複素数

2つの複素数${\displaystyle a=x+yi}$そして${\displaystyle b=u+vi}$実部と虚部を別々に加算することによって加算される。^{[ 13 ]}つまり、

$${\displaystyle a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.}$$ 同様に、減算は次のように実行できます。 $${\displaystyle ab=(x+yi)-(u+vi)=(xu)+(yv)i.}$$

この加算は、幾何学的に次のように視覚化できます。複素平面上の点として解釈される2つの複素数aとbの和は、 3つの頂点Oと、 aとbのラベルが付いた矢印の点(ただし、それらが一直線上にない場合)から平行四辺形を構築することによって得られる点です。同様に、これらの点をそれぞれA、Bと呼び、平行四辺形の4番目の点をX とすると、三角形OABとXBAは合同です。

2つの複素数の積は次のように計算されます。^{[ 13 ]}

${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.}$

例えば、${\displaystyle (2-i)(3+4i)=2\cdot 3-((-1)\cdot 4)+(2\cdot 4+(-1)\cdot 3)i=10+5i.}$ 特に、これには基本公式が特殊な場合として含まれる。

${\displaystyle i^{2}=i\cdot i=-1.}$

この公式は、複素数i を任意の実数と区別するものです。なぜなら、任意の（負または正の）実数の二乗は常に非負の実数になるからです。

この乗法と加算の定義により、有理数または実数の算術に関するおなじみの規則は複素数にも引き続き適用されます。より正確には、分配法則、交換法則（加算と乗法）が成り立ちます。したがって、複素数は、有理数または実数と同様に、体と呼ばれる代数構造を形成します。 ^{[ 14 ]}

複素数z = x + yiの複素共役は次のように定義される。 ${\displaystyle {\overline {z}}=x-yi.}$^{[ 15 ]}また、一部の著者は次のように表記している。$\displaystyle z^{*}}$幾何学的には、zは実軸に関するzの「鏡像」です。2回共役変換を行うと、元の複素数が得られます。${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$複素数は、その共役複素数と等しい場合に限り実数である。複素数の共役複素数を求めるという単項演算は、加算、減算、乗算、除算といった基本演算だけでは表現できない。

任意の複素数z = x + yiに対して、積

${\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}}$

は非負の実数です。これにより、 zの絶対値(またはモジュラスまたは大きさ)を平方根として定義できます^{[ 16 ]}$${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$ピタゴラスの定理 により、${\displaystyle |z|}$は、原点から複素平面上の複素数zを表す点までの距離です。特に、原点を中心とする半径 1 の円は、まさに次の数zから構成されます。${\displaystyle |z|=1}$単位複素数として知られています。もし${\displaystyle z=x=x+0i}$が実数であれば、${\displaystyle |z|=|x|}$: 複素数としての絶対値と実数としての絶対値は等しい。

共役複素数、つまりゼロでない複素数の逆数を用いる${\displaystyle z=x+yi}$^{計算すると[ 13 ]}となる。

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}={\frac {x-yi}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$ より一般的には、任意の複素数の除算${\displaystyle w=u+vi}$ゼロでない複素数によって${\displaystyle z=x+yi}$等しい $${\displaystyle {\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{|z|^{2}}}={\frac {(u+vi)(x-iy)}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {ux+vy}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {vx-uy}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$ このプロセスは、分母の「有理化」と呼ばれることもあります（最終的な式の分母は無理数である場合もありますが）。これは、分母にある単純な式から根を取り除く方法に似ているためです。^{[ 17 ] [ 18 ]}

zの引数(時には「位相」φとも呼ばれる) ^{[ 10 ]}は、半径Ozと正の実軸とのなす角であり、この記事ではラジアンでarg zと表記される。この角度は、整数倍を加えるまでしか定義されない。${\displaystyle 2\pi }$回転により${\displaystyle 2\pi }$原点を中心とした回転（または360°回転）では、複素平面上のすべての点が変化しません。引数を一意に指定する一つの方法は、引数が区間内にあることを要求することです。${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$これは主値と呼ばれます。^{[ 19 ]} 引数は、arctan（逆正接）関数を使用して直交形式x + yiから計算できます。 ^{[ 20 ]}

任意の複素数zに対して、絶対値は${\displaystyle r=|z|}$そして議論${\displaystyle \varphi }$式^{[ 13 ]}

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

が成り立つ。この恒等式はzの極形式と呼ばれる。 は時として次のように略される。${\textstyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi }$電子工学では、振幅rと位相φを持つフェーザを角度表記で表します。^{[ 21 ]}$${\displaystyle z=r\angle \varphi .}$$

