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幾何学において、平面上のデカルト座標系（英国: / kɑːrˈtiːzjən /、米国: / kɑːrˈtiːʒən / ）は、座標と呼ばれる実数のペアによって各点を一意に指定する座標系です。座標とは、座標線、座標軸、または単に軸（軸の複数形）と呼ばれる、固定された垂直な方向を持つ2本の線からその点までの符号付き距離です。軸が交わる点は原点と呼ばれ、座標は（0、0）です。軸の方向は直交基底を表します。原点と基底の組み合わせは、デカルト座標系と呼ばれる座標フレームを形成します。
同様に、 3次元空間内の任意の点の位置は、3つの直交座標によって指定できます。これらの座標は、点から互いに直交する3つの平面までの符号付き距離です。より一般的には、n個の直交座標は、任意の次元nに対してn次元ユークリッド空間内の点を指定します。これらの座標は、点から互いに直交するn個の固定超平面までの符号付き距離です。
デカルト座標は、17世紀にこの座標を発明し、幾何学の問題を代数と微積分で表現することを可能にし、数学に革命をもたらしたルネ・デカルトにちなんで名付けられました。デカルト座標系を使用すると、幾何学的形状（曲線など）を、その形状の点の座標を含む方程式で記述できます。たとえば、平面の原点を中心とする半径2の円は、座標xとyが方程式x² + y² = 4を満たすすべての点の集合として記述できます。任意の点の面積、周長、接線は、積分と微分を使用してこの方程式から計算でき、これは任意の曲線に適用できます。
デカルト座標は解析幾何学の基礎であり、線形代数、複素解析、微分幾何学、多変数微積分、群論など、他の多くの数学分野に示唆に富む幾何学的解釈を提供します。よく知られた例としては、関数のグラフの概念が挙げられます。デカルト座標は、天文学、物理学、工学など、幾何学を扱うほとんどの応用分野においても不可欠なツールです。コンピュータグラフィックス、コンピュータ支援幾何設計、その他の幾何学関連データ処理において、最も一般的な座標系として使用されています。
デカルト座標系という形容詞は、1637年にオランダ滞在中にこの考えを発表したフランスの数学者で哲学者のルネ・デカルトに由来する。この考えは、同じく3次元で研究を行ったピエール・ド・フェルマーによって独自に発見されたが、フェルマー自身はこの発見を発表しなかった。[ 1 ]フランスの聖職者ニコール・オレームは、デカルトやフェルマーよりもずっと前に、デカルト座標系に似た構成を使用していた。[ 2 ]
デカルトとフェルマーはどちらも、その研究において単一の軸を用い、この軸を基準として長さを可変としている。[ 3 ]一対の軸を用いるという概念は、 1649年にフランス・ファン・スホーテンとその弟子たちがデカルトの『幾何学』をラテン語に翻訳した後に導入された。これらの注釈者たちは、デカルトの著作に含まれる考えを明確にしようと試みる中で、いくつかの概念を導入した。[ 4 ]
デカルト座標系の発展は、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによる微積分学の発展において根本的な役割を果たした。[ 5 ]平面の2座標による記述は、後にベクトル空間の概念へと一般化された。[ 6 ]
選択された直交座標系を持つアフィン直線は数直線と呼ばれます。数直線上のすべての点は実数座標を持ち、すべての実数は数直線上のいずれかの点を表します。
直線のデカルト座標系を選択する自由度は2 つあり、直線に沿って 2 つの異なる点を選択し、それらを 2 つの異なる実数(最も一般的なのは 0 と 1) に割り当てることで指定できます。他の点は、線形補間によって一意に数値を割り当てることができます。同様に、1 つの点を特定の実数 (たとえば、0 に対応する原点) に割り当て、直線に沿った方向付きの長さを単位として選択できます。方向は、直線に沿った方向と正または負の数との対応関係を示します。[ a ]各点は、原点からの符号付き距離 (距離に等しい絶対値と、方向に基づいて選択された+または− の符号を持つ数値) に対応します。
直線の幾何学的変換は、実変数の関数で表すことができ、例えば、直線の平行移動は加算に対応し、直線の拡大縮小は乗算に対応します。直線上の任意の2つのデカルト座標系は、線形関数（次の形式の関数）によって互いに関連付けられます。）ある座標系における特定の点の座標を、別の座標系におけるその点の座標に変換する。2つの異なる直線それぞれに座標系を選択することで、一方の直線上の各点を、もう一方の直線上の同じ座標を持つ点に変換するアフィン写像が確立される。
