ノイマン正規化補題

数学において、ノイマン正規化補題は、 1926 年にエミー・ノイマンによって導入された可換代数の結果である。 ^[1]これは、任意の体kと任意の有限生成可換k代数Aに対して、k上で代数的に独立で_あり、 Aが多項式環S = k  [ y ₁ , y ₂ , ..., y _d ]上の有限生成加群となるようなAの元y ₁ , y ₂ , ... , y d が存在することを述べている。整数d は環Aのクルル次元に等しく、A が整域である場合、d はk上のAの分数体の超越次数でもある。

この定理には幾何学的な解釈がある。Aがアフィン多様体 Xの座標環であり、S がd次元アフィン空間の座標環であるとする。すると包含写像はアフィン多様体の全射有限射を誘導する。つまり、任意のアフィン多様体はアフィン空間の分岐被覆である。kが無限大のとき、そのような分岐被覆写像は、 X を含むアフィン空間からd次元部分空間への一般射影をとることによって構築できる。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{d}}$ ${\displaystyle S\hookrightarrow A}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {A} _{k}^{d}}$

より一般的には、スキームの言語で、定理は次のように同等に述べることができます。すべてのアフィンkスキーム（有限型）X は、アフィンn次元空間上で有限です。定理は、対応する次元のアフィン座標部分空間上で有限であるRのイデアル（Xの閉部分集合と同等）の連鎖を含むように洗練することができます。^[2]

ノイマン正規化補題は、古典代数幾何学の最も基本的な結果の 1 つであるヒルベルトの零点定理を証明するための重要なステップとして使用できます。正規化定理は、 k代数のクルル次元の概念を確立するための重要なツールでもあります。

以下の証明は、マンフォードの赤い本 に従って、永田によるものです。より幾何学的な証明は、赤い本の 127 ページに記載されています。

補題の環A は、何らかの元 によりk代数として生成されます。m上で帰納します。場合で、証明するものは何もありません。 と仮定します。するとk代数として、 は何らかのイデアルです。は PID (ユークリッド領域) なので、 です。これで終わったので、 と仮定します。eをfの次数とします。すると、Aはkベクトル空間として によって生成されます。したがって、Aはk上で有限です。ここで と仮定します。元により生成されるAのk部分代数S が存在し、 AがS上で有限であることを示すだけで十分です。実際、帰納的仮説により、 Sが 上で有限であるようなSの代数的に独立した元を見つけることができます。 ${\displaystyle y_{1},...,y_{m}}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle k=A}$${\displaystyle m=1}$${\displaystyle A\cong k[y]/I}$${\displaystyle I\subset k[y]}$${\displaystyle k[y]}$${\displaystyle I=(f)}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle f\neq 0}$${\displaystyle 1,y,y^{2},\dots ,y^{e-1}}$${\displaystyle m\geq 2}$${\displaystyle m-1}$${\displaystyle x_{1},...,x_{d}}$${\displaystyle k[x_{1},...,x_{d}]}$

そう でなければ証明するものがないので、k上のm変数の非ゼロ多項式fが存在し、

${\displaystyle f(y_{1},\ldots,y_{m})=0}$。

後で決定される 整数rが与えられた場合、

${\displaystyle z_{i}=y_{i}-y_{1}^{r^{i-1}},\quad 2\leq i\leq m.}$

そして、前述の部分は次のようになります。

${\displaystyle f(y_{1},z_{2}+y_{1}^{r},z_{3}+y_{1}^{r^{2}},\ldots ,z_{m}+y_{1}^{r^{m-1}})=0}$。

さて、 が上式の左辺に現れる単項式で、係数が である場合、積を展開した後の の最高項は次のようになる。 ${\displaystyle ay_{1}^{\alpha _{1}}\prod _{2}^{m}(z_{i}+y_{1}^{r^{i-1}})^{\alpha _{i}}}$${\displaystyle a\in k}$${\displaystyle y_{1}}$

${\displaystyle ay_{1}^{\alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}.}$

上記の指数が他の単項式によって生成される最も高い指数と一致する場合は常に、の最も高い項が上記の形式にならない可能性があります。これは、相殺の影響を受ける可能性があるためです。ただし、r がfに現れるどの指数よりも大きい場合、それぞれが一意のr基数でエンコードされるため、これは発生しません。このようなrについて、が量が最大となる多次数のfの一意の単項式の係数であるとします。最後の恒等式を で乗算すると、上の積分従属方程式が得られます。つまり、はS上で積分です。もその環上で積分であるため、 A はS上で積分です。したがって、 A はS上で有限であり、 S はm-1個の要素によって生成されるため、帰納的仮説により完了です。 ${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle f(y_{1},z_{2}+y_{1}^{r},z_{3}+y_{1}^{r^{2}},...,z_{m}+y_{1}^{r^{m-1}})}$${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}$${\displaystyle c\in k}$${\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})}$${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}$${\displaystyle 1/c}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle S=k[z_{2},...,z_{m}]}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{i}=z_{i}+y_{1}^{r^{i-1}}}$

