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抽象代数と呼ばれる数学の分野において、除算代数とは、大まかに言えば、ゼロによる除算を除いて常に除算が可能な体上の代数です。
定義
正式には、体上の非ゼロ 代数 Dから始めます。Dの任意の元aとD の任意の非ゼロ元bに対して、 a = bxとなるDの元x が1 つだけ存在し、 a = ybとなるDの元y が1 つだけ存在する場合、 Dを除算代数と呼びます。
結合代数の場合、定義は次のように簡略化できます。体上の非ゼロ結合代数は、乗法単位元1を持ち、すべての非ゼロ元aに乗法逆元 (つまり、 ax = xa = 1となる元x ) がある場合に限り、除法代数です 。
結合除算代数
結合的除法代数の最もよく知られた例は、有限次元の実数代数（つまり、実数体R上の代数で、実数体上のベクトル空間として有限次元である）である。フロベニウスの定理によれば、同型性を除いて、そのような代数は 3 つある。実数自体（次元 1）、複素数体（次元 2）、および四元数（次元 4）である。
ウェダーバーンの小定理は、 Dが有限除算代数であれば、Dは有限体であることを述べています。[1]
代数的に閉じた体 K（例えば複素数 C ）上では、 K自身を除いて有限次元の結合的除算代数は存在しない。[2]
結合的除算代数には非ゼロのゼロ因子はありません。有限次元 単位 結合代数（任意の体上）は、非ゼロのゼロ因子がない 場合に限り、除算代数です。
Aが体F上の結合的単位代数であり、SがA上の単純加群であるときはいつでも、Sの自己準同型環はF上の除算代数である。 F上のすべての結合的除算代数はこのようにして生じる。
体K上の結合的分割代数Dの中心は、 K を含む体です。そのような代数の中心上の次元は、有限であれば、完全な平方です。つまり、中心上のDの最大部分体の次元の平方に等しくなります。体Fが与えられた場合、中心がFでF上で有限次元である単純な（自明な両側イデアルのみを含む）結合的分割代数のBrauer 同値類は、体FのBrauer 群という群に変換できます。
任意の体上の有限次元結合除算代数を構築する 1 つの方法は、四元数代数によって与えられます (四元数も参照)。
無限次元の結合的除算代数の場合、最も重要なケースは、空間が何らかの合理的な位相を持つ場合です。たとえば、ノルム除算代数とバナッハ代数を参照してください。
必ずしも結合除算代数ではない
除算代数が結合的であると想定されていない場合、通常は、より弱い条件 (交替性やべき乗結合性など) が代わりに課されます。このような条件の一覧については、 体上の代数を参照してください。
実数上には、（同型性を除いて）ユニタリ可換な有限次元除算代数は 2 つしかありません。実数自体と複素数です。これらはもちろん結合的です。結合的でない例として、通常の乗算の複素共役を取ることで定義される乗算を持つ複素数を考えてみましょう。
これは、実数上の次元 2 の可換かつ非結合的な除算代数であり、単位元を持ちません。他の非同型な可換かつ非結合的な有限次元実除算代数は無数に存在しますが、それらはすべて次元 2 です。
実際、すべての有限次元実可換除法代数は 1 次元か 2 次元のいずれかです。これはホップの定理として知られ、1940 年に証明されました。証明には位相幾何学の手法が用いられます。後に代数幾何学を用いた証明が見つかりましたが、直接的な代数的証明は知られていません。代数の基本定理はホップの定理の系です。
ホップは、可換性の要件を放棄して、結果を一般化しました。任意の有限次元実除算代数は、次元が 2 の累乗でなければなりません。
その後の研究で、実際には有限次元の実除算代数は次元 1、2、4、または 8 でなければならないことが示されました。これは1958 年にミシェル・カーヴェールとジョン・ミルナーによって独立に証明されましたが、これも代数位相幾何学、特にK 理論の手法が使用されました。アドルフ・フルヴィッツは1898 年に、この恒等式が次元 1、2、4、8 に対してのみ成立することを示していました。 [3] (フルヴィッツの定理を参照)。3 次元の除算代数を構築するという課題は、初期の数学者数名によって取り組まれました。ケネス・O・メイは1966 年にこれらの試みを調査しました。[4]
実数上の任意の有限次元除算代数は
体K上の有限次元除算代数Aの次元については次のことが分かっています。
- Kが代数的に閉じている場合、dim A = 1 、
- Kが実閉の場合、 dim A = 1、2、4、または8であり、
- Kが代数的にも実数的にも閉じていない場合、 K上の除算代数が存在する次元は無限に存在します。
任意の非ゼロに対して となる元が存在する場合、代数Aには 逆元があると言えます。結合代数に逆元があるため、それが除算代数である場合に限ります。しかし、非結合代数の場合はこの限りではありません。セデニオンは、乗法逆元を持つ実数上の非結合代数ですが、除算代数ではありません。一方、四元数を取り、積を変更して、乗法表の残りの部分は変更せずに、いくつかの小さな非ゼロの実数を設定することで、逆元のない除算代数を構築できます。すると、元には右逆元と左逆元の両方がありますが、それらは等しくありません。
参照
注記
- ^ ラム（2001）、203ページ
- ^ コーン（2003）、命題5.4.5、p.150
- ^ ロジャー・ペンローズ(2005)。『現実への道』ヴィンテージ。ISBN 0-09-944068-7。、p.202
- ^ ケネス・O・メイ(1966)「3次元空間におけるベクトルの除算代数の不可能性」アメリカ数学月刊誌73(3): 289–91 doi :10.2307/2315349
参考文献
- コーン、ポール・モーリッツ(2003)。基礎代数: 群、環、体。ロンドン: Springer-Verlag。doi : 10.1007 / 978-0-85729-428-9。ISBN 978-1-85233-587-8. MR 1935285.
- ラム、ツィットユエン (2001)。非可換環の初歩。数学の大学院テキスト。第 131 巻 (第 2 版)。シュプリンガー。ISBN 0-387-95183-0。