

電磁場における荷電粒子の運動を記述する場合、正準運動量P (このシステムのラグランジアンから導出される) はゲージ不変ではありません。その結果、正準角運動量L = r × Pもゲージ不変ではありません。代わりに、物理的な運動量、いわゆる運動運動量(この記事全体で使用) は ( SI 単位では) です。

$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} =\mathbf {P} -e\mathbf {A} }$$

ここでeは粒子の電荷、 Aは電磁場の磁気ベクトルポテンシャルである。ゲージ不変角運動量、すなわち運動角運動量は次のように与えられる。

$${\displaystyle \mathbf {K} =\mathbf {r} \times (\mathbf {P} -e\mathbf {A} )}$$

量子力学との相互作用については、正準交換関係に関する記事でさらに詳しく説明します。

古典的なマクスウェル電磁力学では、ポインティングベクトルは 電磁場の線形運動量密度である。^[44]

$${\displaystyle \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t)=\epsilon _{0}c^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t).}$$

角運動量密度ベクトルは古典力学と同様にベクトル積で与えられる: ^[45]${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {r} ,t)}$

$${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {r} ,t)=\epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {r} \times \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t).}$$

上記の恒等式は局所的に、つまり特定の瞬間の各空間点において有効です。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle t}$

熱帯低気圧やその他の関連する気象現象は、その力学を説明するために角運動量保存則を伴います。風は主にコリオリの力によって低気圧の周りをゆっくりと回転します。低気圧が強まり、ゆっくりと循環する空気が中心に向かって引き寄せられると、分子は角運動量を保存するために加速する必要があります。中心に到達するまでに、速度は破壊的になります。^[2]

ヨハネス ケプラーは、運動量保存の知識なしに惑星運動の法則を解明しました。しかし、彼の発見から間もなく、その法則の導出は角運動量保存から決定されました。惑星は楕円軌道上で遠ざかるほどゆっくりと動きますが、これは軌道角運動量が軌道半径に比例するという事実によって直感的に説明できます。質量は変化せず、角運動量が保存されるため、速度は低下します。

潮汐加速は、軌道を回る自然衛星（例：月）とそれが周回する主惑星（例：地球）の間の潮汐力の影響です。月と地球の潮汐膨らみの間の重力トルクにより、月は常にわずかに高い軌道（年間約3.8 cm）に移動し、地球の自転は減速されます（-25.858 ± 0.003″/cy²）（1日の長さは1世紀あたり約1.7ミリ秒増加し、潮汐の影響で+2.3ミリ秒、氷河期後の反発で-0.6ミリ秒増加）。地球は角運動量を失い、それが月に伝達されるため、全体の角運動量は保存されます。

角運動量保存則を実用上の利点に利用する例は数多くあります。蒸気機関や内燃機関などのエンジンでは、ピストンの横方向の動きを回転運動に効率的に変換するためにフライホイールが必要です。

慣性航法システムは、空間の慣性系に関して角運動量が保存されるという事実を明示的に利用します。慣性航法は、極地の氷冠の下を潜水艦で航行できるようにするだけでなく、あらゆる形態の現代の航行にも不可欠です。

ライフル銃弾は、角運動量保存則によって得られる安定性を利用して、より正確な弾道を実現します。ライフル銃と大砲の発明は、戦闘において使用者に大きな戦略的優位性をもたらし、歴史における技術的な転換点となりました。

アイザック・ニュートンはプリンキピアの中で、運動の第一法則の例の中で角運動量について示唆した。

コマは、その部分が凝集力によって常に直線運動から引き離されているため、空気によって減速されない限り、回転を止めることはない。惑星や彗星などの大きな物体は、より自由な空間でより少ない抵抗に遭遇し、より長い時間、進行運動と円運動の両方を維持する。^[46]

彼は『プリンキピア』の中で角運動量について直接調べることはせず、次のように述べている。

このような反射から、物体が自身の中心の周りを円運動する現象も時々発生する。しかし、これらは以下の説明では取り上げない。また、この主題に関連するすべての詳細を説明するのは面倒すぎるだろう。^[47]

しかし、面積法則の幾何学的証明はニュートンの天才性の顕著な例であり、中心力の場合の角運動量保存を間接的に証明しています。

惑星が太陽の周りを回ると、太陽と惑星を結ぶ線は、等しい時間間隔で等しい面積を描きます。これは、ケプラーが惑星運動の第二法則を解説して以来知られていました。ニュートンは独自の幾何学的証明を導き出し、太陽の重力の引力がケプラーの法則すべての原因であることを示しました。

