対偶

論理学と数学において、対偶または転置とは、条件文から論理的に等価な対偶に至る推論、および関連する証明方法である§ 対偶による証明を指します。文の対偶は、その前提と結果が反転され、反転されています。

条件文 。式において、 の逆説はである。 ^[1]${\displaystyle P\rightarrow Q}$${\displaystyle P\rightarrow Q}$${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$

PならばQです。 — QでなければPではありません。 「雨が降っているなら、コートを着ます」 —「コートを着ていないなら、雨は降っていません。」

対偶の法則によれば、条件文は、その対偶が真である場合にのみ真となる。^[2]

対偶（）は他の3つの演算と比較することができます。 ${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$

反転（逆）、 ${\displaystyle \neg P\rightarrow \neg Q}$

「雨が降っていなければ、私はコートを着ません。」逆説とは異なり、逆説の真理値は、ここで証明されているように、元の命題が真であるかどうかにまったく依存しません。

変換（逆）、${\displaystyle Q\rightarrow P}$

「コートを着ると、雨が降る。」逆は実際には逆の逆否定であり、したがって常に逆と同じ真理値を持ちます（前述のように、逆は元の命題と同じ真理値を常に共有するわけではありません）。

否定（論理補語）、${\displaystyle \neg (P\rightarrow Q)}$

「雨が降っているときにコートを着るということは当てはまりません。 」、または同等に、「雨が降っているときは、コートを着ないことがあります。」否定が真であれば、元の命題（ひいては逆命題）は偽です。

が真で、偽であるものが与えられている場合（つまり、）、 も偽であるに違いないと論理的に結論付けることができることに注意してください（つまり、 ）。これは、しばしば逆説の法則、またはモダス・トレン推論規則と呼ばれます。^[3]${\displaystyle P\rightarrow Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \neg Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \neg P}$

示されているオイラー図では、何かが A にある場合、それは B にもなければなりません。したがって、「A のすべてが B にある」は次のように解釈できます。

${\displaystyle A\to B}$

また、 B (青い領域) 内にないものは A 内にも存在できないことも明らかです。このステートメントは次のように表現できます。

${\displaystyle \neg B\to \neg A}$

は上記の文の逆説である。したがって、

${\displaystyle (A\to B)\leftrightarrow (\neg B\to \neg A).}$

実際には、この同値性は命題の証明を容易にするために使用できます。たとえば、米国のすべての少女 (A) が茶色の髪 (B) であることを証明したい場合、米国のすべての少女が実際に茶色の髪であることを確認することによって直接証明するか、茶色の髪ではないすべての少女が実際にすべて米国外にいることを確認することによって証明することができます。特に、米国内に茶色の髪ではない少女が少なくとも 1 人見つかった場合、 が反証され、 と同等になります。 ${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle \neg B\to \neg A}$${\displaystyle \neg B\to \neg A}$${\displaystyle A\to B}$

一般に、 A がB を意味するという文では、B でないということは常にA でないことを意味します。結果として、これらの文のいずれかを証明または反証すると、それらは論理的に同等であるため、自動的にもう一方を証明または反証します。

次の関係が成り立つとき、 命題Qは命題Pに関係付けられます。

${\displaystyle (P\to Q)}$

これは、「もしならば」、つまり「もしソクラテスが人間であるならば、ソクラテスは人間である」と述べています。このような条件文では、が先行詞で、 が後続詞です。一方の文が他方の文の反証となるのは、その先行詞が他方の反証となる場合のみであり、その逆も同様です。したがって、反証は一般に次の形式をとります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle (\neg Q\to \neg P).}$

つまり、「- でないなら、- でない」、またはより明確には、「- でないなら、P はそうではない」ということです。この例を使用すると、これは「ソクラテスが人間でないなら、ソクラテスは男性ではない」と表現されます。この文は元の文と対置されていると言われており、論理的には同等です。論理的同等性のため、一方を述べることは事実上他方を述べることになり、一方が真であれば他方も真であり、一方が偽であれば他方も偽です。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

