基本関数

数学において、初等関数とは、通常、初心者が出会う単一の変数（実数または複素数）の関数のことです。基本的な初等関数には、多項式関数、有理関数、三角関数、指数関数と対数関数、n乗根、逆三角関数、およびこれらの加算、乗算、除算、合成によって得られる関数が含まれます。初心者が出会う関数の中には、区分的に定義された関数のように、初等関数ではないものもあります。より一般的には、現代のいくつかの解説では、初等関数は、先に挙げた関数の集合、すべての代数関数、および係数が初等関数である多項式の根によって得られるすべての関数から構成されるとされています。

初等関数は、もともと1833年にジョセフ・リウヴィルによって定義されました。重要な性質は、すべての初等関数は任意の階数の導関数を持ち、それらもまた初等関数であり、微分規則（根の場合は陰関数微分規則）を適用することでアルゴリズム的に計算できるということです。初等関数のテイラー級数は、その定義域のすべての点の近傍で収束します。より一般的には、それらは大域的な解析関数であり、（初等関数のように、複数の値を持つ場合もあります）定義されます。${\displaystyle {\sqrt {z}}}$または${\displaystyle \log z}$）は、孤立点を除いて、すべての複素引数に対して成り立ちます。対照的に、初等関数の原始関数は必ずしも初等関数であるとは限らず、特定の初等関数が初等原始関数を持つかどうかを判断するのは困難です。

リウヴィルの結果は、初等関数が初等原始関数を持つ場合、その原始関数は対数の線形結合であり、対数の係数と引数は、ある意味で関数の定義に関係する初等関数であるというものである。リッシュアルゴリズム（1968）は、初等関数が初等原始関数を持つかどうかを判定し、持つ場合はそれを計算する。しかし、2025年現在完全な実装は行われていない。^{[ 1 ]}

微積分や前微積分のような基本的な実変数設定では、根、対数、逆三角関数を含む式は、指定された実領域上の固定された実枝を使用して解釈されることが多い。この慣習は、有限項における初等関数と積分の理論で使用される解析的慣習とは異なる。Risch は、実変数ではなく複素変数の関数を使用して、「解析の意味での」初等関数の正確な定義を与えている。この設定では、初等関数は代数演算、指数関数、対数を使用して構築され、複素平面の領域またはリーマン面上の有理型関数の微分体で表現される。^{[ 7 ]}

代数方程式の例 $$\displaystyle y^{2}=x^{2}}$$ ローカル分析ブランチがあります${\displaystyle y=x}$そして${\displaystyle y=-x}$本当の身元 $$\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=|x|}$$ 慣例を使用する${\displaystyle {\sqrt {\cdot }}}$は非負の実数平方根を表し、したがって で解析的分岐から別の解析的分岐に変わります。${\displaystyle x=0}$したがって、${\displaystyle |x|}$に${\displaystyle (0,\infty )}$そして${\displaystyle (-\infty ,0)}$は初歩的ですが、通常の実絶対値関数は、${\displaystyle 0}$単一の分析分野ではない。

複素解析においても同様の区別が見られる。ウィテカーとワトソンは、${\displaystyle x-iy}$そして${\displaystyle |z|}$、 どこ${\displaystyle z=x+iy}$は、${\displaystyle z}$一般的に言えば、それらは検討対象の解析型の初等関数ではない。^{[ 8 ]} 記号計算では、絶対値、符号、区分的に定義された関数などの関数は、ステップまたは条件演算を付加することによって処理することができ、これは区分的関数環の別のクラスを形成する。^{[ 9 ]}

定義から、基本関数の集合は算術演算、（代数的）根の抽出、および合成に関して閉じていることが直接的に導かれる。基本関数は微分に関して閉じている。極限と無限和に関しては閉じていない。重要なことに、基本関数は積分に関して閉じていない。これはリウヴィルの定理によって示されている（非基本積分を参照）。リウヴィル関数は、基本関数として定義され、再帰的にリウヴィル関数の積分として定義される。

19世紀後半の解析学では、基本関数は定義に必要な独立積分の数に応じて、しばしば連続的に種類分けされていた。積分なしで表現できる関数、すなわち有理関数から代数演算と指数関数、対数関数、円関数または双曲線関数によって生成される関数は、第1種の基本関数（リウヴィルの意味で）と呼ばれた。誤差関数や楕円積分のように、代数関数の1回の積分で定義される関数は、第2種の基本関数であり、その逆関数である楕円関数は同じ位数であると考えられた。より高次の「種類」（第3、第4など）は、代数関数の多重積分に対応し、超楕円関数やより一般的なアーベル関数を生み出す。^{[ 10 ]}

