振動

質量-ばね-ダンパー系の解析を始めるにあたり、減衰は無視できるものとし、質量に外力が加わっていない（すなわち自由振動である）と仮定します。ばねが質量に加える力は、ばねの伸び量「x」に比例します（ばねは質量の重さによって既に圧縮されていると仮定します）。比例定数kはばねの剛性であり、力/距離の単位を持ちます（例：lbf/inまたはN/m）。負の符号は、力が常にそれに接続された質量の運動に逆らうことを示しています。

${\displaystyle F_{s}=-kx.\!}$

質量によって発生する力は、ニュートンの運動第二法則によって示されるように、質量の加速度に比例する。

${\displaystyle \Sigma \ F=ma=m{\ddot {x}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}$

質量に作用する力の合計は、次の常微分方程式を生成する。${\displaystyle \ m{\ddot {x}}+kx=0.}$

振動の開始がバネを距離Aだけ伸ばして放すことから始まると仮定すると、質量の運動を表す上記の方程式の解は次のようになります。

${\displaystyle x(t)=A\cos(2\pi f_{n}t).\!}$

この解によれば、振幅A 、周波数f _nの単振動で振動する。f nは減衰のない固有振動数と_呼ばれる。単純な質量-ばね系の場合、f _nは次のように定義される。

${\displaystyle f_{n}={1 \over {2\pi }}{\sqrt {k \over m}}.\!}$

注:角周波数ω (ω=2 π f ) は、ラジアン毎秒の単位で数式によく使用されますが、数式を簡略化するためです。ただし、システムの周波数を表す場合は、通常、通常の周波数(単位はHzまたは同等のサイクル毎秒) に変換されます。システムの質量と剛性がわかっている場合、上記の式を使用して、初期外乱によってシステムが動き出すと振動する周波数を決定できます。すべての振動システムには、外乱を受けるとすぐに振動する 1 つ以上の固有周波数があります。この単純な関係は、質量または剛性を追加したときに、より複雑なシステムに何が起こるかを一般的に理解するために使用できます。たとえば、上記の式は、車やトラックが満載のときに、サスペンションが無積載時よりも「柔らかく」感じる理由を説明します。質量が増加し、システムの固有周波数が低下したためです。

ダンパーを追加すると、質量の速度に比例する力を発生させることで減衰源をモデル化します。比例定数cは減衰係数と呼ばれ、単位は力÷速度（lbf⋅s/inまたはN⋅s/m）です。

${\displaystyle F_{\text{d}}=-cv=-c{\dot {x}}=-c{\frac {dx}{dt}}.}$

質量にかかる力を合計すると、次の常微分方程式が得られる。

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0.}$

この方程式の解は減衰量に依存します。減衰が十分に小さい場合、システムは振動し続けますが、最終的には時間とともに振動が止まります。この状態は減衰不足と呼ばれ、振動解析において重要です。減衰がシステムが振動しなくなるまで増加すると、システムは臨界減衰点に達したことになります。減衰が臨界減衰を超えると、システムは過減衰状態になります。質量-ばね-ダンパーモデルにおいて、臨界減衰に達するために減衰係数が到達しなければならない値は次のとおりです。

${\displaystyle c_{\text{c}}=2{\sqrt {km}}}$

減衰比は、システムの減衰量を特徴付けるために使用されます。これは、実際の減衰と臨界減衰に達するために必要な減衰量の比です。減衰比の式（${\displaystyle \zeta }$質量-ばね-ダンパーモデルの ) は次のとおりです。

${\displaystyle \zeta ={c \over 2{\sqrt {km}}}.}$

例えば、金属構造物（飛行機の胴体、エンジンのクランクシャフトなど）の減衰係数は0.05未満ですが、自動車のサスペンションは0.2～0.3の範囲です。質量-ばね-ダンパーモデルにおける減衰不足システムの解は次のとおりです。

${\displaystyle x(t)=Xe^{-\zeta \omega _{n}t}\cos \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n}t-\phi \right),\qquad \omega _{n}=2\pi f_{n}.}$

Xの値、初期の大きさ、そして${\displaystyle \phi ,}$位相シフトは、バネの伸び具合によって決まります。これらの値の計算式は参考文献に記載されています。