厳密に言えば、対置は 2 つの単純な条件文にのみ存在します。しかし、2 つの複雑な普遍的な条件文が類似している場合、対置は 2 つの複雑な普遍的な条件文にも存在することがあります。したがって、、つまり「すべてのs は s である」は、 、つまり「すべての非s は非 s である」と対置されます。 ^[4]${\displaystyle \forall {x}(P{x}\to Q{x})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \forall {x}(\neg Q{x}\to \neg P{x})}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

転置規則は次のように表現できます。

${\displaystyle (P\to Q)\vdash (\neg Q\to \neg P),}$

ここで、 は、何らかの論理システムにおけるの統語的帰結を意味するメタ論理記号です。または推論規則として: ${\displaystyle \vdash}$${\displaystyle (\neg Q\to \neg P)}$${\displaystyle (P\to Q)}$

${\displaystyle {\frac {P\to Q}{\therefore \neg Q\to \neg P}},}$

ここでの規則は、証明の行に「 」が現れるところはどこでも「」に置き換えることができるというものである。または、真理関数トートロジーまたは命題論理の定理のステートメントとして。この原理は、ラッセルとホワイトヘッドによってプリンキピア・マテマティカで命題論理の定理として述べられた。 ${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$

${\displaystyle (P\to Q)\to (\neg Q\to \neg P),}$

ここで、 および は何らかの形式体系で表現された命題です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

第一階述語論理では、条件文は次のように定義されます。

${\displaystyle A\to B\,\leftrightarrow \,\neg A\lor B}$

これは次のようにその逆説と同等にすることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\to \neg A\end{aligned}}}$

させて：

${\displaystyle (A\to B)\land \neg B}$

A が真であれば、B も真であることは明らかであり、また、B は真ではないことも明らかです。すると、A が真ではないことは、背理法によって証明できます。なぜなら、A が真であれば、B も真でなければならないからです ( Modus Ponensにより)。しかし、B が真ではないことは明らかであるため、矛盾が生じます。したがって、A は真ではありません (真か偽かのどちらかである 二価のステートメントを扱っていると仮定)。

${\displaystyle (A\to B)\to (\neg B\to \neg A)}$

次の仮定から始めて、同じプロセスを逆に適用することができます。

${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\land A}$

ここで、B が真か偽かのどちらかであることもわかっています。B が真でなければ、A も真ではありません。ただし、A が真であることが前提であるため、B が真でないという仮定は矛盾を招きます。つまり、B が真でないということはあり得ません。したがって、B は真でなければなりません。

${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\to (A\to B)}$

証明された 2 つのステートメントを組み合わせると、条件文とその逆否定文の間の論理的等価性が得られます。

${\displaystyle (A\to B)\equiv (\neg B\to \neg A)}$

2 つの命題間の論理的同値性は、それらが一緒に真であるか、一緒に偽であることを意味します。対偶が論理的に同値であることを証明するには、物質的含意がいつ真であるか偽であるかを理解する必要があります。

${\displaystyle P\to Q}$

これは、が真で が偽の場合にのみ偽です。したがって、この命題を「およびでないときは偽」という文に簡略化できます(つまり、「およびでないときは真」ではありません)。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \neg (P\land \neg Q)}$

連言の要素は、 （交換法則により）逆にしても効果はありません。

${\displaystyle \neg (\neg Q\land P)}$

を「 」と等しく定義し、を と等しく定義します（このことから、は と等しく、 は と等しくなります）。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle \neg Q}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle \neg S}$${\displaystyle \neg \neg P}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle \neg (R\land \neg S)}$

これは「( Rが真でSが偽)という状況ではない」と書かれており、これは物質的条件文の定義です。次に、次の置き換えを行うことができます。

${\displaystyle R\to S}$

RとS をとに戻すと、目的の逆正則が得られます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$

命題論理のヒルベルトスタイルの演繹システムでは、転置の片側のみが公理として扱われ、もう一方は定理として扱われます。この定理の証明を、 Jan Łukasiewiczによって提案された 3 つの公理のシステムで説明します。

