反転（数学）

数学において、逆関数（じこうげん、じこうげん）または自己逆関数^{[1]とは、それ自身の}逆関数である関数 fのことである。

f ( f ( x )) = x

fの定義域内のすべてのxに対して。^[2]同様に、fを2回適用すると元の値が生成されます。

あらゆる反転は一対一です。

恒等写像は反転の自明な例です。非自明な反転の例には、算術における否定（x ↦ − x）、逆数（x ↦ 1/ x）、複素共役（z ↦ z） 、幾何学における鏡映、半回転、円反転、集合論における補数、ROT13変換やボーフォート多アルファベット暗号などの逆数暗号などがあります。

2つの反転fとgの合成g∘fは 、それらが可換であるときのみ反転である： g∘f = f∘g 。 [ 3 ^]

n = 0, 1, 2, ...個の要素を持つ集合上の反転の数は、恒等反転を含めて、1800 年に ハインリッヒ・アウグスト・ローテによって発見された再帰関係によって与えられます。

${\displaystyle a_{0}=a_{1}=1}$そして​${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}$${\displaystyle n>1.}$

この数列の最初の項は1、1、2、4、10、26、76、232（OEISのA000085）である。これらの数は電話番号と呼ばれ、与えられた数のセルを持つヤングの盤の数も数える。[ 4 ]数a ⁿ は、_次のような非再帰式で表すこともできる 。$${\displaystyle a_{n}=\sum _{m=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }{\frac {n!}{2^{m}m!(n-2m)!}}.}$$

有限集合上の反転の不動点の数とその元の数は同じ偶奇性を持つ。したがって、与えられた有限集合上のすべての反転の不動点の数は同じ偶奇性を持つ。特に、奇数の元を持つ反転には少なくとも1つの不動点がある。これはフェルマーの2平方定理を証明するために使用できる。^[5]

反転のグラフ(実数上) は、直線 y = x に対して対称です。これは、任意の一般関数の逆関数が直線y = xに対するその反射となるためです。これは、 xとyを「入れ替える」ことで確認できます。特に、関数が反転である場合、そのグラフはそれ自身の反射となります。反転の基本的な例としては、関数 などがあります。 これらは、さまざまな方法で合成して追加の反転を生成することができます。たとえば、a =0かつb =1の場合、 は反転であり、より一般的には、関数 は、 bc ≠ −1を満たす定数bおよびc の反転です。 (これは、 a = − dであるメビウス変換の自己逆サブセットであり、 a = 1に正規化されます。) $${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}f_{1}(x)&=a-x,\\f_{2}(x)&={\frac {b}{x}},\\f_{3}(x)&={\frac {x}{cx-1}},\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}}}$$${\displaystyle g(x)={\frac {x+b}{cx-1}}}$$

他の非線形の例としては、任意の関数hとその逆関数で反転g をラップして、次のように生成することができます。 ${\displaystyle f:=h^{-1}\circ g\circ h}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}f(x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&g(x)&=1-x&h(x)&=x^{2},\\f(x)&=\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}\right)&g(x)&={\frac {x+1}{x-1}}&h(x)&=e^{x},\\f(x)&=\exp \left({\frac {1}{\ln x}}\right)&g(x)&={\frac {1}{x}}&h(x)&=\ln x,\\f(x)&={\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}&\qquad g(x)&={\frac {x}{x-1}}&\quad h(x)&=x^{2}.\end{alignedat}}}$$

その他の基本的な反転は関数方程式を解くのに役立ちます。

3 次元ユークリッド空間の反転の簡単な例は、平面を通した反射です。反射を 2 回実行すると、点は元の座標に戻ります。

もう一つの反転は、起点を通した反射です。これは上記の意味での反射ではなく、したがって明確な例です。

これらの変換は、アフィン反転の例です。

反転は周期2の射影性 、つまり点のペアを交換する射影性である。^{[6] : 24}

• 2 つの点を交換する射影性はすべて反転です。
• 完全な四角形の3組の対辺は、反転の3組において任意の直線（頂点を通らない）と交わる。この定理はデザルグの反転定理と呼ばれている。^{[7]その起源は、}アレクサンドリアのパップスのコレクション第7巻のユークリッドの多角形の補題の補題IVに見ることができる。^[8]
• 反転に不動点が1 つある場合、もう 1 つ不動点があり、これら 2 つの点に関する調和共役間の対応から構成されます。この場合、反転は「双曲型」と呼ばれますが、不動点がない場合は「楕円型」と呼ばれます。射影性の文脈では、不動点は二重点と呼ばれます。^{[6] : 53}

射影幾何学で発生するもう一つのタイプの反転は、周期2の相関である極性である。^[9]

線型代数において、反転とはベクトル空間上の線型作用素Tで、 T ² = Iとなるものである。特性 2 を除き、このような作用素は、対応する行列の対角成分に1と−1だけを持つ基底に対して対角化可能である。作用素が直交している場合（直交反転）、正規直交対角化可能である。

たとえば、ベクトル空間Vの基底が選択され、e ₁とe _{2 が}基底要素であるとします。e _1をe ₂に、e _2をe ₁に送る線形変換f が存在し、これは他のすべての基底ベクトル上の恒等変換です。 Vのすべてのxに対してf ( f ( x )) = x であることが確認できます。つまり、f はVの反転です。

特定の基底に対して、任意の線形演算子は行列 Tで表すことができます。すべての行列には、行と列を入れ替えることで得られる転置があります。この転置は、行列の集合上の反転です。要素ごとの複素共役は独立した反転であるため、共役転置またはエルミート随伴も反転です。

