二次代数

数学において、二次代数は、定義関係が次数 2 である、次数 1 の元によって生成されるフィルターされた代数です。ユーリ・マニンは、このような代数が量子群の理論で重要な役割を果たすことを指摘しました。次数付き二次代数の最も重要なクラスは、コシュル代数です。

次数付き二次代数Aは、生成元ベクトル 空間V = A ₁と同次二次関係の部分空間S ⊂ V ⊗ Vによって決定される。^[1]したがって

${\displaystyle A=T(V)/\langle S\rangle }$

そしてテンソル代数 T ( V )からその次数を継承します。

関係の部分空間に不同次2元、つまりS⊂k⊕V⊕(V⊗V)も含まれるようにすると、この構成によりフィルタされた二次代数が得られます。

上記の次数付き二次代数Aは二次双対、すなわちV ^{*によって生成され、} V ^* ⊗ V ^*におけるSの直交補集合を形成する二次関係を持つ二次代数を許容します。

• 有限次元ベクトル空間のテンソル代数、対称代数、外積代数は、次数付き二次（実際は Koszul）代数です。
• 有限次元リー代数の普遍包絡代数は、フィルタされた二次代数です。
• 二次形式を備えた有限次元ベクトル空間のクリフォード代数は、フィルターされた二次代数です。
• 有限次元シンプレクティックベクトル空間のワイル代数は、フィルターされた二次代数です。

• マゾルチュク、ヴォロディミール。セルジュ・オブシエンコ。Stroppel、Catharina (2009)、「二次双対、コズル双対ファンクター、およびアプリケーション」、Trans。アメル。数学。社会、361 (3): 1129–1172、arXiv : math.RT/0603475、doi :10.1090/S0002-9947-08-04539-X