一次分解

数学において、ラスカー・ネーターの定理は、すべてのネーター環はラスカー環であると述べている。これは、すべてのイデアルが有限個の素イデアル（素イデアルのべき乗と関連しているが、全く同じではない）の共通部分（素分解と呼ばれる）として分解できることを意味する。この定理は、多項式環と収束冪級数環の特殊な場合について、エマニュエル・ラスカー（1905年）によって最初に証明され、エミー・ネーター（1921年）によってその完全な一般性が証明された。  

ラスカー・ネーターの定理は、算術の基本定理、より一般的には有限生成アーベル群の基本定理をすべてのネーター環に拡張したものです。この定理は、すべての代数集合は既約成分の有限個の和集合に一意に分解できることを主張することで、代数幾何学において重要な役割を果たしています。

これは、ネーター環上の有限生成加群のすべての部分加群が、主部分加群の有限個の共通部分であることを述べる加群への直接的な拡張である。これは、環をそれ自身上の加群とみなすことで、イデアルが部分加群となるという、環の場合を特殊なケースとして含んでいる。これはまた、主イデアル領域上の有限生成加群に対する構造定理の主分解形式を一般化し、体上の多項式環の特殊なケースでは、代数集合を（既約）多様体の有限個の和集合に分解することを一般化する。

標数0の体上の多項式環の一次分解を計算する最初のアルゴリズム^{[注 1 ]}は、ノーターの弟子であるグレーテ・ヘルマン( 1926 年)によって発表されました。^{[ 1 ] [ 2 ]}この分解は一般に非可換ノーター環には適用されません。ノーターは、一次イデアルの共通部分ではない右イデアルを持つ非可換ノーター環の例を示しました。 

させて${\displaystyle R}$ネーター可換環である。イデアル${\displaystyle I}$の${\displaystyle R}$が真イデアルであり、かつ各要素のペアに対して、が主イデアルであるならば、それは主イデアルと呼ばれる。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$で${\displaystyle R}$そのため${\displaystyle xy}$は${\displaystyle I}$、 どちらか${\displaystyle x}$または何らかの力${\displaystyle y}$は${\displaystyle I}$同等に、商のすべての零除数${\displaystyle R/I}$冪零である。基本イデアルの根号${\displaystyle Q}$は最高の理想であり、${\displaystyle Q}$と言われている${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-主な${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {Q}}}$。

させて${\displaystyle I}$理想的である${\displaystyle R}$。 それから${\displaystyle I}$基本イデアルへの冗長性のない基本分解を持つ。

${\displaystyle I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{n}\ }$。

冗長性とは、次のことを意味します。

• のいずれかを削除する${\displaystyle Q_{i}}$交差部分を変更する、つまり各${\displaystyle i}$我々は持っています：$\displaystyle \cap _{j\neq i}Q_{j}\not \subset Q_{i}}$。
• 主要な理想${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}}$それらはすべて異なる。

さらに、この分解は次の2つの点で独特です。

• セット${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$は、${\displaystyle I}$、 そして
• もし${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {Q_{i}}}}$上記の集合の最小要素である場合、${\displaystyle Q_{i}}$は、${\displaystyle I}$; 実際には、${\displaystyle Q_{i}}$は、${\displaystyle IR_{\mathfrak {p}}}$位置情報マップの下${\displaystyle R\to R_{\mathfrak {p}}}$。

非最小素イデアルに対応する基本イデアル${\displaystyle I}$一般的に、一意ではありません（以下の例を参照）。分解の存在については、以下の「関連素数からの主分解」を参照してください。

要素${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$は、​${\displaystyle I}$または、${\displaystyle I}$モジュール理論の言語では、以下で説明するように、集合は${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$また、は、${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle R/I}$具体的には、要素が存在することを意味します。${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$で${\displaystyle R}$そのため

$\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}=\{f\in R\mid fg_{i}\in I\}.}$^{[ 3 ]}

簡略化のため、一部の著者は、${\displaystyle R/I}$単に関連するプライム${\displaystyle I}$（ただし、この方法はモジュール理論における用法と矛盾することに注意してください。）

• 最小限の要素${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$は、最小素イデアルと同じである。${\displaystyle I}$これらは孤立素数と呼ばれます。
• 一方、最小要素でないものは、埋め込み素数と呼ばれます。

整数環の場合${\displaystyle \mathbb {Z} }$ラスカー・ネーターの定理は算術の基本定理と同等である。整数が${\displaystyle n}$素因数分解を持つ${\displaystyle n=\pm p_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}}}$すると、理想の一次分解${\displaystyle \langle n\rangle }$によって生成されました${\displaystyle n}$で${\displaystyle \mathbb {Z} }$、 は

${\displaystyle \langle n\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .}$