A1.${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

A2.${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

A3.${\displaystyle \left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)}$

(A3) はすでに転置の方向の 1 つを示しています。もう一方の辺は、ここで証明された次の補題を使用して、以下で証明されます。 ${\displaystyle (\psi \to \phi )\to (\neg \phi \to \neg \psi )}$

(DN1) -二重否定（一方向）${\displaystyle \neg \neg p\to p}$

(DN2) - 二重否定（別の方向）${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

(HS1) -仮説的三段論法の1つの形式${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

(HS2) - 仮説的三段論法の別の形式。${\displaystyle (p\to q)\to ((q\to r)\to (p\to r))}$

また、いくつかの証明手順の省略形として、 仮説的三段論法のメタ定理の方法も使用します。

証明は次のとおりです。

1. ${\displaystyle q\to \neg \neg q}$       (DN2のインスタンス)
2. ${\displaystyle (q\to \neg \neg q)\to ((p\to q)\to (p\to \neg \neg q))}$       （HS1の例）
3. ${\displaystyle (p\to q)\to (p\to \neg \neg q)}$       （（１）と（２）から、モーダスポネンスによる）
4. ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$       (DN1のインスタンス)
5. ${\displaystyle (\neg \neg p\to p)\to ((p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q))}$       （HS2の例）
6. ${\displaystyle (p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)}$       （（4）と（5）から、モーダスポネンスによる）
7. ${\displaystyle (p\to q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)}$       （仮説的三段論法のメタ定理を用いて（３）と（６）から）
8. ${\displaystyle (\neg \neg p\to \neg \neg q)\to (\neg q\to \neg p)}$       （（A3）の例）
9. ${\displaystyle (p\to q)\to (\neg q\to \neg p)}$       （仮説的三段論法のメタ定理を用いて（7）と（8）から）

「すべての赤い物体は色を持っている」という文を考えてみましょう。これは、「物体が赤い場合、それは色を持っている」 と同等に表現できます。

• 逆説は、「物体に色がなければ、それは赤ではない」です。これは、最初の文から論理的に導かれ、最初の文と同様に、明らかに真実です。
• 逆は、「物体が赤くなければ、色はありません。 」です。青い物体は赤ではありませんが、色はあります。したがって、この場合、逆は偽です。
• 逆は、「物体に色がある場合、それは赤です。 」です。物体は他の色を持つこともあるので、この文の逆は偽です。
• 否定は「色を持たない赤い物体が存在する」です。この文は、否定する最初の文が真であるため、偽です。

言い換えれば、逆説は与えられた条件文と論理的に同等ですが、双条件文には十分ではありません。

同様に、「すべての四角形には 4 つの辺がある」という文、または同等に表現すると「多角形が四角形である場合、4 つの辺がある」という 文を考えてみましょう。

• 対偶は「多角形に 4 つの辺がない場合、それは四角形ではない」です。これは論理的に従っており、原則として、対偶は条件の真理値を共有します。
• 逆は、「多角形が四辺形でない場合、4 つの辺はありません。 」です。この場合、最後の例とは異なり、ステートメントの逆は真です。
• 逆は、「多角形に 4 つの辺がある場合、それは四辺形です。 」です。この場合も、最後の例とは異なり、ステートメントの逆は真です。
• 否定は「4 つの辺を持たない四辺形が少なくとも 1 つ存在する」です。この記述は明らかに誤りです。

この命題とその逆は両方とも真であるため、これは双条件文と呼ばれ、「多角形が四辺形である場合、かつその場合に限ります」と表現できます。 (「もし、かつ、もし、に限り」というフレーズは、 「iff」と省略されることもあります。) つまり、四辺形であるためには 4 つの辺があることが必要であり、かつ、それだけで四辺形であるとみなすのに十分であるということです。

• ある文が真であれば、その逆も真です (逆もまた同様です)。
• ある文が偽であれば、その逆も偽です (逆も同様です)。
• ある文の逆が真であれば、その逆も真です (逆も同様です)。
• ステートメントの逆が偽である場合、その逆も偽です (逆も同様です)。
• 文の否定が偽であれば、その文は真です (その逆も同様です)。
• 命題 (またはその逆否定) とその逆 (またはその逆) が両方とも真であるか、両方とも偽である場合、それは論理双条件文として知られています。