2 次元のデカルト座標系 (直交座標系またはデカルト直交座標系とも呼ばれる[ 7 ] ) は、互いに垂直な一対の直線 (軸)、両軸の長さの単位が1 、および各軸の向きによって定義されます。軸が交わる点が両方の原点とみなされ、各軸が数直線になります。任意の点Pに対して、 P を通って各軸に垂直な直線が引かれ、その直線が軸と交わる位置が数値として解釈されます。選択された順序で得られた 2 つの数値が、Pのデカルト座標です。逆の構成により、座標が与えられた場合に点Pを特定できます。
最初の座標と2番目の座標は、それぞれ点Pの横座標と縦座標と呼ばれ、軸が交わる点は座標系の原点と呼ばれます。座標は通常、(3, −10.5)のように、括弧で囲まれた2つの数値をこの順序でコンマで区切って記述します。したがって、原点の座標は(0, 0)であり、原点から1単位離れた正の半軸上の点の座標は(1, 0)と(0, 1)です。
数学、物理学、工学では、通常、第1軸は水平で右向き、第2軸は垂直で上向きとして定義または図示されます。（ただし、コンピュータグラフィックスの文脈では、縦軸が下向きになる場合もあります。）原点はしばしばOと表記され、2つの座標はしばしば文字XとY、またはxとyで表されます。これらの軸は、 X軸とY軸と呼ばれることもあります。文字の選択は、アルファベットの後半部分を使用して未知の値を示すという元の慣習に由来しています。アルファベットの前半部分は、既知の値を示すために使用されていました。
選択されたデカルト座標系を持つユークリッド平面は、デカルト座標平面。デカルト座標平面では、単位円（半径が長さ単位に等しく、中心が原点）、単位正方形（対角線の端点が（0, 0）と（1, 1））、単位双曲線を定義できます。
2つの軸は平面を4つの直角に分割し、これらを象限と呼びます。象限にはさまざまな名前や番号が付けられますが、すべての座標が正の値をとる象限は通常、第1象限と呼ばれます。
点の座標が( x , y )の場合、X軸からの距離とY軸からの距離はそれぞれ| y |と| x |です。ここで、| · | は数値の絶対値を表します。
3次元空間のデカルト座標系は、共通の点（原点）を通り、互いに直交する3本の直線（軸）の順序、各軸の向き、および3つの軸すべてに共通する長さの単位から構成されます。2次元の場合と同様に、各軸は数直線になります。空間内の任意の点Pについて、 Pを通り各座標軸に垂直な平面を考え、その平面が軸と交わる点を数値として解釈します。Pのデカルト座標は、選択された順序で並べられた3つの数値です。逆の構成により、3つの座標が与えられた場合、点Pを特定できます。
あるいは、点Pの各座標は、点Pから他の2つの軸によって定義される平面までの距離として表すことができ、その符号は対応する軸の向きによって決定される。
各座標軸のペアは座標平面を定義します。これらの平面は空間を8つの八分円に分割します。八分円は次のとおりです。
座標は通常、括弧で囲まれ、コンマで区切られた 3 つの数値 (または代数式) として記述されます。例: (3, −2.5, 1)または( t , u + v , π /2)。したがって、原点の座標は(0, 0, 0)であり、3 つの軸上の単位点は(1, 0, 0)、(0, 1, 0)、および(0, 0, 1)です。
3 つの軸の座標の標準的な名称は、横座標、縦座標、適用座標です。[ 8 ]座標は、文字x、y、zで表されることがよくあります。軸は、それぞれx軸、y軸、z軸と呼ばれます。座標平面は、xy平面、yz平面、xz平面と呼ばれます。
数学、物理学、工学の分野では、最初の2つの軸は水平に定義または図示され、3番目の軸は上向きに定義または図示されることがよくあります。この場合、3番目の座標は高さまたは高度と呼ばれることがあります。通常、軸の向きは、点(0, 0, 1)から見たときに、最初の軸から2番目の軸までの90度の角度が反時計回りに見えるように選択されます。これは一般的に右手の法則と呼ばれる慣例です。
デカルト座標は一意で曖昧さがないため、デカルト平面上の点は実数のペア、すなわちデカルト積で表すことができます。、 どこはすべての実数の集合です。同様に、 n次元の任意のユークリッド空間の点は、n個の実数のタプル（リスト）と同一視できます。つまり、デカルト積と同一視できます。。