減衰固有振動数と非減衰固有振動数

この解から注目すべき主な点は、指数項とコサイン関数です。指数項は、システムがどれだけ速く「減衰」するかを定義します。減衰比が大きいほど、ゼロに減衰する速度は速くなります。コサイン関数は解の振動部分ですが、その振動周波数は減衰のない場合とは異なります。

この場合の周波数は「減衰固有振動数」と呼ばれ、${\displaystyle f_{\text{d}},}$そして、減衰のない固有振動数とは次の式で関係づけられる。

${\displaystyle f_{\text{d}}=f_{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}.}$

減衰固有振動数は無減衰固有振動数よりも小さいですが、多くの実際的なケースでは減衰比が比較的小さいため、その差は無視できるほど小さいです。そのため、固有振動数を表す際には、減衰と無減衰の区別は省略されることがよくあります（例えば、減衰比が0.1の場合、減衰固有振動数は無減衰固有振動数よりわずか1%低いだけです）。

横のグラフは、減衰比が0.1と0.3の場合に、システムが時間とともにどのように「振動」していくかを示しています。実際には、衝撃（例えばハンマーによる）後の自由振動を実験的に測定し、振動速度を測定することでシステムの固有振動数を求め、減衰率を測定することで減衰比を求めるのが一般的です。固有振動数と減衰比は、自由振動だけでなく、強制振動下でのシステムの挙動を特徴づける上でも重要です。

モード形状が不明な場合でも、レイリー商を用いることで、減衰固有振動数と非減衰固有振動数の両方を推定することができる。

ばね質量（減衰なし）

バネ質量減衰

ばね質量臨界減衰

ばね質量過減衰

^{[ 11 ]}

ばね質量ダンパーモデルの挙動は、調和力が加わることで変化する。このような力は、例えば回転不均衡によって発生する可能性がある。

${\displaystyle F=F_{0}\sin(2\pi ft).\!}$

質量にかかる力を合計すると、次の常微分方程式が得られる。

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F_{0}\sin(2\pi ft).}$

この問題の定常状態解は次のように表すことができます。

${\displaystyle x(t)=X\sin(2\pi ft+\phi ).\!}$

その結果、質量は加えられた力と同じ周波数fで振動するが、位相がずれることがわかる。${\displaystyle \phi .}$

振動「X」の振幅は、次の式で定義されます。

${\displaystyle X={F_{0} \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}}.}$

ここで「r」は、質量-ばね-ダンパーモデルの減衰のない固有振動数に対する調和力の周波数の比として定義される。

${\displaystyle r={\frac {f}{f_{n}}}.}$

位相シフト、${\displaystyle \phi ,}$は、次の式で定義されます。

${\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {-2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

これらの関数のグラフは「システムの周波数応答」と呼ばれ、強制振動における最も重要な特徴の1つを示しています。減衰の少ないシステムでは、強制周波数が固有振動数（${\displaystyle r\approx 1}$振動の振幅が非常に高くなることがあります。この現象は共振と呼ばれ（そのため、システムの固有振動数は共振周波数と呼ばれることがよくあります）、ローターベアリングシステムでは、共振周波数を励起する回転速度は臨界速度と呼ばれます。

機械システムで共振が発生すると、非常に有害であり、最終的にはシステムの故障につながる可能性があります。したがって、振動解析の主な目的の1つは、この種の共振が発生する可能性のある時期を予測し、発生を防ぐためにどのような対策を講じるべきかを判断することです。振幅プロットが示すように、減衰を加えることで振動の大きさを大幅に低減できます。また、システムの剛性や質量を変更することで固有振動数を強制振動数からずらすことができれば、振動の大きさを低減できます。システムを変更できない場合は、強制振動数を変更することで対応できるかもしれません（例えば、力を発生させる機械の速度を変更するなど）。