A が整域であれば、 d はその分数体の超越次数です。実際、Aと は同じ超越次数（つまり、分数体の次数）を持ちます。これは、 Aの分数体がSの分数体に対して代数的であり（A はSに対して整列しているので）、S が超越次数d を持つからです。したがって、多項式環Sのクルル次元がdであることを示すことが残っています。（これは次元理論の結果でもあります。） dについて帰納しますが、そのケースは自明です。は素イデアルの連鎖であるため、次元は少なくともdです。逆の推定値を得るには、 を素イデアルの連鎖とします。 とします。ノイザー正規化を適用して を取得します（正規化の過程では、最初の変数を自由に選択できます）。これにより、SはTに対して整列します。帰納的仮説により、は次元d - 1を持ちます。比較不可能性により、は長さ のチェーンであり、 では長さ のチェーンになります。 であるため、 が成り立ちます。したがって、 です。 ${\displaystyle S=k[y_{1},...,y_{d}]}$${\displaystyle d=0}$${\displaystyle 0\subsetneq (y_{1})\subsetneq (y_{1},y_{2})\subsetneq \cdots \subsetneq (y_{1},\dots ,y_{d})}$${\displaystyle 0\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}}$${\displaystyle 0\neq u\in {\mathfrak {p}}_{1}}$${\displaystyle T=k[u,z_{2},\dots,z_{d}]}$${\displaystyle T/(u)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\cap T}$${\displaystyle m}$${\displaystyle T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)}$${\displaystyle m-1}$${\displaystyle \operatorname {dim} T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)\leq \operatorname {dim} T/(u)}$${\displaystyle m-1\leq d-1}$${\displaystyle \dim S\leq d}$

アイゼンバッドの本には、永田の考えを基にした次のような改良が見られる。^[2]

幾何学的に言えば、定理の最後の部分は、任意の一般線型射影に対して有限射影が誘導されることを示しています（リード文を参照）。Eisenbud の他に、[1] も参照してください。 ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A\subset \mathbf {A} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{m}\to \mathbf {A} ^{d}}$ ${\displaystyle X\to \mathbf {A} ^{d}}$

正規化補題の典型的な非自明な応用は、一般的な自由性定理です。がネーター整域であるような環を とし、上の有限生成代数として表される環準同型があるとします。すると、 が自由 - 加群となるようなものが存在します。 ${\displaystyle A,B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 0\neq g\in A}$${\displaystyle B[g^{-1}]}$${\displaystyle A[g^{-1}]}$

これを証明するには、を の分数体とします。 のクルル次元について帰納的に論じます。基本ケースは、クルル次元が のとき、つまり のときです。つまり、となるような何かが存在するとき、つまり が- 加群として自由であるときです。帰納的ステップでは、が有限生成-代数であることに留意してください。したがって、ノイザー正規化補題により、 には、多項式環 上で有限となるような代数的に独立した元が含まれます。各 に の元を掛けると、が に含まれると仮定できます。ここで、以下を検討します。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F\otimes _{A}B}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle F\otimes _{A}B=0}$${\displaystyle 0\neq g\in A}$${\displaystyle gB=0}$${\displaystyle B[g^{-1}]}$${\displaystyle A[g^{-1}]}$${\displaystyle F\otimes _{A}B}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\otimes _{A}B}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}}$${\displaystyle F\otimes _{A}B}$${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A':=A[x_{1},\dots ,x_{d}]\to B.}$

は上で有限ではないかもしれませんが、次のように 1 つの要素を反転すると有限になります。 がの要素である場合、の要素として は上で整列します。つまり、内のに対してとなります。したがって、 はの係数の分母をすべて消去するため、 は上で整列します。 の有限個の生成元を -代数としていくつか選択し、この観察を各生成元に適用すると、上で整列 (したがって有限) となるようなものが見つかります。を で置き換えると、 上で有限であると仮定できます。最後に、素イデアルに対してとなる -部分加群による有限のフィルタリングを考えます(このようなフィルタリングは関連素数の理論により存在します)。各iに対して、 であれば、帰納的仮説により、 内の が-加群として自由であるものを選ぶことができますが、は多項式環であるため自由です。したがって の場合、 は上の自由加群です。${\displaystyle B}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle b}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F\otimes _{A}B}$${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$${\displaystyle b^{n}+a_{1}b^{n-1}+\dots +a_{n}=0}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$${\displaystyle 0\neq g\in A}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A'[g^{-1}]}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle 0\neq g\in A}$${\displaystyle B[g^{-1}]}$${\displaystyle A'[g^{-1}]}$${\displaystyle B,A}$${\displaystyle B[g^{-1}],A[g^{-1}]}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A':=A[x_{1},\dots ,x_{d}]}$${\displaystyle B=B_{0}\supset B_{1}\supset B_{2}\supset \cdots \supset B_{r}}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle B_{i}/B_{i+1}\simeq A'/{\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\neq 0}$${\displaystyle g_{i}\neq 0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A'/{\mathfrak {p}}_{i}[g_{i}^{-1}]}$${\displaystyle A[g_{i}^{-1}]}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle g=g_{0}\cdots g_{r}}$${\displaystyle B[g^{-1}]}$${\displaystyle A[g^{-1}]}$${\displaystyle \square }$

• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）、可換代数。代数幾何学に向けて、Graduate Texts in Mathematics、第150巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 3-540-94268-8、MR  1322960、Zbl  0819.13001
• 「ノイマン定理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]注意: 補題は更新コメント内にあります。
• Neether、Emmy (1926)、「Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher lineer Gruppen der Charakteristik p」、Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen : 28–35、2013 年 3 月 8 日のオリジナルからアーカイブ

• Robertz, D.: 単項式円錐分解によるノイマン正規化。Journal of Symbolic Computation 44(10), 1359–1373 (2009)