BIBO安定性

連続時間線形時不変（LTI）システムの場合、BIBO安定性の条件は、インパルス応答、${\displaystyle h(t)}$絶対積分可能であること、すなわち、そのL1ノルム^が存在すること。

$\left|h(t)\right|t=\|h\|_1\in \mathbb{R}$

離散時間LTIシステムの場合、BIBO安定性の条件は、インパルス応答が絶対的に総和可能であること、つまりその$\displaystyle \ell ^{1}}$規範が存在する。

${\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

有理連続時間システムの場合、安定性の条件は、ラプラス変換の収束領域（ROC）が虚軸を含むことです。システムが因果的である場合、ROCは、システム内のどの極よりも実部が最大となる極の実部を横軸とする垂直線の右側の開いた領域です。ROCを定義する最大極の実部は、収束の横軸と呼ばれます。したがって、BIBO安定性のためには、システムのすべての極がs平面の厳密な左半分になければなりません。

この安定性条件は、上記の時間領域条件から次のように導出できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,dt&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)e^{-st}\right|\,dt\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$そして${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=\sigma =0.}$

したがって、収束領域には虚軸が含まれなければならない。

有理離散時間システムの場合、安定性の条件は、z変換の収束領域（ROC）が単位円を含むことです。システムが因果的である場合、ROCは、半径が最大極の大きさである円の外側の開いた領域になります。したがって、 BIBO安定性のためには、システムのすべての極がz平面上の単位円の内側にある必要があります。

この安定性条件は、連続時間の場合と同様の方法で導出できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]z^{-n}\right|\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle z=re^{j\omega }}$そして${\displaystyle r=|z|=1}$。

したがって、収束領域には単位円が含まれなければならない。