周波数応答プロットに示されている強制振動に関して、その他の留意点を以下に示します。

• 特定の周波数比において、振動の振幅Xは力の振幅に正比例する。${\displaystyle F_{0}}$（例えば、力を2倍にすると、振動も2倍になる）
• 減衰がほとんどまたは全くない場合、周波数比r  < 1のときは振動は強制周波数と同位相になり、周波数比r > 1 のときは 180 度位相がずれる。  
• r  ≪ 1の場合 、振幅は静止力によるばねのたわみに等しくなります。${\displaystyle F_{0}.}$ このたわみは静的たわみと呼ばれます。${\displaystyle \delta _{st}.}$したがって、r  ≪  1 の場合、ダンパーと質量の影響は最小限となる。
• r  ≫ 1の場合 、振動の振幅は静的たわみよりも実際には小さくなる。${\displaystyle \delta _{st}.}$この領域では、質量が受ける加速度が周波数とともに増加するため、質量 によって発生する力（F  = ma ）が支配的になります。この領域では、ばねのたわみXが減少するため、ばねからベースに伝達される力（F = kx ）が減少します。したがって、質量-ばね-ダンパーシステムは、マウントベースから調和力を遮断します。これは振動遮断と呼ばれます。r ≫ 1 の場合、減衰力（F = cv ）もベースに伝達されるため、減衰が増加すると振動遮断の効果は実際に減少します。       
• 減衰がどのような値であっても、周波数比r  =  1 のとき、振動は強制周波数と 90 度位相がずれており、これはシステムの固有振動数を決定する際に非常に役立ちます。
• 減衰係数がどのような値であっても、r  ≫  1 の場合、振動は強制振動数と 180 度位相がずれる。
• 減衰係数がどのような値であっても、r  ≪  1 の場合、振動は強制振動数と同位相となる。

質量-ばね-ダンパーモデルに「複雑な」力を適用する

前のセクションでは、モデルに単純な調和力のみを適用しましたが、2 つの強力な数学的ツールを使用すると、これを大幅に拡張できます。1 つ目はフーリエ変換で、これは時間の関数 (時間領域)として信号を入力として、周波数の関数 (周波数領域)として調和成分に分解します。たとえば、質量-ばね-ダンパーモデルに、次のサイクルを繰り返す力を適用します。0.5秒間 1ニュートンの力、その後 0.5 秒間力なし。このタイプの力は 1 Hz の矩形波の形状をしています。    

方形波のフーリエ変換は、方形波を構成する高調波の振幅を示す周波数スペクトルを生成します（位相も生成されますが、通常はそれほど重要ではないため、プロットされることはほとんどありません）。フーリエ変換は、過渡現象（インパルスなど）やランダム関数などの非周期関数の解析にも使用できます。フーリエ変換は、ほとんどの場合、ウィンドウ関数と組み合わせて高速フーリエ変換（FFT）コンピュータアルゴリズムを使用して計算されます。

方形波の力の場合、最初の成分は実際には0.5ニュートンの定数力であり、 周波数スペクトルでは0Hzの値で表されます。次の成分は 振幅0.64の1Hzの正弦波です。これは1Hzの線で示されています 。残りの成分は奇数周波数であり、完全な方形波を生成するには無限個の正弦波が必要です。したがって、フーリエ変換を用いることで、力をより「複雑な」力（例えば方形波）ではなく、作用する正弦波の力の和として解釈することができます。

前のセクションでは、単一の調和力に対する振動解を示しましたが、フーリエ変換は一般に複数の調和力を与えます。2つ目の数学的手法である重ね合わせの原理は、システムが線形である場合に、複数の力からの解を合計することを可能にします。ばね-質量-ダンパーモデルの場合、ばね力が変位に比例し、減衰が対象となる運動範囲における速度に比例する場合、システムは線形になります。したがって、方形波の問題の解は、方形波の周波数スペクトルで見つかった各調和力から予測される振動を合計することです。

周波数応答モデル

振動問題の解は、入力と出力の関係として捉えることができます。ここで、力は入力であり、出力は振動です。力と振動を周波数領域（振幅と位相）で表現すると、次の関係が得られます。

${\displaystyle X(i\omega )=H(i\omega )\cdot F(i\omega ){\text{ or }}H(i\omega )={X(i\omega ) \over F(i\omega )}.}$

${\displaystyle H(i\omega )}$周波数応答関数（伝達関数とも呼ばれるが、厳密にはそれほど正確ではない）は、振幅成分と位相成分の両方を持つ（複素数で表すと、実数成分と虚数成分）。質量-ばね-ダンパー系における周波数応答関数（FRF）の振幅については、既に説明した。

${\displaystyle |H(i\omega )|=\left|{X(i\omega ) \over F(i\omega )}\right|={1 \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}},{\text{ where }}r={\frac {f}{f_{n}}}={\frac {\omega }{\omega _{n}}}.}$

FRFのフェーズは、以前にも以下のように説明されています。

${\displaystyle \angle H(i\omega )=-\arctan \left({\frac {2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

