算術幾何学

19世紀初頭、カール・フリードリヒ・ガウスは、有理係数を持つ同次多項式方程式には、ゼロでない有理解が存在するならば、ゼロでない整数解も存在することを発見した。^{[ 8 ]}

1850年代、レオポルド・クロネッカーはクロネッカー・ウェーバーの定理を定式化し、約数論を導入し、数論と代数学の間に数多くの関連性を見出しました。その後、彼は「liebster Jugendtraum」（「青春の最も大切な夢」）という予想を立てました。これは後にヒルベルトによって修正された形で第12問題として提示され、整数上の多項式環の商環のみで数論が機能するようにするという目標を概説しています。 ^{[ 9 ]}

1920年代後半、アンドレ・ヴェイユは代数幾何学と数論の間に深い関連性があることを博士論文で示し、アーベル多様体の有理点の集合が有限生成アーベル群であることを示すモルデル・ヴェイユの定理を導き出した。^{[ 10 ]}

代数幾何学の現代的な基礎は、 1930年代と1940年代にオスカー・ザリスキーらが評価理論やイデアル理論を含む現代の可換代数に基づいて発展させた。 ^{[ 11 ]}

1949年、アンドレ・ヴェイユは有限体上の代数多様体の局所ゼータ関数に関する画期的なヴェイユ予想を提唱した。 ^{[ 12 ]}これらの予想は代数幾何学と数論の間の枠組みを提供し、アレクサンダー・グロタンディークが1950年代と1960年代に層理論（ジャン＝ピエール・セールと共に）や後にスキーム理論を用いて基礎を再構築するきっかけとなった。^{[ 13 ]}ベルナール・ドワークは1960年に4つのワイル予想のうちの1つ（局所ゼータ関数の有理性）を証明した。^{[ 14 ]}グロタンディークは1965年までに（マイケル・アルティンとジャン＝ルイ・ヴェルディエと共に）ワイル予想のうち2つを証明するためにエタールコホモロジー理論を発展させた。 ^{[ 6 ] [ 15 ]}ワイル予想の最後の1つ（リーマン予想の類似）は、1974年にピエール・ドリーニュによって最終的に証明された。^{[ 16 ]}

1956年から1957年にかけて、谷山豊と志村五郎は、楕円曲線とモジュラー形式を関連付ける谷山-志村予想（現在ではモジュラー定理として知られている）を提唱した。^{[ 17 ] [ 18 ]}この関連性は最終的に、 1995年にアンドリュー・ワイルズによって開発されたモジュラーリフティングの代数幾何学的手法を通して、数論におけるフェルマーの最終定理の最初の証明につながった。^{[ 19 ]}

1960年代に志村五郎はモジュラー曲線の一般化として志村多様体を導入した。^{[ 20 ]} 1979年以来、志村多様体は予想を検証するための自然な例の領域としてラングランズ・プログラムにおいて重要な役割を果たしてきた。^{[ 21 ]}

1977年と1978年の論文で、バリー・マズールは有理数体上の楕円曲線の可能なねじれ部分群の完全なリストを与えてねじれ予想を証明した。マズールによるこの定理の最初の証明は、特定のモジュラー曲線上の有理点の完全な解析に基づいていた。^{[ 22 ] [ 23 ]} 1996年、ロイク・メレルはねじれ予想の証明をすべての数体に拡張した。^{[ 24 ]}

1983年、ゲルト・ファルティングスはモルデル予想を証明し、種数が1より大きい曲線には有限個の有理点しか存在しないことを示した（モルデル・ワイルの定理は、有理点の集合の有限生成のみを示し、有限性を示すものではない）。^{[ 25 ] [ 26 ]}

2001年、 GL _nの局所ラングランズ予想の証明は、特定の志村多様体の幾何学に基づいていた。^{[ 27 ]}

2010年代には、ピーター・ショルツェは、 p進体上の算術幾何学において、ガロア表現や重みモノドロミー予想の特定の場合への応用を伴うパーフェクトイド空間と新しいコホモロジー理論を開発した。^{[ 28 ] [ 29 ]}