2 つの複素数が極形式で与えられている場合、すなわちz ₁ = r ₁ (cos φ ₁ + i sin φ ₁ )およびz ₂ = r ₂ (cos φ ₂ + i sin φ ₂ )の場合、積と除算は次のように計算できます。 $${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).}$$$${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right),{\text{if }}z_{2}\neq 0.}$$（これらは正弦関数と余弦関数の三角関数恒等式 の結果です。）言い換えれば、絶対値を掛け合わせ、引数を足し合わせることで、積の極形式が得られます。右の図は、次の乗算を示しています。 $${\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.}$$5 + 5 i の実部と虚部が等しいので、その数の偏角は 45 度、つまりπ /4 (ラジアン) です。一方、赤と青の三角形の原点の角度の合計は、それぞれarctan (1/3) と arctan (1/2) です。したがって、式は $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)}$$ 成り立つ。arctan 関数は非常に効率的に近似できるため、このような式 ( Machin のような式として知られている) は、 πの高精度近似に使用されます。^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)-\arctan \left({\frac {1}{239}}\right)}$$

複素数の n 乗は、上記の積の公式を繰り返し適用することによって得られるド・モアブルの公式を使用して計算できます。^{[ 23 ]}$${\displaystyle z^{n}=\underbrace {z\cdot \dots \cdot z} _{n{\text{ factors}}}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}$$ 例えば、虚数単位iの最初のいくつかのべき乗は次のようになります。${\displaystyle i,i^{2}=-1,i^{3}=-i,i^{4}=1,i^{5}=i,\dots }$。

複素数zのn 乗根は^{[ 24 ]}で与えられる。$${\displaystyle z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)}$$0 ≤ k ≤ n − 1 の場合。（ここで${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$は、正の実数rの通常の（正の）n乗根です。）サインとコサインは周期関数であるため、 kの他の整数値は他の値を与えません。${\displaystyle z\neq 0}$特に、n個の異なる複素n乗根が存在する。例えば、1 の 4 乗根は 4 個ある。

${\displaystyle z_{1}=1,z_{2}=i,z_{3}=-1,z_{4}=-i.}$

一般に、複素数のn乗根を一つだけ区別する自然な方法はありません。（これは、正の実数xの根とは対照的です。正の実数 x は唯一の正の実数n乗根を持ち、そのため一般にxのn乗根と呼ばれます。）この状況は、n乗根がzのn値関数であると言うことで表現されます。

カール・フリードリヒ・ガウスとジャン・ル・ロン・ダランベールによる代数学の基本定理は、任意の複素数（係数と呼ばれる）a₀ , ..., _aₙに対して、次の式 が成り立つことを述べている_。$${\displaystyle a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0}$$ 少なくとも1つの複素解zが存在する。ただし、上位係数a ₁ , ..., a _nのうち少なくとも1つがゼロでない場合に限る。^{[ 25 ]}この性質は有理数体では成り立たない。${\displaystyle \mathbb {Q} }$（多項式x ² − 2は有理根を持たない。なぜなら√2 は有理数ではないからである。）また実数も${\displaystyle \mathbb {R} }$（多項式x² + 4^は実数解を持たない。なぜなら、任意の実数xに対してxの二乗は正だからである。）

この事実により、${\displaystyle \mathbb {C} }$は代数的に閉じた体と呼ばれます。これは、後述するように、複素数のさまざまな応用の基礎となるものです。この定理には、リウヴィルの定理のような解析的方法、巻き数のような位相的方法、またはガロア理論と奇数次の任意の実多項式が少なくとも1つの実根を持つという事実を組み合わせた証明など、さまざまな証明方法があります。

複素数の体は、#抽象代数の定義で後述する実数の（唯一の）代数拡大体として定義されます。

一つのアプローチは${\displaystyle \mathbb {C} }$多項式、つまり次の形式の式 によって表されます。$${\displaystyle p(X)=a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},}$$ ここで、係数a ₀ , ..., a _nは実数である。このような多項式の集合は、で表される。${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$多項式の和​​と積もまた多項式であるため、この集合は${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$これは可換環を形成し、実数上の多項式環と呼ばれる。このような多項式pには、複素数を割り当てることができる。${\displaystyle p(i)=a_{n}i^{n}+\dotsb +a_{1}i+a_{0}}$つまり、設定によって得られる値${\displaystyle X=i}$これは関数を定義します

