通常の表現

数学、特に群の表現の理論において、群Gの正規表現は、並進によるGの群作用によって与えられる線型表現です。

左平行移動によって与えられる左正規表現λ と、右平行移動の逆によって与えられる 右正規表現ρ を区別します。

有限群 Gに対して、体 K上の左正規表現 λ は、 Kベクトル空間 V上のGの元によって自由に生成される線型表現である。つまり、 Gの元はVの基底と同一視できる。g  ∈  Gが与えられたとき、 λ _{g は}gによる左平行移動による基底への作用によって決定される線型写像である。つまり 、

${\displaystyle \lambda _{g}:h\mapsto gh,{\text{ for all }}h\in G.}$

右正規表現 ρ に対して、表現の公理を満たすためには反転が必ず起こる。具体的には、g  ∈  Gが与えられたとき、 ρ _{g は}、 g ⁻¹による右平行移動の基底への作用によって決定されるV上の線型写像である。すなわち 、

${\displaystyle \rho _{g}:h\mapsto hg^{-1},{\text{ for all }}h\in G.\ }$

あるいは、これらの表現は、すべての関数G → KのKベクトル空間W上で定義することもできます。この形式で、正規表現はリー群などの位相群に一般化されます。

Wに関する具体的な定義は以下の通りで ある 。関数f  : G → Kと要素g∈Gが与えられると、

${\displaystyle (\lambda _{g}f)(x)=f(\lambda _{g}^{-1}(x))=f({g}^{-1}x)}$

そして

${\displaystyle (\rho _{g}f)(x)=f(\rho _{g}^{-1}(x))=f(xg).}$

どの群G も、それ自身に平行移動によって作用する。この作用を置換表現と考えると、それは単一の軌道を持ち、安定化因子はGの恒等部分群 { e }であると特徴付けられる。与えられた体Kに対するGの正規表現は、この置換表現をK上のベクトル空間の基底ベクトルの集合としてとることで作成される線型表現である。重要なのは、置換表現は分解しない (推移的である) のに対し、正規表現は一般に小さな表現に分解されるということである。たとえば、Gが有限群でK が複素数体である場合、正規表現は既約表現の直和として分解され、各既約表現はその次元の重複度で分解に現れる。これらの既約表現の数は、 Gの共役類の数に等しい。

上記の事実は、特性理論によって説明できる。正規表現 χ (g)の特性は、正規表現Vに作用するgの不動点の数であることを思い出す。これは、 gがidでない場合、不動点の数 χ (g)は 0 であり、それ以外の場合は | G | であることを意味する。Vが分解 ⊕ a _i V _{i を}持つとしよう。ここで、V _iはGの既約表現であり、a _iは対応する重複度である。特性理論によって、重複度a _{i は}次のように計算できる。

${\displaystyle a_{i}=\langle \chi ,\chi _{i}\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum {\overline {\chi (g)}}\chi _ {i}(g)={\frac {1}{|G|}}\chi (1)\chi _{i}(1)=\operatorname {dim} V_{i},}$ つまり、各既約表現の多重度はその次元になります。

群環に関する記事では、有限群の正規表現を明確に説明するとともに、正規表現をモジュールとしてとらえる方法も示しています。

構築をより抽象的に言えば、群環 K [ G ] はそれ自身の加群として考えられます。(ここでは左作用と右作用の選択肢がありますが、表記以外では重要ではありません。) Gが有限で、 K の特性が | G |を割り切らない場合、これは半単純環であり、その左 (右)環イデアルを調べています。この理論は深く研究されてきました。特に、正規表現の直和分解には、K上のGの既約線型表現のすべての同型クラスの代表が含まれることが知られています。この場合、正規表現は表現論にとって包括的であると言えます。 Kの特性が| G | を割り切る加群の場合は、 K [ G ]が半単純でない場合、直和として分割せずに表現が既約にならない可能性があるため、主により困難です。

n位のgによって生成される巡回群 Cについて、K [ C ] に作用するK [ C ] の元の行列形式は、巡回行列と呼ばれる独特の形式をとります。巡回行列では、各行は、自然基底を参照する場合、上の行の右へのシフトです（巡回順序、つまり、最も右の要素が左側に現れます）。

