アイゼンシュタイン整数

数学において、アイゼンシュタイン整数（ゴットホルト・アイゼンシュタインにちなんで命名）は、時折^{[ 1 ]}オイラー整数（レオンハルト・オイラーにちなんで命名）とも呼ばれ、次の形式の複素数である。

z=a+b\omega ,

ここで、 $a$ と $b$ は整数であり、

\omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{i2\pi /3}

は、1の原始的な（したがって実数ではない）立方根です。

アイゼンシュタイン整数は複素平面上で三角形格子を形成するのに対し、ガウス整数は複素平面上で正方格子を形成する。アイゼンシュタイン整数は可算無限集合である。

物件

アイゼンシュタイン整数は、代数体 $Q$ $($ $ω$ $)$ （第3円分体）における代数的整数の可換環 $Z [ω]$ を形成する。アイゼンシュタイン整数が代数的整数であることを示すには、各 $z$ $=$ $a$ $+$ $bω$ が単多項式の根であることに注意すればよい。

z^{2}-(2a-b)\;\!z+\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)~.

特に、 $ω は$ 次の式を満たす。

\omega ^{2}+\omega +1=0~.

$2つのアイゼンシュタイン整数a + bω$ と $c + dω$ の積は、明示的に次のように与えられる。

(a+b\;\!\omega )\;\!(c+d\;\!\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\;\!\omega ~.

アイゼンシュタイン整数の2ノルムは、その絶対値の二乗であり、次のように表される。

{\left|a+b\;\!\omega \right|}^{2}\,=\,{(a-{\tfrac {1}{2}}b)}^{2}+{\tfrac {3}{4}}b^{2}\,=\,a^{2}-ab+b^{2}~,

これは明らかに正の通常の（有理）整数である。

また、 $ω$ の複素共役は以下を満たす。

{\bar {\omega }}=\omega ^{2}~.

この環の単位群は $、$ 複素平面上の1の6乗根によって形成される巡回群である： ${\pm1, \pm$ $ω$ $, \pm$ $ω2$ $} 、ノルム$ $1$ のアイゼンシュタイン整数。

ユークリッド領域

アイゼンシュタイン整数環は、上記のように、ノルム $N$ が平方モジュラスで与えられるユークリッド領域を形成する。

N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.

任意の被除数 $α$ と除数 $β$ $\neq 0$ に対して除算アルゴリズムを適用すると、除数よりも小さい商 $κ$ と余り $ρが得られ、以下の条件を満たす。$

\alpha =\kappa \beta +\rho \ \ {\text{ ただし }}\ \ N(\rho )<N(\beta ).

ここで、 $α$ 、 $β$ 、 $κ$ 、 $ρ$ はすべてアイゼンシュタイン整数である。このアルゴリズムはユークリッドの互除法を導き、ユークリッドの補題とアイゼンシュタイン整数のアイゼンシュタイン素数への一意分解を証明する。

除算アルゴリズムの一つは以下のとおりです。まず複素数体で除算を行い、商を $ω$ を用いて表します。

{\frac {\alpha }{\beta }}\ =\ {\tfrac {1}{\ |\beta |^{2}}}\alpha {\overline {\beta }}\ =\ a+bi\ =\ a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b+{\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\omega ,

有理数 $a, b \in Q$ に対して、有理係数を最も近い整数に丸めることで、アイゼンシュタイン整数商を求めます。

\kappa =\left\lfloor a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b\right\rceil +\left\lfloor {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\right\rceil \omega \ \ {\text{ and }}\ \ \rho ={\alpha }-\kappa \beta .

ここ $\lfloor x\rceil$ は、標準的な整数への丸め関数のいずれかを表す場合があります。

$この方法がN (ρ) < N (β)$ を満たす一方で、他のほとんどの二次整数環では同様の手順が失敗する理由は次のとおりです。複素平面上で平行移動によって作用するイデアル $Z$ $[$ $ω$ $]$ $β$ $=$ $Z$ $β$ $+$ $Z$ $ωβ$ の基本領域は、頂点が $0$ 、 $β$ 、 $ωβ$ 、 $β$ $+$ $ωβ$ である 60°–120° 菱形です。任意のアイゼンシュタイン整数 $α は$ この平行四辺形の平行移動のいずれかの内部にあり、商 $κはその頂点の 1 つです。残差は$ $α$ からこの頂点までの二乗距離ですが、アルゴリズムで可能な最大距離はわずかです。 ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |$ 、それで $|\rho |\leq {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |<|\beta |$ $（ κを$ 最も近い角とすることで、 $ρ$ のサイズをわずかに小さくすることができる。）

アイゼンシュタイン素数

$x$ と $yが$ アイゼンシュタイン整数であるとき、 $y$ $=$ $zx$ となるようなアイゼンシュタイン整数 $z$ が存在する場合、 $xは$ $yを$ 割り切ると言います。単位を持たないアイゼンシュタイン整数 $xは、その非単位約数が$ $ux$ の形のみである場合、アイゼンシュタイン素数と呼ばれます。ここで、 $u$ は6つの単位のいずれかです。これらは、ガウス整数におけるガウス素数に対応する概念です。

アイゼンシュタイン素数には2種類ある。

$2 mod 3$ に合同な通常の素数（または有理素数）は、アイゼンシュタイン素数でもある。
$3と、3 を$ $法として 1$ に合同な各有理素数は、アイゼンシュタイン整数 $x$ $+$ $ωy$ のノルム $x 2 - xy + y 2$ $に等しい。したがって、そのような素数は($ $x$ $+$ $ωy$ $)($ $x$ $+$ $ω$ $2$ $y$ $)$ のように因数分解でき、これらの因数はアイゼンシュタイン素数である。つまり、ノルムが有理素数であるアイゼンシュタイン整数である。