例えば、質量1kg  、ばね定数1.93N  /mm、減衰比0.1の質量-ばね-ダンパーシステムの周波数応答関数（FRF）を計算してみましょう。ばねと質量の値から、 この特定のシステムの固有振動数は7Hzとなります。 先ほどの1Hz方形波を適用することで、質量の予測振動を計算できます。図は、その結果生じる振動を示しています。この例では、方形波の第4高調波が7Hzで発生します。そのため、入力力の7Hz高調波が比較的低いにもかかわらず、 質量-ばね-ダンパーシステムの周波数応答は7Hzの高い振動を出力します。この例は、結果として生じる振動が、強制関数と力が加えられるシステムの両方に依存することを示しています。  

図には、結果として生じる振動の時間領域表現も示されています。これは、周波数領域のデータを時間領域に変換する逆フーリエ変換を実行することによって行われます。実際には、周波数スペクトルが必要なすべての情報を提供するため、この変換を行うことはほとんどありません。

周波数応答関数（FRF）は、必ずしもシステムの質量、減衰、剛性に関する知識に基づいて計算する必要はなく、実験的に測定することも可能です。例えば、ある周波数範囲にわたって既知の力を加え、それに伴う振動を測定すれば、周波数応答関数を計算してシステムの特性を把握することができます。この手法は、実験的モード解析の分野で、構造物の振動特性を決定するために用いられています。

単純な質量-ばね-ダンパーモデルは、振動解析の基礎となるものです。上記のモデルは、質量が上下にのみ動くと仮定されているため、単自由度（SDOF）モデルと呼ばれます。より複雑なシステムでは、複数の方向に動く複数の質量にシステムを離散化し、自由度を追加する必要があります。多自由度（MDOF）の主要な概念は、図に示すような2自由度モデルを見るだけで理解できます。

2自由度システムの運動方程式は以下のとおりである。

${\displaystyle m_{1}{\ddot {x_{1}}}+(c_{1}+c_{2}){\dot {x_{1}}}-c_{2}{\dot {x_{2}}}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=f_{1},}$

${\displaystyle m_{2}{\ddot {x_{2}}}-c_{2}{\dot {x_{1}}}+(c_{2}+c_{3}){\dot {x_{2}}}-k_{2}x_{1}+(k_{2}+k_{3})x_{2}=f_{2}.\!}$

これは行列形式で書き直すことができます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x_{1}}}\\{\ddot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}+c_{2}&-c_{2}\\-c_{2}&c_{2}+c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x_{1}}}\\{\dot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{Bmatrix}}.}$

この行列方程式をより簡潔な形で表すと次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f\end{Bmatrix}}}$

どこ${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}},}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}},}$そして${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}}$これらはそれぞれ質量行列、減衰行列、剛性行列と呼ばれる対称行列です。これらの行列はN×Nの正方行列であり、Nはシステムの自由度数です。

以下の解析では、減衰がなく、外力も加わらない場合（すなわち自由振動）を扱います。粘性減衰システムの解は、やや複雑になります。^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}=0.}$

この微分方程式は、以下のタイプの解を仮定することで解くことができる。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}.}$

注: 指数解を使用すると${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}}$これは、線形微分方程式を解くために用いられる数学的な手法です。オイラーの公式を用い、解の実数部のみを取ると、1自由度系の場合と同じコサイン解が得られます。指数解が用いられるのは、数学的に扱いやすいためです。

すると、方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}=0.}$

以来${\displaystyle e^{i\omega t}}$ゼロに等しくすることはできません。方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

これは数学では固有値問題と呼ばれ、方程式に を左から掛けることで標準形式にすることができます。${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0}$

そしてもし：${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}}$そして${\displaystyle \lambda =\omega ^{2}\,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

問題の解は N 個の固有値(すなわち${\displaystyle \omega _{1}^{2},\omega _{2}^{2},\cdots \omega _{N}^{2}}$ここで、Nは自由度数に対応します。固有値はシステムの固有振動数を示します。これらの固有値を元の式に代入すると、${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}}$各固有値に対応するベクトルは固有ベクトルと呼ばれます。これらの固有ベクトルは、システムのモード形状を表します。固有値問題の解法は（特に自由度が多い問題の場合）非常に複雑になることがありますが、幸いなことに、ほとんどの数式解析プログラムには固有値ルーチンが備わっています。