同様に、一意の因数分解領域では、要素が素因数分解を持つ場合${\displaystyle f=up_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}},}$どこ${\displaystyle u}$は単位であり、主イデアルの主分解はによって生成される。${\displaystyle f}$は

${\displaystyle \langle f\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .}$

今日では、イデアルや加群の素分解を関連素数の理論の中で行うことが一般的である。特に、ブルバキの影響力のある教科書『可換代数』はこのアプローチを採用している。

させて${\displaystyle R}$リングになり、${\displaystyle M}$それに対するモジュール。定義によれば、関連素数とは、非零要素の零化イデアルである素イデアルのことである。${\displaystyle M}$つまり、${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} (m)}$一部の人にとって${\displaystyle m\in M}$（これは、${\displaystyle m\neq 0}$) 同様に素イデアル${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$は、${\displaystyle M}$注射がある場合${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}\hookrightarrow M}$。

非ゼロ要素の消滅要素の集合の最大要素${\displaystyle M}$素イデアルであることが示され、したがって、${\displaystyle R}$はネーター環であり、 の関連素数が存在する。${\displaystyle M}$かつその場合に限り${\displaystyle M}$ゼロではない。

関連する素数の集合${\displaystyle M}$は、${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}$または${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$定義から直接、

• もし${\displaystyle M=\bigoplus _{i}M_{i}}$、 それから${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)=\bigcup _{i}\operatorname {Ass} (M_{i})}$。
• 正確なシーケンス${\displaystyle 0\to N\to M\to L\to 0}$、${\displaystyle \operatorname {Ass} (N)\subset \operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Ass} (N)\cup \operatorname {Ass} (L)}$[ ^{4 ]​}
• もし${\displaystyle R}$ネーター環である場合、${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Supp} (M)}$どこ${\displaystyle \operatorname {Supp} }$サポートを指します。^{[ 5 ]}また、最小要素の集合は${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$は、最小要素の集合と同じです。${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)}$[ ^{5 ]​}

もし${\displaystyle M}$は有限生成モジュールである${\displaystyle R}$すると、部分加群の有限昇列が存在する。

${\displaystyle 0=M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1}\subsetneq M_{n}=M\,}$

各商が${\displaystyle M_{i}/M_{i-1}}$は同型である${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}}$いくつかの主要な理想のために${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$それぞれは必然的に${\displaystyle M}$^{[ 6 ]}さらに、すべての関連素数は${\displaystyle M}$素数の集合の中に現れる${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$; つまり、

${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)\subset \{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}\subset \operatorname {Supp} (M)}$[ ^{7 ]​}

（一般的に、これらの包含関係は等式ではありません。）特に、${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$有限集合であるとき${\displaystyle M}$有限生成である。

させて${\displaystyle M}$ネーター環上の有限生成加群である${\displaystyle R}$そして${\displaystyle N}$サブモジュール${\displaystyle M}$与えられた${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}}$の関連素数の集合${\displaystyle M/N}$サブモジュールが存在する${\displaystyle Q_{i}\subset M}$そのため${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/Q_{i})=\{{\mathfrak {p}}_{i}\}}$そして

${\displaystyle N=\bigcap _{i=1}^{n}Q_{i}.}$^{[ 8 ] [ 9 ]}

サブモジュール${\displaystyle N}$の${\displaystyle M}$と呼ばれる${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-プライマリの場合${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}\}}$. のサブモジュール${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle R}$は${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-プライマリをサブモジュールとして扱うのは、それが${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-第一の理想。したがって、${\displaystyle M=R}$上記の分解は、まさにイデアルの一次分解である。

取${\displaystyle N=0}$上記の分解は、有限生成モジュールの関連素数の集合を表します。${\displaystyle M}$と同じ${\displaystyle \{\operatorname {Ass} (M/Q_{i})\mid i\}}$いつ${\displaystyle 0=\cap _{1}^{n}Q_{i}}$（有限世代でない場合、関連する素数は無限に存在する可能性がある。）