¹、g、g2、...、gn ^{− 1}。

体Kが原始n乗根を含むとき、n × n巡回体すべてに対してn個の線形独立同時固有ベクトルを書き下すことでCの表現を対角化することができる。実際、ζがn乗根であれば、元

1 + ξ g + ξ ² g ² + ... + ξ ^{n −1} g ^{n −1}

はgの乗算による作用の固有ベクトルであり、固有値は

ζ ⁻¹

gのすべての累乗の固有ベクトルとそれらの線形結合も同様です。

この場合、これは、代数的に閉じた体 K (複素数など) 上で、 Gの正規表現は完全に約分可能であるという抽象的な結果の明示的な形式です。ただし、 Kの特性(素数pの場合) がGの位数を割り切れない場合に限ります。これはマシュケの定理と呼ばれます。この場合、特性の条件は原始 n乗根の存在によって暗示されますが、これは素特性pがn を割り切る場合には発生しません。

巡回行列式は19 世紀の数学で初めて登場し、その対角化の結果が描かれました。つまり、巡回行列式の行列式は、上記のn 個の固有ベクトルのn個の固有値の積です。群表現に関するフロベニウスの基本的な研究は、任意の有限Gの群行列式の類似の因数分解、つまり、 Gのgによって与えられた基底要素への乗算によって作用するK [ G ]の要素を表す任意の行列の行列式を見つけるという動機から始まりました。Gがアーベル行列でない限り、因数分解には、次数 > 1 のGの既約表現に対応する非線形因子が含まれていなければなりません。

位相群Gの場合、上記の意味での正則表現は、Gが平行移動によって作用する、G上の適切な関数空間に置き換えられるべきである。コンパクトなケースについては、ピーター・ワイルの定理を参照のこと。Gがリー群ではあるがコンパクトでもアーベルでもない場合は、これは調和解析の難しい問題である。局所的にコンパクトなアーベルの場合は、ポントリャーギン双対性理論の一部である。

ガロア理論では、体LとLの自己同型有限群Gに対して、 Gの固定体K は[ L : K ] = | G | となることが示されている。実際、さらに言えることは、L をK [ G ] 加群として見ると、正規表現となるということである。これが正規基底定理の内容であり、正規基底とは、 Gのgに対するg ( x )がK上のLのベクトル空間基底となるようなLの元xのことである。このようなx が存在し、それぞれがLからK [ G ]へのK [ G ] 同型を与える。代数的整数論の観点からは、正規整基底を研究することは興味深いことであり、そこではLとK を、それらが含む代数的整数の環で置き換えようとする。ガウス整数の場合には、そのような基底が存在しない可能性があることが既にわかります。a + biとa − bi は、 1 が整数の組み合わせになることはできないため、 Z [ i ]のZモジュール基底を形成することはできません。その理由は、ガロア モジュール理論で詳細に研究されています。

群環の正規表現は、左側と右側の正規表現が同型加群を与えるような表現である（多くの場合、場合分けは不要である）。体 A上の代数が与えられた場合、 A を自身の左側加群として、また右側加群としての関係について問うことは、直ちに意味をなさない。群の場合、逆元を取ることによって定義されるK [ G ]の基底元gへの写像は、 K [ G ] のその反対の環への同型を与える。A一般の場合、このような構造はフロベニウス代数と呼ばれる。名前が示すように、これらは19 世紀にフロベニウスによって導入された。これらは、コボルディズム仮説の特定の例によって、 1 + 1 次元の位相量子場理論と関連していることが示されている。

• 基本的な表現
• 順列表現
• 準正規表現

• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー(1991)。表現論。最初のコース。Graduate Texts in Mathematics 、 Readings in Mathematics。第 129 巻。ニューヨーク: Springer-Verlag。doi : 10.1007 /978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.