デカルト座標の概念は、互いに直交しない軸や、各軸に沿って異なる単位を持つ軸を許容するように一般化されます。この場合、各座標は、点を一方の軸に、もう一方の軸に平行な方向（または一般に、他のすべての軸によって定義される超平面）に沿って投影することによって得られます。このような斜交座標系では、距離と角度の計算は標準的なデカルト座標系とは異なる方法で行う必要があり、多くの標準的な公式（例えば、距離のピタゴラスの定理）は成り立ちません（アフィン平面を参照）。
点のデカルト座標は通常、括弧で囲み、コンマで区切って表記されます。例えば、(10, 5)や(3, 5, 7)のようにです。原点は大文字のOで表されることが多いです。解析幾何学では、未知または一般的な座標は、平面では文字 ( x , y )、3 次元空間では文字 ( x , y , z ) で表されることがよくあります。この慣習は代数学の慣例に由来しており、代数学では未知の値 (多くの幾何学問題における点の座標など) にはアルファベットの末尾に近い文字を、既知の量にはアルファベットの先頭に近い文字を使用します。
これらの慣用的な名称は、物理学や工学などの他の分野でもよく使われますが、他の文字が使われる場合もあります。例えば、圧力が時間とともにどのように変化するかを示すグラフでは、グラフの座標はpとtで表されることがあります。各軸は通常、その軸に沿って測定される座標にちなんで名付けられます。つまり、x 軸、y 軸、t 軸などと呼ばれます。
座標の命名規則としてよく用いられるもう一つの方法は、添え字を用いることです。例えば、n次元空間におけるn個の座標は、( x 1 , x 2 , ..., x n ) のように表されます。特にnが3より大きい場合や、nが指定されていない場合によく用いられます。中には、( x 0 , x 1 , ..., x n −1 ) という番号付けを好む著者もいます。これらの表記法は、コンピュータプログラミングにおいて特に有利です。点の座標をレコードではなく配列として格納することで、添え字を座標のインデックスとして利用できるからです。
2次元直交座標系の数学的な図解では、最初の座標（伝統的に横座標と呼ばれる）は、左から右に向かう水平軸に沿って測定されます。次に、2番目の座標（縦座標）は、通常、下から上に向かう垂直軸に沿って測定されます。直交座標系を学ぶ幼い子供たちは、 x軸、y軸、z軸の概念を定着させる前に、2Dの記憶術（例えば、「廊下を歩いてから階段を上る」は、x軸に沿ってまっすぐ進み、 y軸に沿って垂直に上がるのに相当）から始めて、値を読み取る順序を学ぶのが一般的です。
しかし、コンピュータグラフィックスや画像処理では、コンピュータのディスプレイ上でy軸が下向きになる座標系がよく用いられます。この慣習は、1960年代（あるいはそれ以前）に、画像がディスプレイバッファに格納されていた方法から発展したものです。
3次元システムの場合、慣例として、xy平面を水平に描き、z軸を追加して高さ（上を正とする）を表します。さらに、 x軸は右または左のいずれかに偏らせて、見る人の方向に向けて配置します。図（3D投影図または2D透視図）でx軸とy軸がそれぞれ水平方向と垂直方向に示されている場合、z軸は見る人またはカメラに向かって「ページの手前」に向ける必要があります。このような3D座標系の2D図では、z軸は、想定される見る人またはカメラの視点に応じて、左下方向または右下方向を指す線または光線として表示されます。どのような図や表示においても、3つの軸全体の向きは任意です。ただし、軸同士の向きは、特に明記されていない限り、常に右手の法則に従う必要があります。物理学と数学のすべての法則は、この右手系を前提としており、一貫性を保証しています。
3D図では、 xとyに対してそれぞれ「abscissa」と「ordinate」という名称が使われることはまれです。使われる場合、z座標は「 applicate」と呼ばれることがあります。abscissa 、ordinate、applicateという言葉は、座標値ではなく座標軸を指すために使用されることがあります。[ 7 ]