この分類の重要な点は、任意の種類の基本関数のクラスが、加算、乗算、合成、微分といった基本演算の下で閉じていることであり、微分は決して同じクラスの外には至らず、一方、積分は次のより高次の種類へと移行する可能性があるということである。

近年では、初等関数の集合を特定の超越関数で拡張し、例えばランベルトW関数^{[ 11 ]}や楕円関数[ ^{12 ]などを含めることを提案する研究者もいる。これらはすべて解析関数である。リウヴィルの定理の観点から重要な属性は、これらの関数がクラスとして微分操作に関して閉じているという}ことである。例えば、ランベルト関数は${\displaystyle w=W(z)}$これは、式によって暗黙的に定義される。${\displaystyle we^{w}=z}$⁠ 、 は陰関数微分によって得られる導関数を持つ。

${\displaystyle W'(z)={\frac {e^{-W(z)}}{1+W(z)}},}$

これはまた「初歩的」であるが、${\displaystyle W(z)}$は。

初等関数の数学的な定義は、微分代数において形式化される。微分体とは 、微分演算（代数的な微分）という追加の演算を持つ体のことである。微分演算を用いることで、新しい方程式を記述し、その解を代数の拡張に利用することができる。有理関数の体から出発して、2種類の特別な超越関数拡張（対数関数と指数関数）を体に追加することで、初等関数を含む塔を構築することができる。

微分場​${\displaystyle F}$は、導出 を伴うフィールドです。${\displaystyle u\mapsto \partial u}$⁠地図​${\displaystyle F}$自身への導出 。導出は、線形である導関数を一般化します（つまり、${\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v}$⁠ ) およびライプニッツ積の法則を満たす（つまり、${\displaystyle \partial (u\cdot v)=\partial u\cdot v+u\cdot \partial v}$⁠ ) 2 つの要素ごとに⁠${\displaystyle u}$そして​​${\displaystyle v}$⁠で⁠${\displaystyle F}$⁠ .上の有理関数⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$の​​${\displaystyle \mathbb {C} }$通常の微分を用いると、微分場の基本的な例を形成する。

要素​${\displaystyle h}$の​​${\displaystyle F}$は定数です。${\displaystyle \partial h=0}$⁠ . の定数⁠${\displaystyle F}$微分がゼロの微分場を形成する。微分場の微分場拡張は定数場を拡大する可能性があるため、注意が必要である。

関数⁠${\displaystyle u}$微分拡張の${\displaystyle G}$微分場の${\displaystyle F}$は上の基本関数です${\displaystyle F}$⁠それが微分部分体の有限連鎖（包含関係）に属する場合、 ⁠${\displaystyle G}$⁠それはから始まる⁠${\displaystyle F}$⁠そして、それぞれが前のものの上に、以下のいずれかの関数によって生成される。

• 前の体上の代数的、または
• 指数関数、つまり、${\displaystyle \partial u=u\partial a}$⁠前のサブフィールドに属するもの、
• 対数、つまり、${\displaystyle \partial u=\partial a/a}$⁠前の部分体に属する一部のaについては、（リウヴィルの定理を参照）

この定義によれば、通常の初等関数とは、有理関数の体上で初等関数となる関数に他ならない。この一般化された定義により、リウヴィルの定理を適用する際には、すべての超越関数を初等関数とみなすことができる。

• 代数関数
• 閉形式表現– 与えられた一連の演算を含む数式 
• 微分ガロア理論
• 初等関数算術– 証明論における算術体系 
• リウヴィルの定理（微分代数）– 初等関数による積分の判定基準 
• リチャードソンの定理：あるクラスの初等関数から構成される実数の不等式の決定不能性
• タルスキーの高校代数学の問題
• 超越関数– 多項式方程式を満たさない解析関数 

• フォーサイス、アンドリュー（1893）。複素変数関数の理論。ケンブリッジ。JFM 25.0652.01。 
• ジョセフ・リウヴィル（1833a）。「第一の記憶は、代数的価値を持たない統合的決定法である」。エコールポリテクニックジャーナル。第 14 巻: 124 – 148。
• ジョセフ・リウヴィル（1833b）。「第 2 回目の記憶は、代数的価値を持たない統合的決定法」。エコールポリテクニックジャーナル。第 14 巻: 149 – 193。
• ジョセフ・リウヴィル（1833c）。「論理的価値を考慮しないでください。 」数学に関するジャーナル。10 : 347–359 .
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• 数学百科事典における初等関数
• ワイススタイン、エリック・W. 「初等関数」 . MathWorld .