伝統的な論理学では、対置は直接推論の一形態であり、ある命題が別の命題から推論され、前者の主語が元の論理命題の述語の矛盾である場合に行われる。場合によっては、対置は前者の質の変化（肯定または否定）を伴う。^[5]現代論理学における記号表現については、転置の規則を参照。対置には、命題の種類によって同義語が変化する 転換や転置などの他の伝統的な推論プロセスとは異なる哲学的応用もある。

伝統的な論理学では、対置のプロセスは、カテゴリ命題とクラスを含む推論のいくつかのステップで構成される図式です。^[6]カテゴリ命題には主語と述語が含まれ、コピュラの存在的影響により、命題は少なくとも1つのメンバーを含むクラスを参照することを意味します。これは、他の命題の合成物である仮定的命題または物質的含意命題の条件形式とは対照的です。たとえば、「PならばQ」（PとQはどちらも命題）などです。また、その存在的影響は、仮定的命題または物質的含意命題自体ではなく、量化存在がインスタンス化される（存在のインスタンス化）さらなる命題に依存します。

完全対置は、主語と述語の同時交換と否定であり、アリストテレス論理の「A」型命題と「O」型命題にのみ有効であるが、「E」型命題では、量が普遍から個別へ変更された場合に条件付きで有効となる（部分対置）。有効な対置は、従来の命題の4つのタイプ（A、E、I、O型）すべてで得られ、元の述語の矛盾を持つ命題が得られるため、（完全）対置は、元の命題の逆を変換することによって得られる。「E」ステートメントの場合、部分対置は、量をさらに変更することによって得られる。対置の定義では推論された命題の述語に関して何も述べられていないため、それは元の主語またはその矛盾のいずれかであり、結果として、「A」、「O」、「E」型命題で互いの逆である2つの対置が生じる。^[7]

例: オリジナルの「A」型定言命題から、

住民全員が有権者であり、

これは、すべてのクラスがメンバーを持ち、その存在の意味が定言命題の形で想定されていることを前提としており、まず転置によって「E」型命題を導き出すことができる。

投票権のない住民はいない。

元の命題の逆説は、別の「E」型命題に 変換することによって導かれる。

投票権のない者は居住者ではない。

このプロセスは、さらなる反転によって完了し、元の命題の反転された逆命題である「A」型命題が得られる。

投票権のない者はすべて非居住者です。

対置の図式：^[8]

対置は、「A」命題と「O」命題に適用された場合にのみ有効な直接推論形式であることに注意してください。これは、「I」命題には有効ではありません。「I」命題の場合、表側は有効な逆がない「O」命題です。「E」命題の対置は、制限付き（偶然）でのみ有効です。これは、「E」命題の表側が「A」命題であり、制限、つまり、対置に加えて命題の量を普遍から個別へ変更しない限り、有効に変換できないためです。

また、対置は推論の方法であり、他の推論規則の使用が必要になる場合があることに注意してください。対置は対置の方法の産物であり、対置が完全か部分的かによって結果が異なります。対置のプロセス内での変換と反転の連続的な適用には、さまざまな名前が付けられる場合があります。

伝統的なクラス論理で定義されているように、文とその対偶の論理的同値性のプロセスは、命題論理の公理の 1 つではありません。伝統的な論理では、元の文ごとに複数の対偶が推論されます。「A」命題に関しては、これは現代論理の記号では転置の規則、または対偶の法則によって回避されます。哲学的論理の分野における技術的な使用では、「対偶」という用語は、論理学者 (例: Irving Copi、Susan Stebbing ) によって伝統的な論理とカテゴリ命題に限定される場合があります。この意味で、「対偶」という用語の使用は、仮説的命題または物質的含意に適用される場合、通常は「転置」と呼ばれます。

推論された命題では、帰結は元の命題の前提の矛盾であり、推論された命題の前提は元の命題の帰結の矛盾です。物質的含意の記号は、命題が仮説的であること、または「if-then」形式であることを示します (例: 「PならばQ」)。