${\displaystyle \mathbb {R} [X]\to \mathbb {C} }$

この関数は全射です。なぜなら、すべての複素数は次のようにして得られるからです。線形多項式の評価${\displaystyle a+bX}$で${\displaystyle X=i}$は${\displaystyle a+bi}$しかし、多項式の評価は${\displaystyle X^{2}+1}$iは0 なので${\displaystyle i^{2}+1=0.}$この多項式は既約、すなわち2つの線形多項式の積として表すことはできません。抽象代数学の基本的事実から、上記の写像の核はこの多項式によって生成されるイデアルであり、このイデアルによる商空間は体であり、同型写像が存在することがわかります。

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1){\stackrel {\cong }{\to }}\mathbb {C} }$

商環と${\displaystyle \mathbb {C} }$. 一部の著者はこれを定義としている${\displaystyle \mathbb {C} }$[ ^{66 ] [ 67 ]この}定義は${\displaystyle \mathbb {C} }$二次代数として。

その分野${\displaystyle \mathbb {C} }$は代数学の基本定理により代数的に閉じられており、したがって の代数的閉包である。${\displaystyle \mathbb {R} .}$

複素数a + bi は、次の形式の2 × 2行列でも表すことができます^{[ 68 ]}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}.}$$ ここで、要素aとbは実数です。このような行列の和と積もまたこの形式になるため、これらの行列は2 × 2行列の環の部分環を形成します。

簡単な計算で、地図が $${\displaystyle a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}$$これは複素数体からこれらの行列の環への環同型写像 であり、これらの行列が体を形成することを証明する。この同型写像は、複素数の絶対値の二乗を対応する行列の行列式に、複素数の共役をその行列の転置行列に対応付ける。

複素数の極形式表現では、これらの行列はスケーリングされた回転行列として明示的に与えられます。 $${\displaystyle r(\cos \theta +i\sin \theta )\mapsto {\begin{pmatrix}r\cos \theta &-r\sin \theta \\r\sin \theta &\;\;r\cos \theta \end{pmatrix}}}$$ 特に、r = 1の場合は、${\displaystyle |a+ib|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=1}$は、（スケーリングされていない）回転行列を与えます。

（実）解析における収束級数と連続関数の概念は、複素解析において自然な類似物を持つ。複素数列は、その実部と虚部が収束する場合に限り収束すると言われる。これは、実数の絶対値を複素数の絶対値に置き換えた極限の（ε、δ）定義と同等である。より抽象的な観点から言えば、${\displaystyle \mathbb {C} }$メトリックを備えた$${\displaystyle \operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}$$ は完全距離空間であり、特に三角不等式を含む。$${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$$ 任意の2つの複素数z ₁とz ₂について。

実解析と同様に、この収束の概念は多くの基本関数を構成するために使用されます。指数関数exp z ( e ^zとも表記) は無限級数として定義され、任意のzに対して収束することが示されます。 $${\displaystyle \exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$ 例えば、${\displaystyle \exp(1)}$オイラー数は${\displaystyle e\approx 2.718}$オイラーの公式は次のように述べている 。$${\displaystyle \exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$ 任意の実数φに対して、この式は収束するべき級数に関する一般的な基本事実と、関連する関数をべき級数として定義することからすぐに導かれる。特殊な場合として、これにはオイラーの恒等式が含まれる。$${\displaystyle \exp(i\pi )=-1.}$$

任意の正の実数tに対して、一意の実数xが存在し、${\displaystyle \exp(x)=t}$これにより、自然対数は逆数として定義される。${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x}$指数関数の。複素数の場合は状況が異なります。

${\displaystyle \exp(z+2\pi i)=\exp z\exp(2\pi i)=\exp z}$

関数方程式とオイラーの恒等式により、例えば、e ^iπ = e ^{3 iπ} = −1なので、iπと3 iπの両方が−1の複素対数の可能な値となります。

一般に、任意の非ゼロ複素数wに対して、方程式を解く任意の数z は

${\displaystyle \exp z=w}$

はwの複素対数と呼ばれ、次のように表される。${\displaystyle \log w}$^{これらの数値が[ 69 ]}を満たすことが示される。$${\displaystyle z=\log w=\ln |w|+i\arg w,}$$ どこ${\displaystyle \arg }$は上記で定義された引数であり、${\displaystyle \ln }$（実数の）自然対数。arg は2πの倍数までしか一意に定まらない多価関数であるため、log も多価関数です。logの主値は、虚部を区間(−π , π ]に制限することによって得られることがよくあります。これにより、複素対数は、帯状領域で値をとる全単射関数になります。${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right]}$（つまり、${\displaystyle S_{0}}$（上記の図を参照） $${\displaystyle \ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right].}$$