固有値と固有ベクトルは、多くの場合、次の行列形式で記述され、システムのモードモデルを表します。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\omega _{1}^{2}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\omega _{N}^{2}\end{bmatrix}}{\text{ and }}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\cdots {\begin{Bmatrix}\psi _{N}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}.}$

2自由度モデルを用いた簡単な例で、これらの概念を説明しましょう。両方の質量を1kgとし 、3つのバネの剛性を1000N/mとします。この場合の質量と剛性のマトリックスは次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$そして${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

それから${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

この問題に対する固有値は、固有値計算ルーチンによって以下のように求められます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1000&0\\0&3000\end{bmatrix}}.}$

ヘルツ単位の固有振動数は、 ${\displaystyle \scriptstyle \omega =2\pi f}$）${\displaystyle \scriptstyle f_{1}=5.033\mathrm {\ Hz} }$そして${\displaystyle \scriptstyle f_{2}=8.717{\text{ Hz}}.}$

それぞれの固有振動数に対応する2つのモード形状は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}-0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{1}{\begin{Bmatrix}0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}.}$

このシステムは2自由度システムであるため、それぞれ固有の振動数と形状を持つ2つのモードが存在します。モード形状ベクトルは絶対的な動きではなく、自由度の相対的な動きを表します。この場合、最初のモード形状ベクトルは、質量が同じ値と符号を持つため、質量が同位相で一緒に動いていることを示しています。2番目のモード形状ベクトルは、各質量が同じ速度で反対方向に動いていることを示しています。

自由度が多い場合、モード形状を視覚化する一つの方法として、Femap、ANSYS 、またはESI GroupのVA Oneなどの構造解析ソフトウェアを使用してモード形状をアニメーション化する方法があります。ANSYSのモード解析を使用して実証された、片持ち梁のモード形状のアニメーション化の例を下の図に示します。この場合、有限要素法を使用して、離散固有値問題を解くために対象オブジェクトをメッシュ化することにより、質量行列と剛性行列の近似を生成しました。この場合、有限要素法はメッシュ化された表面の近似を提供することに注意してください（これには無限の数の振動モードと周波数が存在します）。したがって、100を超える自由度、したがって同数の固有振動数とモード形状を持つこの比較的単純なモデルは、最初の固有振動数とモードに対して良好な近似を提供します^†。一般に、実用的なアプリケーションでは最初の数個のモードのみが重要です。

^数学モデルの数値近似を行う場合は、対象となるパラメータの収束性を確認する必要があることに注意してください。

固有ベクトルは直交性と呼ばれる非常に重要な性質を持っています。これらの性質を利用することで、多自由度モデルの解法を大幅に簡略化できます。固有ベクトルは以下の性質を持つことが示されています。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$そして${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$これらは、各モードのモード質量と剛性値を含む対角行列です。（注：固有ベクトル（モード形状）は任意にスケーリングできるため、直交性を利用して固有ベクトルをスケーリングし、各モードのモード質量値が1になるようにすることがよくあります。したがって、モード質量行列は単位行列になります。）

これらの特性を利用することで、以下の座標変換を行うことにより、多自由度モデルの解法を大幅に簡略化できます。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}.}$

この座標変換を元の自由振動微分方程式に適用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

この方程式に左から乗じることで直交性を利用する${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

直交性の性質により、この方程式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

この方程式は、多自由度システムの振動解析の基礎となるものです。減衰システムについても同様の結果が得られます。^{[ 12 ]}重要なのは、モード質量行列と剛性行列が対角行列であるため、方程式が「分離」されていることです。言い換えれば、問題は、扱いにくい大きな多自由度問題から、上記で概説した方法と同じ方法で解くことができる多数の単自由度問題に変換されています。

xを求める代わりに、モード座標またはモード参加係数と呼ばれるqを求める。

理解を深めるには、 ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}}$次のように書かれています。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}}=q_{1}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{1}+q_{2}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{2}+q_{3}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{3}+\cdots +q_{N}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{N}.}$

このように記述すると、各自由度における振動は、モード形状の線形和にすぎないことがわかる。さらに、各モードが最終的な振動にどれだけ「寄与」するかは、そのモード寄与係数qによって定義される。

拘束されていない多自由度系は、剛体並進運動および／または回転運動と振動運動の両方を経験します。剛体モードが存在すると、固有振動数はゼロになります。対応するモード形状は剛体モードと呼ばれます。