論理積

論理学、数学、言語学、そして（${\displaystyle \wedge }$) は論理積または論理結合の真理関数演算子です。この演算子の論理結合子は通常次のように表されます。${\displaystyle \wedge }$^{[ 1 ]}または${\displaystyle \&}$または${\displaystyle K}$（接頭辞）または${\displaystyle \times }$または${\displaystyle \cdot }$^{[ 2 ]}その中で${\displaystyle \wedge }$最も近代的で広く使われている。

オペランドの集合の論理積は、そのオペランドがすべて真である場合に限り真となります。つまり、${\displaystyle A\land B}$は、以下の場合に限り真である。${\displaystyle A}$真実であり、${\displaystyle B}$それは本当です。

接続詞のオペランドは接続詞である。^{[ 3 ]}

論理学以外にも、「連言」という用語は、他の分野における同様の概念を指す場合もある。

• 自然言語では、英語の「」や「」などの表現の指示対象。
• プログラミング言語における短絡および制御構造。
• 集合論では、交差。
• 束論では、論理積（最大下限）です。

そして、通常は中置演算子で表されます。数学や論理学では、「くさび形」で表されます。${\displaystyle \wedge }$(Unicode U+2227 ∧論理AND )、^{[ 1 ]}${\displaystyle \&}$または${\displaystyle \times }$電子工学では、${\displaystyle \cdot }$; プログラミング言語では&、、または。ヤン・ルカシェヴィチの論理の接頭記法では、演算子は&&and${\displaystyle K}$、ポーランド語koniunkcja。^{[ 4 ]}

数学において、任意の数の要素の結合${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$「大きなウェッジ」⋀ (Unicode U+22C0 ⋀ N-ARY LOGICAL AND ) を使用した反復バイナリ演算として表すことができます: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \bigwedge _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\wedge a_{2}\wedge \ldots a_{n-1}\wedge a_{n}}$

古典論理では、論理積は、2 つの論理値（通常は 2 つの命題の値）に対する演算であり、そのオペランドの両方が真である場合に限り(iff とも呼ばれる)真という値を生成します。^{[ 2 ] [ 1 ]}

論理積の恒等式は真であり、つまり、式と真をAND演算しても、その式の値は決して変わりません。空虚な真理の概念に沿って、論理積が任意の項数の演算子または関数として定義される場合、空の論理積（オペランドの空集合に対するAND演算）は、結果が真であると定義されることがよくあります。

真理値表

真理値表${\displaystyle A\land B}$: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

推論規則として、連言導入は古典的に妥当な単純な論証形式である。この論証形式には2つの前提があり、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$直感的には、それは両者の結合を推論することを可能にする。

${\displaystyle A}$、

${\displaystyle B}$。

したがって、AとB。

または論理演算子表記では、${\displaystyle \vdash }$ 証明可能性を表す：

${\displaystyle \vdash A,}$

${\displaystyle \vdash B}$

${\displaystyle \vdash A\land B}$

以下は、接続詞導入の形式に当てはまる議論の例です。

ボブはリンゴが好きだ。

ボブはオレンジが好きだ。

したがって、ボブはリンゴが好きで、ボブはオレンジも好きだ。

接続詞除去は、古典的に妥当な単純な論証形式の一つである。直感的に言えば、任意の接続詞から、その接続詞を構成するいずれかの要素を推論することを可能にする。

${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$。

したがって、${\displaystyle A}$。

…あるいは、

${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$。

したがって、${\displaystyle B}$。

論理演算子表記では：

${\displaystyle \vdash A\land B}$

${\displaystyle \vdash A}$

…あるいは、

${\displaystyle \vdash A\land B}$

${\displaystyle \vdash B}$

可換性：あり

連想性：はい^{[ 7 ]}

分配法則：さまざまな演算、特にまたは

冪等性：あり

単調性：あり

真理保存性：はい。すべての入力が真の場合、出力も真になります。

偽情報保持: はいすべての入力が偽の場合、出力も偽になります。

ウォルシュスペクトル：（1,-1,-1,1）

非線形性：1（関数が曲がっている）

真（1）と偽（0）に二進数を使用する場合、論理積は通常の算術乗算とまったく同じように機能します。

高度なコンピュータプログラミングやデジタルエレクトロニクスでは、論理積は一般的に中置演算子で表され、通常は「 」のようなキーワードAND、代数乗算、またはアンパサンド記号&（場合によっては二重に&&）として使用されます。多くの言語では、論理積に対応する短絡制御構造も提供されています。

論理積はビット演算によく使用され、0は偽、1は真に対応します。

• 0 AND 0 = 、 0
• 0 AND 1 = 、 0
• 1 AND 0 = 、 0
• 1 AND 1 = 。 1

この演算は、同じ長さのビット列とみなされる2つのバイナリワードにも適用でき、対応する位置にある各ビットペアのビットごとのAND演算を行うことで実現できます。例：

• 11000110 AND 10100011 = 。 10000010

これは、ビットマスクを使用してビット列の一部を選択するために使用できます。たとえば、= は8 ビットのビット列の 4 ビット目を抽出します。10011101 AND 00001000  00001000

コンピュータネットワークでは、ビットマスクは、既存のネットワーク内のサブネットのネットワークアドレスを、指定されたIPアドレスとサブネットマスクをAND演算することによって導出するために使用されます。

論理積「 」は、 SQL操作でデータベースANDクエリを作成するためにも使用されます。

カリー＝ハワード対応は、論理積と積のタイプを関連付けるものである。

集合論における交差集合の要素の所属は、論理積によって定義される。${\displaystyle x\in A\cap B}$かつその場合に限り${\displaystyle (x\in A)\wedge (x\in B)}$この対応関係を通じて、集合論的交差は、結合法則、可換性、冪等性など、論理積といくつかの性質を共有しています。

数理論理学で形式化された他の概念と同様に、論理的接続詞and は、自然言語における文法的接続詞andと関連しているが、同一ではない。

英語の「and」には、論理結合では捉えきれない性質があります。例えば、「and」は「then」のような順序を表すことがあります。例えば、日常会話で「They got married and had a child」と言う場合、結婚が子供よりも先に起こったことを意味します。

「and」という単語は、物事を複数の部分に分割することを意味する場合もあります。例えば、「アメリカ国旗は赤、白、青です。」という文では、国旗が同時に赤、白、青であるという意味ではなく、それぞれの色が国旗の一部であるという意味です。

• 「連言」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• Wolfram MathWorld: 連言
• 「AND命題の性質と真理値表」 。2017年5月6日にオリジナルからアーカイブされました。