分析信号

以来${\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$負の周波数成分を復元するには、単純に${\displaystyle \operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$これは直感に反するように思えるかもしれない。複素共役${\displaystyle s_{\mathrm {a} }^{*}(t)}$負の周波数成分のみで構成される。したがって${\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]}$抑制された正の周波数成分を復元します。別の見方としては、どちらの場合も虚数成分は周波数成分を差し引く項です。${\displaystyle s(t).}$の${\displaystyle \operatorname {Re} }$演算子は減算を取り除き、新しい要素を追加しているように見せかけます。

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t),}$ どこ ${\displaystyle \omega >0.}$

それから：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin(\omega t),\\s_{\mathrm {a} }(t)&=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.\end{aligned}}}$

最後の等式はオイラーの公式であり、その系は${\textstyle \cos(\omega t)={\frac {1}{2}}\left(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}\right).}$一般に、単純な正弦波の解析的表現は、複素指数関数を用いて表し、負の周波数成分を破棄し、正の周波数成分を2倍することによって得られます。また、複数の正弦波の和の解析的表現は、個々の正弦波の解析的表現の和となります。

ここでは、オイラーの公式を用いて負の周波数を特定し、除外します。

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\frac {1}{2}}\left(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )}\right)}$

それから：

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}}$

これは、ヒルベルト変換法を用いて負の周波数成分を除去する別の例です。計算を妨げるものは何もありません。${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}$複素数値の場合${\displaystyle s(t)}$しかし、元のスペクトルは一般に対称ではないため、可逆的な表現ではない可能性があります。したがって、この例を除いて、一般的な議論では実数値を仮定します。${\displaystyle s(t)}$。

${\displaystyle s(t)=e^{-j\omega t}}$、 どこ${\displaystyle \omega >0}$。

それから：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=je^{-j\omega t},\\s_{\mathrm {a} }(t)&=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.\end{aligned}}}$

解析信号は極座標でも表現できる。

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},}$

ここで、以下の時間変動量が導入される。

• ${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)\triangleq |s_{\mathrm {a} }(t)|}$これは瞬間振幅またはエンベロープと呼ばれます。
• ${\displaystyle \phi (t)\triangleq \arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]}$これは瞬時位相または位相角と呼ばれます。

添付の図では、青い曲線は${\displaystyle s(t)}$そして赤い曲線は対応する${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)}$。

展開された瞬時位相の時間微分はラジアン/秒の単位を持ち、瞬時角周波数と呼ばれます。

${\displaystyle \omega (t)\triangleq {\frac {d\phi }{dt}}(t).}$

したがって、瞬時周波数（ヘルツ単位）は次のようになります。

${\displaystyle f(t)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\omega (t).}$ ^{[ 3 ]}

瞬時振幅、瞬時位相、瞬時周波数は、信号の局所的な特徴を測定および検出するために、いくつかの用途で使用されます。信号の解析的表現のもう1つの用途は、変調信号の復調に関するものです。極座標は、振幅変調と位相（または周波数）変調の影響を都合よく分離し、特定の種類の信号を効果的に復調します。

解析信号はしばしば周波数が0Hzに向かってシフト（ダウンコンバート）され 、その結果、非対称な負の周波数成分が生じる可能性がある。 $${\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)\triangleq s_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega _{0}t}=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)},}$$ どこ${\displaystyle \omega _{0}}$は任意の基準角周波数である。^{[ 2 ]}

この関数は、複素エンベロープや複素ベースバンドなど、さまざまな名前で呼ばれています。複素エンベロープは一意ではなく、選択によって決まります。${\displaystyle \omega _{0}}$この概念は、通過帯域信号を扱う際によく使用されます。${\displaystyle s(t)}$変調信号です。${\displaystyle \omega _{0}}$それは搬送周波数に相当するかもしれない。

その他の場合、${\displaystyle \omega _{0}}$は、目的の通過帯域の中央付近に選択される。すると、実数係数を持つ単純なローパスフィルタで、関心のある部分を切り出すことができる。もう 1 つの動機は、最高周波数を下げることで、エイリアシングのないサンプリングの最小レートを下げることである。周波数シフトは、複素信号表現の数学的な扱いやすさを損なうものではない。したがって、その意味では、ダウンコンバートされた信号は依然として解析的である。ただし、実数値表現を復元することは、実数成分を抽出するだけの単純な問題ではなくなる。アップコンバージョンが必要になる場合があり、信号がサンプリングされている場合(離散時間) は、エイリアシングを避けるために補間(アップサンプリング) も必要になる可能性がある。

もし${\displaystyle \omega _{0}}$最高周波数よりも大きく選ばれる${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t),}$それから${\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)}$正の周波数は存在しません。この場合、実数成分を抽出すると、周波数は復元されますが、順序が逆になります。つまり、低周波成分が高周波成分になり、高周波成分が低周波成分になります。これは、下側波帯または反転側波帯と呼ばれるタイプのシングルサイドバンド信号の復調に使用できます。

基準周波数のその他の選択肢が検討される場合もある。

• 時々${\displaystyle \omega _{0}}$最小化するために選択されます$${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|S_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .}$$
• あるいは、^{[ 4 ]}${\displaystyle \omega _{0}}$は、展開された瞬時位相を線形近似する際の平均二乗誤差を最小化するように選択できる。${\displaystyle \phi (t)}$:$${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt}$$
• または別の選択肢（最適なもの）${\displaystyle \theta }$):$${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.}$$

時間周波数信号処理の分野では、実用的な応用に必要な望ましい特性をこの方法が持つためには、ウィグナー・ヴィル分布の定義において解析信号が必要であることが示された。 ^{[ 5 ]}

「複素包絡線」というフレーズは、(一定周波数)フェーザの複素振幅というより単純な意味で使われることもあります。 ^{[ a ] [ b ]} また、複素包絡線は、${\displaystyle s_{m}(t)}$上記で定義したように、は複素振幅の時間依存一般化として解釈されます。^{[ c ]}それらの関係は実数値の場合と似ています。一定振幅を一般化する可変エンベロープ。

解析信号の一般化は、この場合の負の周波数の意味が確立されれば、多次元信号に対しても容易に行える。これは、単位ベクトルを導入することによって行うことができる。${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$フーリエ領域において任意の周波数ベクトルにラベルを付ける${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$否定的である場合${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\cdot {\boldsymbol {\hat {u}}}<0}$分析信号は、すべての負の周波数を除去し、1変数信号の場合に説明した手順に従って結果を2倍することによって生成されます。ただし、特定の方向性はありません。${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$追加の制約がない限り、これは選択されなければならない。したがって、${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$アドホック、またはアプリケーション固有のものである。

解析信号の実部と虚部は、1変数信号に対して定義されるベクトル値単一遺伝子信号の2つの要素に対応します。ただし、単一遺伝子信号は任意の数の変数に容易に拡張でき、n変数信号の場合には( n +1)次元のベクトル値関数が生成されます。

• 単側波帯変調
• 直交フィルタ
• 因果フィルター