転置規則 (↔) の二条件文は、各命題が前提項と結果項を含む仮説的 (→)命題間の関係を指す。論理推論の問題として、1 つの命題の項を転置または変換するには、二条件関係の両側の命題の項を変換する必要がある。つまり、( P → Q ) を ( Q → P ) に転置または変換するには、もう一方の命題( ¬ Q → ¬ P )を (¬ P → ¬ Q ) に転置または変換する必要がある。そうでない場合、一方の命題の項を変換し、もう一方の命題の項を変換しないと、規則が無効になり、命題の項の十分条件と必要条件に違反する。違反は、変更された命題が、不正な変換によって前提を否定するか、結果項を肯定するという誤謬を犯すことである。

転置規則の真実性は、論理における十分条件と必要条件の関係に依存します。

「もしPならばQ 」という命題では、 Pの発生はQの発生の十分な理由です。Pは、個体またはクラスとして、Q を物質的に含意しますが、 QとPの関係は、逆の命題「もしQならばP」が必ずしも十分な条件を持たないような関係です。十分な条件の推論規則は、条件付き含意の議論である modus ponensです。

1. 前提（１）：PならばQ
2. 前提（２）：P
3. 結論：したがって、Q

前提 (1) の逆は成り立たないので、 PとQの関係について言えることは、QがなければP は発生しないということだけであり、これはQ がPの必要条件であることを意味する。必要条件の推論規則はmodus tollensである。

1. 前提（１）：PならばQ
2. 前提（２）：Qではない
3. 結論：したがって、Pではない

論理学者が十分条件と必要条件を対比する際に伝統的に用いる例は、「火があるなら、酸素が存在する」という文です。酸素のある環境は火や燃焼に必要ですが、酸素のある環境があるからといって、必ずしも火や燃焼が起こっているわけではありません。火には酸素の存在が必須であると推論できますが、酸素の存在から「酸素があれば、火がある」という逆の推論はできません。元の命題から推論できるのは、「酸素がなければ、火はあり得ない」ということだけです。

双条件の記号 ("↔") は、命題間の関係が必要かつ十分であることを意味し、「～の場合に限り ～」、または例に従って、「PならばQである、ただし、その場合のみ、 QでなければPではない」と表現されます。

必要かつ十分な条件は、従来の論理の概念と直接推論の規則から類推して説明できます。カテゴリカル命題「すべてのSはPである」では、主語項Sは分散されている、つまり、そのクラスのすべてのメンバーがその表現で尽くされていると言えます。逆に、述語項Pは、クラスとしてのPのメンバーのすべてのインスタンスがクラスとしてのSのメンバーでもあるかどうかは不確定であるため、分散されている、または表現で尽くされているとは言えません。有効に推論できるのは、「一部のPはSである」ということだけです。したがって、タイプ「A」命題「すべてのPはSである」は、元のタイプ「A」命題「すべてのSはPである」からの変換では推論できません。推論できるのは、タイプ「A」命題「すべての非Pは非Sである」だけです (( P → Q ) と (¬ Q → ¬ P ) は両方ともタイプ「A」命題であることに注意してください)。文法的には、「すべての男性は死ぬ運命にある」から「すべての死すべき者は男性である」と推論することはできません。タイプ「A」の命題は、主語と述語の両方が分散されている場合にのみ、変換によって即座に推論できます。たとえば、「すべての独身男性は独身者である」から「すべての独身者は未婚の男性である」と推論する場合などです。

ほとんどの著者は、同じことを転置と対置の用語で表現しますが、一部の著者は、転置を対置と区別しています。伝統的な論理学では、推論規則としての転置の推論プロセスは、対置と倒置を通じてカテゴリカル命題に適用されます。 [ ^9]一連の直接推論では、まず、倒置規則が元のカテゴリカル命題「すべてのSはPである」に適用され、逆命題「S は非Pではない」が生成されます。元の命題をタイプ「E」命題に倒置すると、両方の用語が分散されます。次に、逆命題が変換され、「S以外のものはない」となり、両方の用語の分散が維持されます。「 S以外のものはない」が再び倒置され、[対置]「P以外のものはない」になります。対偶の定義では推論された命題の述語に関して何も述べられていないので、それが元の主語またはその矛盾である可能性は許容され、結果として得られるタイプ「A」命題の述語項は再び非分配的となる。これにより、述語項が分配される場合と、述語項が非分配される場合の2つの対偶が生じる。^[10]