させて${\displaystyle R}$ネーター環である。

• の零因子の集合${\displaystyle R}$は、関連する素数の和集合と同じである。${\displaystyle R}$（これは、零因子の集合が${\displaystyle R}$は、非ゼロ要素の零化要素の集合の和集合であり、その最大要素は関連する素数である。^{[ 10 ]}
• 同じ理由で、${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle M}$は、 の零因子の集合です。${\displaystyle M}$つまり、要素${\displaystyle r}$自己準同型${\displaystyle m\mapsto rm,M\to M}$単射ではない。^{[ 11 ]}
• 部分集合が与えられた場合${\displaystyle \Phi \subset \operatorname {Ass} (M)}$、${\displaystyle M}$1${\displaystyle R}$-モジュール、サブモジュールが存在する${\displaystyle N\subset M}$そのため${\displaystyle \operatorname {Ass} (N)=\operatorname {Ass} (M)-\Phi }$そして${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\Phi }$[ ^{12 ]​}
• させて${\displaystyle S\subset R}$乗法的な部分集合である、${\displaystyle M}$1${\displaystyle R}$-モジュールと${\displaystyle \Phi }$すべての素イデアルの集合${\displaystyle R}$交差しない${\displaystyle S}$。 それから$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto S^{-1}{\mathfrak {p}},\,\operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi \to \operatorname {Ass} _{S^{-1}R}(S^{-1}M)}$$は全単射である。^{[ 13 ]}また、${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi =\operatorname {Ass} _{R}(S^{-1}M)}$[ ^{14 ]​}
• 素イデアルは、イデアルを含むことに関して最小である。${\displaystyle J}$は${\displaystyle \mathrm {Ass} _{R}(R/J).}$これらの素数はまさに孤立素数である。
• モジュール${\displaystyle M}$以上${\displaystyle R}$有限長であるのは、${\displaystyle M}$有限生成であり、${\displaystyle \mathrm {Ass} (M)}$最大イデアルから構成される。^{[ 15 ]}
• させて${\displaystyle A\to B}$ネーター環と環準同型である${\displaystyle F}$1${\displaystyle B}$- 平らなモジュール${\displaystyle A}$.次に、それぞれについて${\displaystyle A}$-モジュール${\displaystyle E}$、

${\displaystyle \operatorname {Ass} _{B}(E\otimes _{A}F)=\bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} (E)}\operatorname {Ass} _{B}(F/{\mathfrak {p}}F)}$[ ^{16 ]​}

次の定理は、環がそのイデアルに対して一次分解を持つための必要十分条件を与える。

証明は、アティヤー・マクドナルドの第4章で一連の演習として示されている。^{[ 17 ]}

主分解を持つイデアルについては、以下の一意性定理が存在する。

さて、任意の可換環について${\displaystyle R}$理想的な${\displaystyle I}$そして最低限のプライム${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$以上${\displaystyle I}$の原像${\displaystyle I\,R_{\mathfrak {p}}}$位置マップの下にある最小のものは${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-主要な理想を含む${\displaystyle I}$^{[ 18 ]}したがって、前述の定理の設定では、基本イデアル${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$最小素数に対応する${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$また、最小の${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-主要な理想を含む${\displaystyle I}$そして、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-主要構成要素${\displaystyle I}$。

例えば、電力が${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{n}}$プライムの${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$一次分解があり、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-主要構成要素は${\displaystyle n}$の象徴的な力${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$。

この成果は、イデアルを特定のイデアル群の共通部分として表現する方法を研究する、現在「イデアルの加法理論」として知られる分野における最初の成果である。「特定のイデアル群」、例えば基本イデアルの決定自体が問題となる。非可換環の場合、基本イデアル群の代わりに三次イデアル群を用いるのが適切である。

• Atiyah, M. ; Macdonald, IG (1994).可換代数学入門. Addison–Wesley . ISBN 0-201-40751-5。
• ブルバキ、代数可換
• ダニロフ、VI（2001）[1994]、「ラスカー環」、数学百科事典、EMS Press
• アイゼンバッド、デイビッド（1995）、『可換代数』、大学院数学テキスト、第 150巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、doi：10.1007/978-1-4612-5350-1、ISBN 978-0-387-94268-1MR 1322960​ 特にセクション3.3を参照。
• Hermann, Grete (1926)、「Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale」、Mathematische Annalen (ドイツ語)、95 : 736–788、doi : 10.1007/BF01206635、S2CID 115897210 英語訳は、Communications in Computer Algebra 32/3 (1998): 8–30 に掲載されています。
• Lasker, E. (1905)、「Zur Theorie der Moduln und Ideale」、Math。アン。、60 : 20–116、土井: 10.1007/BF01447495、S2CID 120367750 
• Markov, VT (2001) [1994]、「一次分解」、数学百科事典、EMS Press
• 松村英之(1970)、可換代数
• ネーター、エミー(1921)、「Ringbereichen の理想理論」、Mathematische Annalen、83 (1): 24–66、doi : 10.1007/BF01464225
• カーティス、チャールズ（1952）「一般環における加法的イデアル理論について」、アメリカ数学ジャーナル、74（3）、ジョンズ・ホプキンス大学出版局：687–700、doi：10.2307/2372273、JSTOR 2372273 
• Krull、Wolfgang (1928)、「Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommmutativen Bereichen」、Mathematische Zeitschrift、28 (1): 481–503、doi : 10.1007/BF01181179、S2CID 122870138 

• 「一次分解は今でも重要ですか？」 MathOverflow 2012年8月21日