2 次元直交座標系の軸は、平面を 4 つの無限領域 (象限と呼ばれる) に分割します。[ 7 ]それぞれは2 つの半軸で区切られています。これらは通常、第 1 から第 4 まで番号が付けられ、ローマ数字で表されます。I (座標の両方が正の符号を持つ場合)、II (横座標が負 (−)、縦座標が正 (+) の場合)、III (横座標と縦座標の両方が − の場合)、IV (横座標が +、縦座標が −)。軸が数学の慣習に従って描かれている場合、番号は右上 (「北東」) 象限から反時計回りに進みます。
同様に、3 次元デカルト座標系では、点の座標の符号に従って空間を 8 つの領域または八分円に分割します [ 7 ]。特定の八分円に名前を付けるために使用される慣例は、その符号を列挙することです。たとえば、( + + + )または( − + −)です。四分円と八分円を任意の数の次元に一般化したものが直交座標であり、同様の命名システムが適用されます。
デカルト座標系における平面上の2点間のユークリッド距離そしては
これはピタゴラスの定理のデカルト版です。3次元空間では、点と点の間の距離はそしては
これは、ピタゴラスの定理を2回連続して適用することで得られる。[ 9 ]
ユークリッド変換またはユークリッド運動とは、ユークリッド平面上の点から点自身への（全単射）写像であり、点間の距離を保存するものである。これらの写像（等長変換とも呼ばれる）には、平行移動、回転、鏡映、すべり鏡映の4種類がある。[ 10 ]
平面上の点の集合を、それらの間の距離と方向を維持したまま平行移動することは、集合内のすべての点のデカルト座標に固定の2つの数値( a , b )を加えることと同等です。つまり、点の元の座標が( x , y )の場合、平行移動後は次のようになります。
図形を原点を中心に反時計回りに角度だけ回転させるこれは、座標 ( x , y ) を持つすべての点を座標 ( x ' , y ' )を持つ点に置き換えることと同等である。
したがって：
点( x , y )をデカルト座標とすると、 (− x , y )はその点を第 2 の座標軸 (y 軸) に関して鏡に映した座標です。同様に、 ( x , −y )はその点を第 1 の座標軸 (x 軸) に関して鏡に映した座標です。より一般的には、原点を通る角度をなす直線に関して鏡に映すと、x軸に関して、座標( x , y )を持つすべての点を座標( x ′, y ′)を持つ点に置き換えることと同等である。
したがって：
すべり反射とは、直線に関する反射と、その直線の方向への平行移動を組み合わせたものです。これらの操作の順序は関係ありません（平行移動を先に行い、その後に反射を行っても構いません）。
平面上のすべてのアフィン変換は、行列を使用して統一的に記述できます。この目的のために、座標は点の は一般的に列行列として表されます結果点にアフィン変換を適用する式で与えられる どこ は 2×2行列で、は列行列である。[ 11 ]つまり、
アフィン変換の中で、ユークリッド変換は行列がは直交している。つまり、その列はユークリッドノルム1 の直交ベクトルである。具体的には、 そして
これは、行列Aとその転置行列の積が単位行列であることと同値です。これらの条件が満たされない場合、この式はより一般的なアフィン変換を表します。
変換が平行移動であるのは、 A が単位行列である場合に限ります 。変換が何らかの点を中心とした回転であるのは、 A が回転行列である場合に限ります。つまり、A は直交行列であり、
反射またはすべり反射は、次の場合に得られます。
翻訳が使用されていないと仮定すると、変換は、関連する変換行列を単純に乗算することで構成できます。一般的には、変換の拡大行列を使用するのが便利です。つまり、変換式を書き換えます。 どこ この手法を用いると、拡大行列を乗算することでアフィン変換の合成が得られる。
ユークリッド平面のアフィン変換は、直線を直線に写像する変換ですが、距離や角度が変化する場合があります。前のセクションで述べたように、これらは拡大行列で表現できます。
ユークリッド変換は、2×2行列の直交している。
2つのアフィン変換の合成を表す拡大行列は、それぞれの拡大行列を乗算することによって得られる。
ユークリッド変換ではないアフィン変換の中には、特定の名称が付けられているものもある。
ユークリッド変換ではないアフィン変換の例として、拡大縮小があります。図形を大きくしたり小さくしたりすることは、すべての点のデカルト座標に同じ正の数mを掛けることと同じです。 ( x , y )が元の図形上の点の座標である場合、拡大縮小された図形上の対応する点の座標は次のようになります。