対置は、与えられた定言命題から、元の述語の対置を主語とする別の定言命題を推論する直接推論の一種である。対置の定義では推論された命題の述語については何も述べられていないため、それが元の主語またはその対置である可能性は許容される。これは、物質的含意または仮説的陳述である可能性がある転置命題の形式とは対照的である。違いは、定言命題に適用すると、対置の結果が2つの対置であり、それぞれが他方の反対語である点である^[11] 。つまり、「P以外のものはSではない」および「 P以外のものはすべてSではない」である。2つの対置の区別は、転置の原理に吸収され、排除される。転置の原理は、対置の「媒介推論」^[12]を前提とし、「対置の法則」^{[13]とも呼ばれる。}

命題の逆否定は常に命題自体と同じ真理値（真か偽か）を持つため、数学の定理を証明する強力なツールになり得る（特に、逆否定の真が命題自体の真よりも容易に証明される場合）。逆否定による証明は、命題の逆否定を直接証明することです。 ^{[14]しかし、}背理法による証明などの間接的な方法も、例えば2 の平方根の無理数の証明のように、逆否定とともに使用できます。有理数の定義により、「 が有理数である場合、それは既約分数${\displaystyle {\sqrt {2}}}$として表すことができる」という命題を作成できます。 この命題は定義の言い換えであるため真です。 この命題の逆否定は、「 が既約分数として表せない場合${\displaystyle {\sqrt {2}}}$、それは有理数ではない」です。 この逆否定も、元の命題と同様に真です。したがって、 が既約分数として表せないことが証明できる場合、 は有理数ではない はずです。後者は背理法によって証明できます。${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

前の例では、定義の逆否定を使用して定理を証明しました。定理のステートメントの逆否定を証明することによっても定理を証明することができます。正の整数Nが非平方数である場合、その平方根は無理数であることを証明するために、正の整数Nの平方根が有理数である場合、 Nは平方数であるという逆否定を同等に証明できます。これは、 √ N を有理式a/bに等しく設定し、aとb を共通の素因数を持たない正の整数に設定し、2乗してN = a ² / b ^{2を取得し、} Nが正の整数であるためb =1であり、 N = a ² 、つまり平方数であることに注目することで示せます。

数学において、対偶による証明、または対偶による証明は、証明で使用される推論規則であり、条件文をその対偶から推論します。^[15]言い換えると、「AならばB 」という結論は、代わりに「 BでなければAではない」という主張の証明を構築することによって推論されます。多くの場合、このアプローチは、元の条件文自体よりも対偶を証明する方が簡単な場合に好まれます。

論理的には、逆説による証明の妥当性は、次の真理値表を使用することで実証できます。ここでは、p → qとq → p がすべてのシナリオで同じ真理値を共有することが示されています。 ${\displaystyle \lnot }$${\displaystyle \lnot }$

背理法による証明: (矛盾に対して) が真であると仮定します。この仮定を使用して、矛盾を証明します。 が偽であるため、 が真となります。 ${\displaystyle \neg A}$${\displaystyle \neg A}$${\displaystyle A}$

逆説による証明: を証明するには、その逆説的な命題、つまり を証明します。 ${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle \neg B\to \neg A}$

を整数と します。${\displaystyle x}$

証明:が偶数であれば、 も偶数です。${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$

直接的な証明も可能ですが、この文を対偶によって証明することにします。上記の文の対偶は次のようになります。

偶数でない場合は、偶数ではありません。${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{2}}$

この後者のステートメントは次のように証明できます。x が偶数でないとすると、x は奇数になります。2 つの奇数の積は奇数なので、 は奇数です。したがって、は偶数ではありません。 ${\displaystyle x^{2}=x\cdot x}$${\displaystyle x^{2}}$

