2次元幾何学へのデュアルクォータニオンの応用

平面四元数は、実数上の4 次元代数を構成する。^{[ 1 ] [ 2 ]}その主な用途は、2 次元空間における剛体運動の表現である。この記事では、双対四元数代数の 2 次元幾何学へのいくつかの応用について議論する。現時点では、この記事は双対四元数の 4 次元部分代数に焦点を当てており、これは後で平面四元数と呼ばれる。

双対数や複素数の乗算とは異なり、平面四元数の乗算は非可換である。

この記事では、平面四元数の集合を次のように表します。${\displaystyle \mathbb {DC} }$一般的な要素${\displaystyle q}$の${\displaystyle \mathbb {DC} }$形式は${\textstyle A+Bi+C\バレプシロン j+D\バレプシロン k}$どこ${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$そして${\displaystyle D}$実数である。${\displaystyle \varepsilon }$は、2乗するとゼロになる双数です。${\displaystyle i}$、${\displaystyle j}$、 そして${\displaystyle k}$これらは四元数の標準基底要素です。

乗算は四元数の場合と同じ方法で行われますが、次の追加ルールが適用されます。${\textstyle \varepsilon }$指数の冪零です${\displaystyle 2}$つまり、${\textstyle \varepsilon ^{2}=0}$状況によっては${\textstyle \varepsilon }$極めて小さな数に匹敵する。したがって、平面四元数の乗法逆元は次のように与えられる。 $${\displaystyle (A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k)^{-1}={\frac {A-Bi-C\varepsilon jD\varepsilon k}{A^{2}+B^{2}}}}$$

セット${\displaystyle \{1,i,\バレプシロン j,\バレプシロン k\}}$これは平面四元数のベクトル空間の基底を形成し、スカラーは実数である。

平面四元数の大きさ${\displaystyle q}$と定義される$${\displaystyle |q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}.}$$

コンピュータグラフィックスのアプリケーションでは、${\displaystyle A+Bi+C\バレプシロン j+D\バレプシロン k}$は一般的に4タプルとして表される。${\displaystyle (A,B,C,D)}$。

平面四元数${\displaystyle q=A+Bi+C\バレプシロン j+D\バレプシロン k}$2×2の複素行列として、以下のように表現されます。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A+Bi&C+Di\\0&A-Bi\end{pmatrix}}.}$$

これは2×2の双対数行列としても表現できます。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A+C\varepsilon &-B+D\varepsilon \\B+D\varepsilon &A-C\varepsilon \end{pmatrix}}.}$$ 上記の2つの行列表現は、それぞれメビウス変換とラゲール変換に関連している。

この記事で議論されている代数は、双対複素数と呼ばれることがあります。しかし、この名称は誤解を招く可能性があります。なぜなら、この名称は、代数が以下のいずれかの形式をとるべきであることを示唆しているからです。

1. 複素数を含む双数。
2. 複素数だが、2桁の数値が含まれる

どちらの記述にも合致する代数が存在する。そして、両方の記述は同値である。（これは、代数のテンソル積が同型を除いて可換であるという事実による。）この代数は次のように表すことができる。${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2})}$環商を用いる。結果として得られる代数は可換積を持つため、これ以上の説明は省略する。

させて$${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$$単位長の平面四元数である必要がある。つまり、$${\displaystyle |q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}=1.}$$

ユークリッド平面は集合で表すことができる${\textstyle \Pi =\{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$。

要素${\displaystyle v=i+x\varepsilon j+y\varepsilon k}$の上${\displaystyle \Pi }$ユークリッド平面上の点をデカルト座標で表す${\displaystyle (x,y)}$。

${\displaystyle q}$作用させることができる${\displaystyle v}$による$${\displaystyle qvq^{-1},}$$どの地図か${\displaystyle v}$他の点について${\displaystyle \Pi }$。

以下に、(複数の)極性形式を示します。${\displaystyle q}$:

1. いつ${\displaystyle B\neq 0}$要素${\displaystyle q}$次のように書くことができます$${\displaystyle \cos(\theta /2)+\sin(\theta /2)(i+x\varepsilon j+y\varepsilon k),}$$これは角度の回転を表します${\displaystyle \theta }$岬のあたり${\displaystyle (x,y)}$。
2. いつ${\displaystyle B=0}$要素${\displaystyle q}$次のように書くことができます$${\displaystyle {\begin{aligned}&1+i\left({\frac {\Delta x}{2}}\varepsilon j+{\frac {\Delta y}{2}}\varepsilon k\right)\\={}&1-{\frac {\Delta y}{2}}\varepsilon j+{\frac {\Delta x}{2}}\varepsilon k,\end{aligned}}}$$これはベクトルによる平行移動を表します${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Delta x\\\Delta y\end{pmatrix}}.}$

平面四元数の原理に基づいた構成は、まずそれらが双対四元数の部分集合であることに気付くことで見出すことができる。

双対四元数には2つの幾何学的解釈があり、どちらの解釈も平面四元数の平面上での作用を導出するために使用できる。

• 3D空間における剛体運動を表現する方法として、平面四元数は、それらの剛体運動のサブセットを表すものと見なすことができます。これには、ユークリッド空間における双対四元数の作用に関するある程度の知識が必要です。このアプローチについては、他の場所で十分に説明されているため、ここでは説明しません。
• 双対四元数は、四元数の「無限小の厚み」として理解できます。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}四元数は3次元空間回転を表すために使用できるのに対し、双対数は「無限小」を表すために使用できることを思い出してください。これらの機能を組み合わせることで、回転を無限小に変化させることができます。${\displaystyle \Pi }$は、単位球面上にある微小平面を表し、${\displaystyle \{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$注目してください${\displaystyle \Pi }$は平面であるにもかかわらず、球面の部分集合である（これは双対数の無限小の振る舞いによるものである）。
  双対四元数の部分集合として、平面四元数は平面を回転させることに注目してください。${\displaystyle \Pi }$自分自身に戻る。これがもたらす影響は${\displaystyle v\in \Pi }$ 値によって異なる${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$で${\displaystyle qvq^{-1}}$:
  1. いつ${\displaystyle B\neq 0}$回転軸はある一点を指している${\displaystyle p}$の上${\displaystyle \Pi }$なので、${\displaystyle \Pi }$回転を体験する${\displaystyle p}$。
  2. いつ${\displaystyle B=0}$回転軸は平面から離れる方向を向いており、回転角は無限小である。この場合、平面上の点は${\displaystyle \Pi }$翻訳を体験する。

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