トリギンタデュオニオン

抽象代数学では、32-イオン、32-ニオン、25-^ニオンとも呼ばれるトリギンタデュオニオンは、実数上の32次元非可換かつ非結合代数を形成する。^[¹^]^[²^]

名前

トリギンタデュオニオンという単語は、ラテン語のtriginta「30」+ duo「2」+ 接尾辞-nionに由来し、これは超複素数系に使用されます。他の名前には、 32-ion、32-nion、2 ⁵ -ion、2 ⁵ -nionがあります。トリギンタデュオニオンは、パティオン( $\mathbb {P}$ ）^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}は、ロバート・PC・ド・マレーがカバラ（ユダヤ神秘主義）のテキスト『セフェル・イェツィラー』にある32の知恵の道に言及して名付けたものである。しかし、この用語は一般的に標準的な用語として受け入れられていない。

意味

すべてのトリギンタデュオニオンは、単位トリギンタデュオニオンの線形結合である。 $e_{0}$ 、 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ 、...、 $e_{31}$ これらは、トリギンタドゥオニオンのベクトル空間の基底を形成する。すべてのトリギンタドゥオニオンは、次の形式で表すことができる。

x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{30}e_{30}+x_{31}e_{31}

実数係数 $x i$ を持つ。

トリギンタデュオニオンは、セデニオンにケイリー・ディクソン構成を適用することによって得られます。^[⁵^]ケイリー・ディクソン構成をトリギンタデュオニオンに適用すると、 64-イオン、64-ニオン、セクサギンタクアトロニオン、またはセクサギンタクアトゥオルニオンと呼ばれる64次元代数が得られます。

その結果、トリギンタデュオニオンは次のように定義することもできる。^{[ 5 ]}

八元数上の 4 次元の代数 $\mathbb {O}$ :

\displaystyle \sum _{i=0}^{3}a_{i}\cdot e_{i}}

どこ

a_{i}\in \mathbb {O}

そして

e_{i}\notin \mathbb {O}

四元数上の次元8の代数 $\mathbb {H}$ :

\displaystyle \sum _{i=0}^{7}a_{i}\cdot e_{i}}

どこ

a_{i}\in \mathbb {H}

そして

e_{i}\notin \mathbb {H}

複素数上の16次元代数 $\mathbb {C}$ :

\displaystyle \sum _{i=0}^{15}a_{i}\cdot e_{i}}

どこ

a_{i}\in \mathbb {C}

そして

e_{i}\notin \mathbb {C}

実数上の32次元代数 $\mathbb {R}$ :

\displaystyle \sum _{i=0}^{31}a_{i}\cdot e_{i}}

どこ

a_{i}\in \mathbb {R}

そして

e_{i}\notin \mathbb {R}

$\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} ,\mathbb {S}$ はすべての部分集合です $\mathbb {T}$ この関係は次のように表現できます。

$\mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} \subset \mathbb {T} \subset \cdots$

乗算

不動産

八元数や十元数と同様に、三元二元数の乗法は可換でも結合法則も成り立ちません。しかし、ケイリー・ディクソン構成の積であるため、三元二元数は冪結合法則の性質を持ち、これは任意の元に対して次のように表すことができます。 $x$ の $\mathbb {T}$ パワー $x^{n}$ は明確に定義されています。また、柔軟性があり、乗法は加算に対して分配法則を満たします。^{[ 6 ]}セデニオンと同様に、トリギンタドゥオニオンにはゼロ因子が含まれているため、除算代数ではありません。セデニオンには 84 個のゼロ因子がありますが、^{[ 7 ]}トリギンタドゥオニオンには 147 個の異なる 3 つ組から派生した 1,260 個のゼロ因子があります。^{[ 8 ]}さらに、オクトンとは対照的に、どちらの代数も代替性という性質を持ちません。

幾何学的表現

八元数の単位乗算パターンはPG(2,2) （ファノ平面とも呼ばれる）で幾何学的に表現でき、六元数の単位乗算はPG(3,2)で表現できるのに対し、三元数と二元数の単位乗算はPG(4,2)で幾何学的に表現できる。

九九表

単位トリギンタデュオニオンの乗算は、以下の 2 つの表に示されています。これらを組み合わせると、1024 個のセルを持つ 32×32 の単一の表になります。^{[ 9 ]}^{[ 5 ]}

以下は、トリギンタドゥオニオンの乗算表です。 $e_{j},0\leq j\leq 15$ この表の上半分は、 $e_{i},0\leq i\leq 15$ は、セデニオンの乗算表に対応します。表の左上の象限は、 $e_{i},0\leq i\leq 7$ そして $e_{j},0\leq j\leq 7$ は、八元数の乗算表に対応します。

以下は、トリギンタドゥオニオンの乗算表です。 $e_{j},16\leq j\leq 31$ 。

トリプル

トリギンタデュオニオン乗算表には、155 個の区別された 3 つ (または 3 組) の虚数トリギンタデュオニオン単位があり、それらは以下にリストされています。比較すると、オクトンには 7 つのそのような 3 つがあり、セデニオンには 35 個、セクサギンタクアトロニオンには 651 個あります。^{[ 10 ]}