もし${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \left(-\mathbb {R} _{\geq 0}\right)}$が非正の実数でない場合（正の数または非実数の場合）、結果として得られる複素対数の主値は− π < φ < πで得られます。これは負の実数以外では解析関数ですが、任意の負の実数で連続な関数に拡張することはできません。${\displaystyle z\in -\mathbb {R} ^{+}}$ここで、主値はln z = ln(− z ) + iπです。^{[ h ]}

複素指数関数z ^ωは次のように定義されます。 $${\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \ln z),}$$また、 ωが整数の 場合を除き、多価になります。ω = 1 / n (ある自然数nについて)の場合、これは上述のn乗根の非一意性を回復します。z > 0が実数（かつωが任意の複素数）の場合、好ましい選択肢があります。${\displaystyle \ln x}$実数対数であり、好ましい指数関数を定義するために使用できます。

複素数は、実数とは異なり、一般に修正されていないべき乗と対数の恒等式を満たしません。特に、単純に単値関数として扱う場合はそうです。べき乗と対数の恒等式の不成立を参照してください。たとえば、複素数は次の式を満たしません。 $${\displaystyle a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.}$$ ここで示されている複素指数関数の定義により、等式の両辺は多価関数であり、左辺の値は右辺の値の部分集合である。

実三角関数sinとcos、および双曲線関数sinhとcoshを定義する級数は、複素引数に対しても変更なく適用できます。tan などの他の三角関数や双曲線関数については、定義級数がすべての複素数値に対して収束しないため、やや複雑になります。したがって、正弦、余弦、指数関数を用いて定義するか、あるいは同等に解析接続法を用いる必要があります。

複素数の三角関数または双曲線関数の値は、角度加算公式を用いて、実数上で評価されたこれらの関数を用いて表すことができます。z = x + iyの場合、

$${\displaystyle \sin {z}=\sin {x}\cosh {y}+i\cos {x}\sinh {y}}$$

$${\displaystyle \cos {z}=\cos {x}\cosh {y}-i\sin {x}\sinh {y}}$$

$${\displaystyle \tan {z}={\frac {\tan {x}+i\tanh {y}}{1-i\tan {x}\tanh {y}}}}$$

$${\displaystyle \cot {z}=-{\frac {1+i\cot {x}\coth {y}}{\cot {x}-i\coth {y}}}}$$

$${\displaystyle \sinh {z}=\sinh {x}\cos {y}+i\cosh {x}\sin {y}}$$

$${\displaystyle \cosh {z}=\cosh {x}\cos {y}+i\sinh {x}\sin {y}}$$

$${\displaystyle \tanh {z}={\frac {\tanh {x}+i\tan {y}}{1+i\tanh {x}\tan {y}}}}$$

$${\displaystyle \coth {z}={\frac {1-i\coth {x}\cot {y}}{\coth {x}-i\cot {y}}}}$$

これらの式が明確に定義されていない場合、三角関数や双曲線関数が無限大になるか、ゼロ除算があるためですが、それでも極限としては正しいです。

関数${\displaystyle f:\mathbb {C} }$→${\displaystyle \mathbb {C} }$ある点で正則または複素微分可能であると呼ばれる。${\displaystyle z_{0}}$制限がある場合

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}$

存在する（その場合は、と表記される）${\displaystyle f'(z_{0})}$これは、実微分可能な関数の定義を模倣していますが、すべての量が複素数である点が異なります。大まかに言えば、アプローチの自由度は${\displaystyle z_{0}}$異なる方向では、（実数）微分可能であることよりもはるかに強い条件が課せられます。たとえば、関数

${\displaystyle f(z)={\overline {z}}}$

関数として微分可能である${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$だが、複素微分可能ではない。実微分可能な関数が複素微分可能であるのは、コーシー・リーマン方程式を満たす場合に限る。コーシー・リーマン方程式は、時に次のように略記される。

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0.}$

複素解析は、実解析では明らかにならないいくつかの特徴を示します。例えば、恒等定理は、2つの正則関数fとgが、任意の小さな開集合上で一致する場合に一致すると主張します。${\displaystyle \mathbb {C} }$メロモルフィック関数、つまり局所的にf ( z )/( z − z ₀ ) ⁿと正則関数fで書ける関数は、依然として正則関数の特徴の一部を共有しています。他の関数には、z = 0でのsin(1/ z )のような本質的な特異点があります。

