通常の伸展

抽象代数学において、正規拡大とは、 Lに根を持つK上の既約多項式がすべてL上の線形因子に分解されるような代数体拡大L / Kのことである。^{[ 1 ] [ 2 ]}これは、代数拡大がガロア拡大であるための条件の 1 つです。ブルバキは、このような拡大を準ガロア拡大と呼んでいます。有限拡大の場合、正規拡大は分解体と同一です。

させて${\displaystyle L/K}$代数拡大である（すなわち、LはKの代数拡大である）${\displaystyle L\subseteq {\overline {K}}}$（つまり、LはKの代数的閉包に含まれる）。すると、次の条件はどれも正規拡張の定義とみなすことができ、同値である。^{[ 3 ]}

• Lのすべての埋め込み${\displaystyle {\overline {K}}}$K上ではLの自己同型が誘導される。
• Lは多項式の族の分解体である${\displaystyle K[X]}$。
• の既約多項式${\displaystyle K[X]}$Lに根を持つものは、Lの線形因子に分解される。

Lを体Kの拡大とする。このとき：

• LがKの正規拡大であり、Eが中間拡大である場合（つまり、L  ⊇ E ⊇ K）、LはEの正規拡大である。^{[ 4 ]}   
• EとFがLに含まれるKの正規拡張である場合、複合体EFとE∩FもKの正規拡張である。^{[ 4 ]}  

させて${\displaystyle L/K}$代数的である。体Lが正規拡大であるのは、以下のいずれかの同値条件が満たされる場合に限る。

• Lのすべての要素のK上の最小多項式はL内で分割されます。
• セットがあります${\displaystyle S\subseteq K[x]}$L上で分割される多項式の集合で、${\displaystyle K\subseteq F\subsetneq L}$が体であるならば、S はFで分割されない多項式を持つ。
• すべての準同型写像${\displaystyle L\to {\bar {K}}}$Kのすべての要素が同じイメージを持つように固定する。
• 自己同型群、${\displaystyle {\text{Aut}}(L/K),}$Kのすべての要素を固定するLの要素は、準同型の集合に推移的に作用する${\displaystyle L\to {\bar {K}}}$Kのすべての要素を修正します。

例えば、$\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$は、${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$これは分割フィールドであるため${\displaystyle x^{2}-2.}$一方で、$\displaystyle \mathbb {Q} (\sqrt[3]2)}$通常の拡張ではありません${\displaystyle \mathbb {Q} }$既約多項式${\displaystyle x^{3}-2}$1 つの根があります (つまり、$\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$）だが、すべてではない（2の非実数立方根は持たない ）。体${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$代数的数の代数的閉包は${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$したがって、それは$\displaystyle \mathbb {Q} (\sqrt[3]2)。$させて${\displaystyle \omega }$1の原始立方根である。すると、 $$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in {\overline {\mathbb {Q} }}\,\,\right|\,\,a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}}$$$ 地図 $${\displaystyle {\begin{cases}\sigma$$ :\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}\\a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\longmapsto a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{cases}}} は埋め込みです。$\displaystyle \mathbb {Q} (\sqrt[3]2)}$で${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$その制限は${\displaystyle \mathbb {Q} }$はアイデンティティです。しかし、${\displaystyle \sigma }$は自己同型ではない$\displaystyle \mathbb {Q} (\sqrt[3]2)。$

任意の素数に対して${\displaystyle p,}$拡張機能$\displaystyle \mathbb {Q} (\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})}$程度の正常${\displaystyle p(p-1).}$それは分裂フィールドです${\displaystyle x^{p}-2.}$ここ$\displaystyle \zeta _{p}}$任意の${\displaystyle p}$1の原始根。$\displaystyle \mathbb {Q} (\sqrt[3]2,\zeta _3)}$は、通常の閉鎖（下記参照）です。$\displaystyle \mathbb {Q} (\sqrt[3]2)。$

Kを体とし、 LをKの代数拡大とすると、 Lの代数拡大Mが存在し、MはKの正規拡大となる。さらに、同型を除いて、そのような最小の拡大はただ一つしか存在しない。すなわち、L を含み、かつKの正規拡大であるMの部分体は、 M自身のみである。この拡大を、 Kの拡大Lの正規閉包と呼ぶ。

LがKの有限拡大であるならば、その正規閉包もまた有限拡大である。

• ガロア拡張
• 通常基準

• ラング、セルジュ（2002）、『代数学』、大学院数学テキスト、第 211巻（改訂第3 版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556​ 
• Jacobson、Nathan (1989)、Basic Algebra II (第 2 版)、W.  H. Freeman、ISBN 0-7167-1933-9MR 1009787​