反転の定義は容易に加群に拡張されます。環R上の加群Mが与えられたとき、MのR自己準同型f は、 f ^{2 が}M上の恒等準同型である場合に反転と呼ばれます。

反転はべき等性と関連しています。2 が可逆である場合、それらは1 対 1 で 対応します。

関数解析において、バナッハ *-代数とC*-代数は、反転を持つバナッハ代数の特殊なタイプです。

四元数代数では、（反）反転は次の公理によって定義される。変換を考えるとき、反転とは ${\displaystyle x\mapsto f(x)}$

• ${\displaystyle f(f(x))=x}$（それはそれ自身の逆です）
• ${\displaystyle f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})}$そして（それは線形である）${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$
• ${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})}$

反反転は最後の公理に従わず、代わりに

• ${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{2})f(x_{1})}$

この前者の法則は、反分配法則と呼ばれることもあります。また、群では( xy ) ⁻¹ = ( y ) ⁻¹ ( x ) ⁻¹として現れます。公理としてとらえると、反転 を持つ半群の概念につながります。これには、転置を 反転とする正方行列の乗算 (つまり、完全な線形モノイド)など、群ではない自然な例があります。

環論では、反転という言葉は慣例的に、それ自身の逆関数である反準同型を意味すると解釈される。一般的な環における反転の例:

• 複素平面上の複素共役、およびそれと等価な分割複素数
• 行列リングで転置を取る。

群論では、群の元が2次のとき反転といいます。つまり、反転とは、a ≠ eかつa ² = eとなる元aのことです。ここでeは単位元です。^[10] もともと、この定義は上記の最初の定義と一致していました。群の元は常に集合からそれ自身への全単射であったためです。つまり、群は順列群を意味するとされていました。19世紀の終わりまでに、群はより広く定義され、それに応じて反転も広く定義されました。

順列は、互いに素な転置の有限積として表すことができる場合にのみ、反転になります。

群の反転は群の構造に大きな影響を与えます。反転の研究は有限単純群の分類に役立ちました。

群Gの元x は、反転tが存在し、 x ^t = x ⁻¹ (ただし x ^t = x ⁻¹ = t ⁻¹ ⋅ x ⋅ t )と なるとき、強実であるという。

コクセター群は、 Sの元のペアの冪の関係のみに従う反転の集合Sによって生成される群です。コクセター群は、とりわけ、可能な正多面体とそれらの高次元への一般化を記述するために使用できます。

ブール代数における補数の演算は反転です。したがって、古典論理における否定は二重否定の法則を満たします。¬¬ AはAと同等です。

一般に非古典的論理では、二重否定の法則を満たす否定は、反転的と呼ばれます。代数的意味論では、そのような否定は、真理値代数上の反転として実現されます。反転的否定を持つ論理の例としては、クリーネとボフバーの3 値論理、Łukasiewicz の多値論理、ファジー論理IMTL などがあります。反転的否定は、非反転的否定を持つ論理への追加接続子として追加されることがあります。これは、たとえばt ノルム ファジー論理でよく見られます。

否定の反転性は、論理および対応する代数多様体の重要な特徴付け特性です。たとえば、反転否定は、ヘイティング代数の中のブール代数を特徴付けます。同様に、古典的なブール論理は、直観主義論理に二重否定の法則を追加することによって生じます。同じ関係は、MV-代数とBL-代数の間（したがって、Łukasiewicz論理とファジー論理BLの間）、IMTLとMTL、およびその他の重要な代数多様体（それぞれ対応する論理）のペアにも当てはまります。

二項関係の研究では、すべての関係には逆関係があります。逆の逆は元の関係であるため、変換操作は関係のカテゴリの反転です。二項関係は包含によって順序付けられます。この順序は相補反転によって逆転しますが、変換によって保持されます。

1 つのパラメータに指定された値を使用した XOR ビット演算は、他のパラメータの反転です。場合によっては、XORマスクを使用 して画像にグラフィックを描画し、背景に 2 回描画すると背景が元の状態に戻ります。

これの 2 つの特殊なケース (これも反転) は、すべて 1 の値との XOR であるビット単位の NOT演算と、秘密キー ストリームとの XOR であるストリーム暗号暗号化です。

これはバイナリコンピュータよりも古いものです。実質的にすべての機械式暗号機は、入力された文字ごとに反転する相互暗号を実装しています。暗号化用と復号化用の2種類のマシンを設計する代わりに、すべてのマシンを同一にして、同じ方法で設定（キー設定）することができます。^[11]

コンピュータで使用されるもう 1 つの反転は、2 次ビット順列です。たとえば、( R、G、B )の形式で整数として保存されている色の値は、RとB を交換して、 ( B、G、R )の形式になります。f ( f (RGB)) = RGB、f ( f (BGR)) = BGR です。

• アトバシュ
• 自己同型性
• 冪等性
• ROT13

• Ell, Todd A.; Sangwine, Stephen J. (2007). 「四元数反転と反反転」. Computers & Mathematics with Applications . 53 (1): 137–143. arXiv : math/0506034 . doi :10.1016/j.camwa.2006.10.029. S2CID  45639619.
• クヌス、マックス・アルバート、メルクルジェフ、アレクサンダー、ロスト、マルクス、ティニョル、ジャン・ピエール（1998）、『反転の書』、コロキウム出版、第44巻、J.ティッツによる序文付き、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0904-0、ZBL  0955.16001
• 「反転」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

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