最初の時間間隔では、物体は点Aから点Bへ動いています。妨げられなければ、物体は 2 番目の間隔で点cへ進み続けます。物体がBに到着すると、点Sへ向かう衝撃を受けます。衝撃により、物体はSへ向かう小さな速度が追加されます。そのため、これが唯一の速度であれば、2 番目の間隔で物体はBからVへ移動します。速度合成の規則により、これら 2 つの速度は加算され、平行四辺形BcCVを作成することで点Cが見つかります。したがって、物体の進路は衝撃によって偏向され、2 番目の間隔の終わりに点Cに到着します。三角形SBcとSBC は底辺SBが同じで高さBcまたはVCも同じなので、面積は同じです。対称性により、三角形SBc は三角形SABと同じ面積なので、物体は等しい時間で等しい面積SABとSBC を掃引しました。

点Cでは、物体はS方向への別の衝撃を受け、 dからDまでの3 番目の間隔で再び進路を逸らします。このようにして物体はE以降まで進み、三角形SAB、SBc、SBC、SCd、SCD、SDe、SDEはすべて同じ面積を持ちます。時間間隔がますます小さくなると、経路ABCDE は連続曲線に限りなく近づきます。

この導出は幾何学的であり、特定の力は適用されないため、ケプラーの惑星運動の第二法則よりも一般的な法則を証明していることに注意してください。これは、面積の法則が、引力または反発力、連続または非連続、あるいはゼロのあらゆる中心力に適用されることを示しています。

角運動量が運動物体によって掃引される面積に比例することは、三角形の底辺、つまりSから物体までの線が半径 r に等しく、三角形の高さが速度 v⊥ の垂直成分に比例することを理解することで理解できます。したがって、単位時間あたりの掃引面積が一定であれば、三角形の面積の公式により、⁠1/2⁠ (底辺)(高さ) の場合、積(底辺)(高さ)は一定であり、したがって積rv _{⊥ は}一定です。rと底辺の長さが減少すると、 v ⊥_と高さは比例して増加する必要があります。質量は一定であるため、この距離と速度の交換によって角運動量 rmv⊥ は保存されます。

三角形SBCの場合、面積は⁠1/2⁠ ( SB )( VC )。Bに加えられた衝撃によってCが最終的にどこに位置しても、積 ( SB )( VC )、したがってrmv _{⊥ は}一定のままです。各三角形についても同様です。

中心力に対する角運動量保存のもう一つの面的証明は、マミコンのスイープ接線定理を用いる。^{[48] [49]}

レオンハルト・オイラー、ダニエル・ベルヌーイ、パトリック・ダーシーはいずれも、ケプラーの惑星運動の第二法則の分析の結果として、面速度保存則の観点から角運動量を理解していた。彼らが通常の回転物質への影響を理解していた可能性は低い。^[50]

1736年、オイラーはニュートンと同様に、著書『機械論』の中で角運動量の方程式のいくつかに触れたが、それ以上発展させることはなかった。^[51]

ベルヌーイは1744年の手紙の中で「回転運動のモーメント」について書いているが、これはおそらく現在私たちが理解している角運動量の最初の概念である。^[52]

1799 年、ピエール・シモン・ラプラスは、固定された平面が回転と関連していることを初めて認識しました。 これが彼の不変平面です。

ルイ・ポアンソは1803 年に回転を回転に垂直な線分として表し、「モーメントの保存」について詳しく説明しました。

1852年、レオン・フーコーは地球の自転を表示する実験で ジャイロスコープを使用しました。

ウィリアム・J・M・ランキンの1858年の『応用力学マニュアル』は、角運動量を現代的な意味で初めて定義しました。

...長さが角運動量の大きさに比例し、方向が物体の運動面と固定点の運動面に垂直な線であり、物体の運動を線の先端から見ると、物体の半径ベクトルが右回転しているように見える線。

同じ本の1872年版で、ランキンは「角運動量という用語はヘイワード氏によって導入された」と述べている^[53]。これはおそらく、 1856年に導入され、1864年に出版されたRBヘイワードの論文「空間内で任意の方法で移動可能な軸に関する速度、加速度、およびすべての類似の量の直接推定法とその応用」 ^[54]を指していると思われる。ランキンは間違っていた。18世紀後半から19世紀初頭にかけて、この用語が多くの出版物で取り上げられているからだ。^[55]しかし、ヘイワードの論文は、この用語と概念が英語圏の多くで初めて使用されたものであるようだ。これ以前は、角運動量は英語で「回転の運動量」と呼ばれていた。^[56]

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• 角運動量保存の理論 2016-12-07ウェイバックマシンにアーカイブ– オンライン教科書の章
• 衝突過程における角運動量 – 3次元の場合の導出
• 角運動量と回転運動 – 運動量理論の詳細