前述のように、定数でない多項式方程式（複素係数）は、${\displaystyle \mathbb {C} }$当然のことながら、方程式の係数が有理数である場合も同様である。このような方程式の根は代数的数と呼ばれ、代数的数論における主要な研究対象である。${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$代数的閉包${\displaystyle \mathbb {Q} }$これにはすべての代数的数も含まれる。${\displaystyle \mathbb {C} }$幾何学的な観点から容易に理解できるという利点がある。このように、代数的手法を用いて幾何学的な問題を研究することができ、またその逆も可能である。代数的手法、より具体的には体論の仕組みを1の根を含む数体に適用することで、コンパスと定規のみを用いて正九角形を構成することは不可能であることが示される。これは純粋に幾何学的な問題である。

もう1つの例はガウス整数です。つまり、x + iyの形の数値で、xとyは整数であり、平方和を分類するために使用できます。

解析的整数論は、整数や有理数などの数を、解析的手法が適用可能な複素数とみなせるという事実を利用して研究します。これは、複素数値関数に数論的な情報を符号化することによって行われます。例えば、リーマンゼータ関数ζ( s )は素数の分布と関連しています。

応用分野では、複素数値関数を用いて、特定の実数値広義積分を計算するために複素数がしばしば用いられます。これを行うための方法はいくつか存在します。例えば、経路積分法を参照してください。

微分方程式では、線形微分方程式または方程式系の特性方程式のすべての複素根r を最初に求め、次にf ( t ) = e ^rtの形の基底関数を用いてシステムを解こうとするのが一般的です。同様に、差分方程式では、差分方程式系の特性方程式の複素根rを用いて、 f ( t ) = r ^tの形の基底関数を用いてシステムを解こうとします。

以来${\displaystyle \mathbb {C} }$代数的に閉じた複素正方行列は、空でない複素正方行列であれば、少なくとも１つの（複素）固有値を持つ。これに対し、実数行列は必ずしも実固有値を持つとは限らない。例えば、回転行列（0°または180°以外の角度で平面を回転させる場合）は方向を固定しないため、実固有値を持たない。複素固有値の存在、およびそれに伴う固有値分解の存在は、行列のべき乗や行列の指数を計算する上で有用なツールとなる。

複素数は、実数で最初に考えられた概念を一般化することがよくあります。たとえば、共役転置は転置を一般化し、エルミート行列は対称行列を一般化し、ユニタリ行列は直交行列を一般化します。

その分野${\displaystyle \mathbb {C} }$以下の3つの特性を持つ。

• まず、特性は0です。これは、任意の数の項（すべて1に等しい）に対して、1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0であることを意味します。
• 第二に、その超越度は${\displaystyle \mathbb {Q} }$、主要な分野${\displaystyle \mathbb {C} ,}$は連続体の濃度です。
• 第三に、代数的に閉じている（上記参照）。

これらの性質を持つ任意の体は、(体として) と同型であることが示せる。${\displaystyle \mathbb {C} .}$例えば、体の代数的閉包${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$p進数もこれら 3 つの性質を満たすので、これら 2 つの体は同型です (体としては同型ですが、位相体としては同型ではありません)。^{[ 76 ]}また、${\displaystyle \mathbb {C} }$は複素ピュイズー級数の体と同型である。ただし、同型を指定するには選択公理が必要である。この代数的特徴付けのもう1つの帰結は、${\displaystyle \mathbb {C} }$には、${\displaystyle \mathbb {C} }$。

前述の特徴付け${\displaystyle \mathbb {C} }$代数的な側面のみを記述する${\displaystyle \mathbb {C} .}$つまり、解析学や位相幾何学などの分野で重要な近接性や連続性といった性質は扱われていない。${\displaystyle \mathbb {C} }$位相体（つまり、収束の概念を可能にする位相を備えた体）は、位相的性質を考慮に入れています。${\displaystyle \mathbb {C} }$以下の3つの条件を満たす非ゼロ要素の部分集合P（すなわち正の実数の集合）を含む。

• Pは加算、乗算、および逆元を取る操作に関して閉じている。
• xとyがPの異なる要素である場合、x − yまたはy − xのいずれかがPに含まれる。
• S がPの任意の空でない部分集合である場合、S + P = x + Pとなるようなxが存在する。${\displaystyle \mathbb {C} .}$