2番目のタイプでは、 $3$ の係数、 $1-\omega$ そして $1-\omega ^{2}$ 関係者： $1-\omega =(-\omega )(1-\omega ^{2})$ そのため、一部の書籍では特殊なタイプとみなされている。^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

$3n -1 の$ 形の最初のいくつかのアイゼンシュタイン素数は $次$ のとおりです。

2、5、11、17、23、29、41、47、53、59、71、83、89、101、...（OEISの配列A003627 ）。

$3$ を法として $0$ または $1$ と合同な自然素数はアイゼンシュタイン素数ではありません。^[⁴^] $それらはZ$ $[$ $ω$ $]$ において非自明な因数分解を許容します。例えば、

3 = -(1 + 2 ω) 2

7 = (3 + ω)(2 - ω)

。

一般に、自然素数 $p が$ $3$ を法として $1 で$ あり、したがって $p$ $=$ $a$ $2$ $-$ $ab$ $+$ $b$ $2$ と書ける場合、 $Z$ $[$ $ω$ $]$ 上で次のように因数分解されます。

p = (a + bω)((a - b) - bω)

。

非実数アイゼンシュタイン素数には以下のようなものがある。

2 + ω

、

3 + ω

、

4 + ω

、

5 + 2 ω

、

6 + ω

、

7 + ω

、

7 + 3 ω

。

$共役と単位倍数を除けば、上記の素数は、 2$ と $5$ とともに、絶対値が $7を$ 超えないすべてのアイゼンシュタイン素数である。

2023年10月現在既知の最大の実アイゼンシュタイン素数は、ペーター・サボルチとプライムグリッドによって発見された、既知の素数の中で12番目に大きい $10223 \times 2 31172165 + 1で$ ある。^[⁵^]

アイゼンシュタインシリーズ

$0$ を除くすべてのアイゼンシュタイン整数の逆数の 4 乗の合計は $0$ です: ^{[ 6 ]} $\sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0$ それで $e^{2\pi i/3}$ はj-不変量の根である。一般に $G_{k}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0$ かつその場合に限り $k\not \equiv 0{\pmod {6}}$ [ ⁷^]

$0$ を除くすべてのアイゼンシュタイン整数の逆数の6乗の合計は、ガンマ関数を用いて次のように表すことができる。 $\sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{6}}}=G_{6}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)={\frac {\Gamma (1/3)^{18}}{8960\pi ^{6}}}\approx 5.86303$ ここで、 $E$ はアイゼンシュタイン整数であり、 $G 6$ は重み 6 のアイゼンシュタイン級数である。^{[ 8 ]}

$C$ をアイゼンシュタイン整数で割った商

複素平面 $C$ をすべてのアイゼンシュタイン整数を含む格子で割った商空間は、実次元 $2の$ 複素トーラスです。これは、そのようなすべての複素トーラスの中で最大の対称性を持つ 2 つのトーラスのうちの 1 つです。 ^[⁹^]このトーラスは、正六角形の 3 組の対向する辺をそれぞれ同一視することによって得られます。

もう1つの最大対称トーラスは、複素平面をガウス整数の加法格子で割った商であり、 $[0, 1] \times [0, 1]$ のような正方形の基本領域の対向する2組の辺をそれぞれ同一視することによって得られます。

注記

↑どちらもスラーニ、ラースロー (1997)。代数。タイポテックス。 p. 73.およびミハイ・ザライ (1991)。シャーメルメレット。タンコニフキアド。 p. 75. これらの数を「オイラー整数」と呼ぶ。後者は、オイラーが証明においてこれらの数を用いたと主張している。
↑ワイスタイン、エリック・W. 「アイゼンシュタイン整数」。マスワールド。
↑ Cox, David A. (1997-05-08). Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication (PDF) . Wiley. p. 77. ISBN 0-471-19079-9。
↑ " $X^{2}+X+1$ 還元可能 $\mathbb {F} _{p}[X]$ もし $p\equiv 1{\pmod {3}}$ 「。
↑ 「既知の最大の素数」。プライムページ。 2023年2月27日取得。
↑ 「j関数の零点は何ですか？」
↑ 「それを見せてください」 $G_{4}(i)\neq 0$ 、そして $G_{6}(\rho )\neq 0$ 、 $\rho =e^{2\pi i/3}$ 「。
↑ "エントリ 0fda1b – Fungrim: 数学関数グリモワール" . fungrim.org . 2023-06-22に取得.
↑ 「18.783 楕円曲線講義 18」（PDF）。MIT数学。p. 8。複素構造を定義するには、 $X(1)$ 私たちは注意を限定することができます ${\mathcal {F}}^{*}$ 事態を複雑にする3つの点があります。 ${\displaystyle i,\rho$ 。補題とする $G_{\tau }$ 安定剤となる $\tau \in {\mathcal {F}}^{*}$ で $\Gamma$ 。させて $S=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)$ そして $T=\left({\begin{array}{ll}1&1\\0&1\end{array}}\right)$ 。それから $G_{\tau }={\begin{cases}\{\pm I\}\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &{\text{ if }}\tau \notin \{i,\rho ,\infty \}\\\langle S\rangle \simeq \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} &{\text{ if }}\tau =i;\\\langle ST\rangle \simeq \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} &{\text{ if }}\tau =\rho \\\langle \pm T\rangle \simeq \mathbb {Z} &{\text{ if }}\tau =\infty \end{cases}}$
↑ Weeks, Jeffrey (2001). The Shape of Space . CRC Press. p. 115.図 7.13 六角形の対向する辺を物理的に接着するには、六角形をドーナツ状の表面の形に変形させる必要があります。したがって、抽象的に接着された辺を持つ六角形は、トーラスと同じ全体的なトポロジーを持ちます。