タイプ {α, α, β} の 45 個のトリプル: {3, 13, 14}、{3, 21, 22}、{3, 25, 26}、{5, 11, 14}、{5, 19, 22}、{5, 25, 28}、{6, 11, 13}、{6, 19, 21}、{6, 26, 28}、{7, 9, 14}、{7, 10, 13}、{7, 11, 12}、{7, 17, 22}、{7, 18, 21}、{7, 19, 20}、{7, 25, 30}、{7, 26, 29}、{7, 27, 28}、 {9、19、26}、 {9, 21, 28}, {10, 19, 25}, {10, 22, 28}, {11, 17, 26}, {11, 18, 25}, {11, 19, 24}, {11, 21, 30}, {11, 22, 29}, {11, 23, 28}, {12, 21, 25}, {12, 22, 26}, {13, 17, 28}, {13, 19, 30}, {13, 20, 25}, {13, 21, 24}, {13, 22, 27}, {13, 23, 26}, {14, 18, 28}, {14, 19, 29}, {14, 20, 26}, {14, 21, 27}, {14, 22, 24}, {14, 23, 25}, {15, 19, 28}, {15, 21, 26}, {15, 22, 25}
タイプ {β, β, β} の 20 個のトリプル: {3, 5, 6}、{3, 9, 10}、{3, 17, 18}、{3, 29, 30}、{5, 9, 12}、{5, 17, 20}、{5, 27, 30}、{6, 10, 12}、{6, 18, 20}、{6、27、29}、{9、17、24}、{9、23、30}、{10、18、24}、{10、23、29}、{12、20、24}、{12、23、27}、{15、17、30}、{15、18、 29}、{15、20、 27}, {15, 23, 24}
{β, β, β} 型の 15 個のトリプル: {3, 12, 15}、{3, 20, 23}、{3, 24, 27}、{5, 10, 15}、{5, 18, 23}、{5, 24, 29}、{6, 9, 15}、{6, 17, 23}、{6, 24, 30}、{9, 18, 27}、{9, 20, 29}、{10, 17, 27}、{10, 20, 30}、{12, 17, 29}、{12, 18, 30}
{α, β, γ} 型の 60 個のトリプル: {1, 6, 7}、{1, 10, 11}、{1, 12, 13}、{1, 14, 15}、{1, 18, 19}、{1, 20, 21}、{1, 22, 23}、{1, 24, 25}、{1, 26, 27}、{1, 28, 29}、{2, 5, 7}、{2, 9, 11}、{2, 12, 14}、{2, 13, 15}、{2, 17, 19}、{2, 20, 22}、{2, 21, 23}、{2, 24, 26}、{2, 25、27}、{2、 28, 30}, {3, 4, 7}, {3, 8, 11}, {3, 16, 19}, {3, 28, 31}, {4, 9, 13}, {4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {4, 17, 21}, {4, 18, 22}, {4, 19, 23}, {4, 24, 28}, {4, 25, 29}, {4, 26, 30}, {5, 8, 13}, {5, 16, 21}, {5, 26, 31}, {6, 8, 14}, {6, 16, 22}, {6, 25, 31}, {7, 8, 15}, {7, {16, 23}, {7, 24, 31}, {8, 17, 25}, {8, 18, 26}, {8, 19, 27}, {8, 20, 28}, {8, 21, 29}, {8, 22, 30}, {9, 16, 25}, {9, 22, 31}, {10, 16, 26}, {10, 21, 31}, {11, 16, 27}, {11, 20, 31}, {12, 16, 28}, {12, 19, 31}, {13, 16, 29}, {13, 18, 31}, {14, 16, 30}, {14, 17, 31}
タイプ {β, γ, γ} の 15 個のトリプル: {1, 2, 3}、{1, 4, 5}、{1, 8, 9}、{1, 16, 17}、{1, 30, 31}、{2, 4, 6}、{2, 8, 10}、{2, 16, 18}、{2, 29, 31}、 {4, 8, 12}、{4, 16, 20}、{4, 27, 31}、{8, 16, 24}、{8, 23, 31}、{15, 16, 31}

アプリケーション

トリギンタデュオニオンは量子物理学や現代物理学の他の分野に応用されている。^{[ 9 ]}最近では、トリギンタデュオニオンやその他の超複素数はニューラルネットワーク^{[ 11 ]}やデジタル信号処理^[³^]の研究にも使用されている。

参考文献

↑サイニ、カビタ。ラージ、クルディップ（2021）。「トリボナッチ・トリギンタデュオニオンの一般化について」。インドの純粋および応用数学ジャーナル。52 (2)。 Springer Science and Business Media LLC: 420–428 . doi : 10.1007/s13226-021-00067-y。ISSN 0019-5588。
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外部リンク

Hypercomplex Python 3 パッケージ

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乗算

不動産

幾何学的表現

九九表

トリプル

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