さらに、${\displaystyle \mathbb {C} }$は、非自明な対合的自己同型x ↦ x * (すなわち複素共役)を持ち、任意の非ゼロxに対してx x *はPに含まれる。${\displaystyle \mathbb {C} .}$

これらの性質を持つ任意の体F は、集合B ( x , p ) = { y | p − ( y − x )( y − x )* ∈ P }を基底とすることで位相を与えることができる。ここで、x は体全体を動き、p はPを動く。この位相により、Fは位相体として同型である。${\displaystyle \mathbb {C} .}$

連結した 局所的にコンパクトな位相場は${\displaystyle \mathbb {R} }$そして${\displaystyle \mathbb {C} .}$これは、${\displaystyle \mathbb {C} }$位相場として、なぜなら${\displaystyle \mathbb {C} }$と区別できる${\displaystyle \mathbb {R} }$なぜなら、ゼロでない複素数は連結しているのに対し、ゼロでない実数は連結していないからである。^{[ 77 ]}

分野を拡張するプロセス${\displaystyle \mathbb {R} }$実際の${\displaystyle \mathbb {C} }$これはケイリー・ディクソン構成の一例です。この構成を反復的に適用すると、${\displaystyle \mathbb {C} }$すると、四元数、八元数、^{[ 78 ]}六元数、および三元二元数が得られます。この構成は、関係する数体系の構造的特性を低下させることがわかります。

現実とは異なり、${\displaystyle \mathbb {C} }$は順序体ではない。つまり、加算と乗算と両立する関係z ₁ < z ₂を定義することは不可能である。実際、任意の順序体では、任意の要素の二乗は必ず正となるため、i ² = −1はに順序が存在することを排除する。${\displaystyle \mathbb {C} .}$^{[ 79 ]}通過${\displaystyle \mathbb {C} }$四元数へ${\displaystyle \mathbb {H} }$可換性を失い、八元数は（可換性を持たないことに加えて）結合性も持たない。実数、複素数、四元数、八元数はすべて、上のノルム付き除算代数である。${\displaystyle \mathbb {R} }$ハーヴィッツの定理によれば、これらは唯一のものであり、ケイリー＝ディクソン構成の次の段階であるセデニオンはこの構造を持たない。

ケイリー・ディクソン構成は、${\displaystyle \mathbb {C} ,}$と考えられている${\displaystyle \mathbb {R} }$-代数（${\displaystyle \mathbb {R} }$基底(1, i )に関して、乗算を伴うベクトル空間) 。これは次のことを意味します。${\displaystyle \mathbb {R} }$-線形マップ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}}$$ ある固定された複素数wは、（基底が選択されれば） 2 × 2行列で表すことができます。基底(1, i )に関して、この行列は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}},}$$ つまり、上記の複素数の行列表現のセクションで言及されているものです。これは線形表現ですが、${\displaystyle \mathbb {C} }$2 × 2 実数行列では、それだけではありません。任意の行列 $${\displaystyle J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0}$$^{その二乗が} 単位行列の負の値になるという性質を持つ。J 2 = − I。すると $${\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}}$$ 体とも同型である${\displaystyle \mathbb {C} ,}$そして、別の複雑な構造を与える${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$これは、線形複素構造の概念によって一般化される。

超複素数も一般化する${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} ,}$そして${\displaystyle \mathbb {O} .}$例えば、この概念には、環の要素である分裂複素数が含まれます。${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}$（対照的に${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$（複素数の場合）。この環では、方程式a ² = 1には 4 つの解があります。

その分野${\displaystyle \mathbb {R} }$完成とは${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$通常の絶対値尺度に関して、有理数の領域。他の尺度の選択肢は${\displaystyle \mathbb {Q} }$畑へ導く${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$p進数（任意の素数pに対して）は、${\displaystyle \mathbb {R} }$他に非自明な完了方法はない${\displaystyle \mathbb {Q} }$よりも${\displaystyle \mathbb {R} }$そして${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$オストロフスキーの定理により、代数的閉包${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$の${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$依然として規範を担っているが、（${\displaystyle \mathbb {C} }$）はそれに関して完全ではありません。${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$の${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$代数的に閉じていることがわかります。類推すると、${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$これはp進複素数と呼ばれます。

畑${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$およびそれらの有限体拡張、${\displaystyle \mathbb {C} ,}$これらはローカルフィールドと呼ばれます。