逆説が証明されたので、元の文が真であると推論できる。^[16]

直観主義論理では、文がと同等であるとは証明できません。 がを意味することは証明できます(下記参照)。ただし、から への逆の含意には、排中律または同等の公理が必要です。${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$${\displaystyle P\to Q}$

仮定（最初の仮定） ${\displaystyle P\to Q}$

仮定する${\displaystyle Q\to \bot }$

とから、結論として${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle Q\to \bot }$${\displaystyle P\to \bot }$

退院の仮定; 結論${\displaystyle (Q\to \bot )\to (P\to \bot )}$

に変わり、結論${\displaystyle (A\to \bot )}$${\displaystyle \lnot A}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

放電仮定; 結論。 ${\displaystyle (P\to Q)\to (\lnot Q\to \lnot P)}$

対置は、主観的論理における主観的ベイズの定理のインスタンスを表し、次のように表現されます。

${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\,{\widetilde {\phi \,}}\,a_{P}\,,}$

ここで、 はソース によって与えられた 2 項条件付き意見のペアを表します。パラメータ はのベース レート(別名、事前確率)を表します。派生的な反転条件付き意見のペアは で示されます。条件付き意見は論理ステートメント を一般化します。つまり、TRUE または FALSE を割り当てることに加えて、ソースはステートメントに任意の主観的意見を割り当てることができます。が絶対的な TRUE 意見である場合は、ソースがTRUE であると言っていることと同等であり、 が絶対的な FALSE 意見である場合は、ソースが が FALSE であると言っていることと同等です。条件付き意見が絶対的な TRUE である場合、主観的論理の主観的ベイズの定理演算子は絶対的な FALSE 派生条件付き意見を生成し、それによって絶対的な TRUE 派生条件付き意見が生成され、これは TRUE であることと同等です。したがって、主観的ベイズの定理は、対置とベイズの定理 の両方の一般化を表します。^[17]${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{P}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})}$${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \omega _{Q\mid P}^{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \omega _{Q\mid P}^{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$${\displaystyle {\widetilde {\phi \,}}}$${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$${\displaystyle \omega _{\lnot P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

対置はベイズの定理の一例であり、特定の形式では次のように表現できます。

${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}{\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)+\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}}.}$

上記の式では、条件付き確率は 論理ステートメント を一般化します。つまり、TRUE または FALSE を割り当てることに加えて、ステートメントに任意の確率を割り当てることもできます。 項はの基本率(つまり、事前確率)を表します。 が TRUE であることに等しく、 がFALSE であることに等しいと仮定します。すると、 のとき、つまり が TRUE のときであることが簡単にわかります。これは、 であるため、上記の式の右側の分数が 1 に等しく、したがってが TRUE であることに等しいため です。したがって、ベイズの定理は対偶の一般化を表します。^[18]${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)}$${\displaystyle P\to \lnot Q}$${\displaystyle a(P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1}$${\displaystyle P\to \lnot Q}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=0}$${\displaystyle P\to \lnot Q}$${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1}$${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

• 不条理への帰結
• 論理的等価性

• Audun Jøsang、2016、「主観的論理：不確実性下での推論の形式主義」 Springer、Cham、ISBN 978-3-319-42337-1 
• ブルームバーグ、アルバート E.「現代論理学」。哲学百科事典、第 5 巻、マクミラン、1973 年。
• Brody, Bobuch A.「論理用語集」。哲学百科事典。第 5-6 巻、61 ページ。Macmillan、1973 年。
• コピ、アーヴィング。論理学入門。マクミラン、1953年。
• コピ、アーヴィング。記号論理学。マクミラン、1979年、第5版。
• プライア、AN「伝統的論理学」。哲学百科事典、第5巻、マクミラン、1973年。
• ステビング、スーザン。『現代論理学入門』クロムウェル社、1931年。

• ウィキメディア・コモンズの対位法に関連するメディア
• 不適切な転置（誤謬ファイル）