mが1より大きい場合、図は大きくなります。mが0から1の間である場合、図は小さくなります。
せん断変換は、正方形の上部を横方向に押し出して平行四辺形を形成します。水平せん断は次のように定義されます。
せん断は垂直方向にも適用できる。
x軸を固定または選択することで、y軸の方向が決まります。つまり、y軸は必ずx軸上の点0を通るx軸への垂線となります。しかし、垂線上の2つの半直線のうち、どちらを正、どちらを負とするかを選択できます。この2つの選択によって、デカルト座標系の向き（左右対称性）が異なります。
平面の向きを決める一般的な方法は、正のx軸が右を向き、正のy軸が上を向くようにする（x軸を「第一」軸、y軸を「第二」軸とする）もので、これを正の向き、または標準的な向き、あるいは右手系向きと呼んでいます。
正の方向を定義する際によく使われる覚え方として、右手の法則があります。親指を上に向けてやや閉じた右手を平面上に置くと、指はx軸からy軸に向かって伸び、これが正の方向の座標系となります。
平面の向きを決めるもう一つの方法は、左手の法則に従うことです。つまり、左手を平面に置き、親指を上に向けてください。
親指を原点から軸に沿って正の方向に向けると、指の湾曲はその軸に沿った正の回転を示す。
平面の向きを決める際にどのような規則を用いたとしても、座標系を回転させると向きは維持されます。いずれかの軸を入れ替えると向きが反転しますが、両方の軸を入れ替えても向きは変わりません。
x軸とy軸が指定されると、 z軸が沿うべき線が決定されますが、この線には2つの可能な向きがあります。結果として得られる2つの可能な座標系は、「右手系」と「左手系」と呼ばれます。[ 12 ] xy平面が水平でz軸が上を向いている（xy平面の上から見た場合、x軸とy軸はxy平面内で正の向きの2次元座標系を形成する）標準的な向きは、右手系または正と呼ばれます。
この名称は右手の法則に由来する。右手の人差し指を前方に向け、中指を人差し指に対して直角に曲げ、親指を人差し指と中指の両方に対して直角にすると、この3本の指が右手系におけるx軸、y軸、z軸の相対的な向きを示す。親指はx軸、人差し指はy軸、中指はz軸を表す。逆に、左手で同じことを行うと、左手系となる。
図7は、左手座標系と右手座標系を示しています。3次元オブジェクトが2次元スクリーン上に表示されるため、歪みと曖昧さが生じます。下向き（かつ右向き）の軸は観察者の方向を指し、一方「中央」の軸は観察者から遠ざかる方向を指します。赤い円は水平なxy平面に平行で、 x軸からy軸への回転を示しています（どちらの場合も）。したがって、赤い矢印はz軸の手前を通過します。
図8は、右手座標系を表現しようとした別の試みです。ここでも、3次元座標系を平面に投影することによって生じる曖昧さが存在します。多くの観察者は、図8が凸状の立方体と凹状の「角」の間を「行ったり来たり」しているように見えます。これは、空間の2つの可能な向きに対応しています。図を凸状と見なすと、左手座標系になります。したがって、図8を「正しく」見るには、x軸が観察者の方を向いていると想像し、凹状の角を見る必要があります。
デカルト座標系における空間上の点は、座標系の原点からその点に向かう矢印と考えることができる位置ベクトルによっても表すことができます。 [ 13 ]座標が空間的な位置（変位）を表す場合、原点から対象点へのベクトルは次のように表されるのが一般的です。2次元空間において、原点から直交座標(x, y)を持つ点へのベクトルは次のように表すことができます。
どこそしてはそれぞれx軸とy軸の方向の単位ベクトルであり、一般に標準基底と呼ばれます(一部の応用分野では、これらはversorとも呼ばれます)。同様に、3 次元では、デカルト座標を持つ点への原点からのベクトルは、次のように書くことができます: [ 14 ]
どこそして
ベクトルを乗算して別のベクトルを得るという、すべての次元で機能する自然な解釈はありませんが、複素数を使用してそのような乗算を実現する方法があります。2 次元デカルト平面では、座標( x、y )の点を複素数z = x + iyと同一視します。ここで、iは虚数単位であり、座標(0, 1)の点と同一視されるため、x軸の方向の単位ベクトルではありません。複素数は乗算して別の複素数を得ることができるため、この同一視はベクトルを「乗算」する手段を提供します。3 次元デカルト空間では、同様の同一視を四元数のサブセットを使用して行うことができます。
