順序付けられたフィールド

数学において、順序体とは、体の演算と互換性のある要素の完全な順序付けを伴う体のことです。順序体の基本的な例としては、有理数と実数があり、どちらも標準的な順序付けを備えています。

順序体のすべての部分体は、継承された順序でも順序体です。すべての順序体には、有理数と同型の順序体部分体が含まれます。すべてのデデキント完全順序体は、実数と同型です。順序体では、平方は必ず非負になります。これは、虚数単位iの平方が-1 (どの順序体でも負) で あるため、複素数を順序付けできないことを意味します。有限体は順序付けできません。

歴史的に、順序体の公理化は、ダフィト・ヒルベルト、オットー・ヘルダー、ハンス・ハーンなどの数学者によって、実数から徐々に抽象化されました。これは最終的に、順序体と形式的実体のアルティン・シュライアー理論に発展しました。

順序体には、2 つの同等な一般的な定義があります。全順序の定義は歴史的に最初に登場し、順序付けを2 項述語として1 階公理化したものです。Artin と Schreier は 1926 年に正錐の観点から定義を与え、非負の元の部分集合を公理化しました。後者は高階ですが、正錐を最大前置錐として見ると、体の順序付けが極値部分順序付けであるというより広いコンテキストが提供されます。 ${\displaystyle \leq}$

フィールドと合計順序は​ ${\displaystyle (F,+,\cdot \,)}$ ${\displaystyle \leq}$${\displaystyle F}$順序が次の特性をすべて満たす場合、順序フィールドは${\displaystyle a,b,c\in F:}$

• もしそうならそして${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a+c\leq b+c,}$
• もし、そして${\displaystyle 0\leq a}$${\displaystyle 0\leq b}$${\displaystyle 0\leq a\cdot b.}$

通常どおり、 および を と書きます。およびという表記は、それぞれ およびを表します。を持つ要素は正と呼ばれます。 ${\displaystyle a<b}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a\neq b}$${\displaystyle b\geq a}$${\displaystyle b>a}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle a\in F}$${\displaystyle a>0}$

あ前置錐またはフィールドの順序付けは、サブセットです。^[1]${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P\subseteq F}$

• とは両方とも​​${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle x+y}$${\displaystyle x\cdot y}$${\displaystyle P.}$
• もし、 特に、 そして ${\displaystyle x\in F,}$${\displaystyle x^{2}\in P.}$${\displaystyle 0=0^{2}\in P}$${\displaystyle 1=1^{2}\in P.}$
• 要素は${\displaystyle -1}$${\displaystyle P.}$

あ事前順序体とは、事前順序付けを備えた体であり、 その非ゼロ元は乗法群の部分群を形成する${\displaystyle P.}$${\displaystyle P^{*}}$${\displaystyle F.}$

さらに、集合がの和集合である場合、をの正錐と呼ぶ。 の非ゼロ元はの正元と呼ばれる。${\displaystyle F}$${\displaystyle P}$${\displaystyle -P,}$${\displaystyle P}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle F.}$

整列体とは正の円錐を伴う体である。${\displaystyle F}$${\displaystyle P.}$

上の順序付けは、上の正錐の族の交差とまったく同じである 。正錐は最大の順序付けである。^[1]${\displaystyle F}$${\displaystyle F.}$

を体とする。の体順序と の正錐の間には一対一の関係がある。${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F.}$

最初の定義のように ≤ の体順序が与えられた場合、 となるような元の集合はの正の錐を形成します。逆に、2 番目の定義のようにの正の錐が与えられた場合、を に設定することによって上の全順序を関連付けることができます。これは、この全順序が最初の定義の特性を満たしていること を意味します。${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \leq _{P}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x\leq _{P}y}$${\displaystyle y-x\in P.}$${\displaystyle \leq _{P}}$

順序付けられたフィールドの例は次のとおりです。

• 標準的な順序付け（これが唯一の順序付けでもある）を持つ有理数体。${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• 実数の標準的な順序（これが唯一の順序でもある）を持つ体。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 実数代数や計算可能数などの順序体の任意の部分体は、順序を部分体に制限することによって順序体になります。
• 有理関数体（ただし、および は有理係数を持つ多項式）は、実超越数を固定し、 の場合に限り を定義することによって順序付き体にすることができます。これは、を介してに埋め込み、 の順序付けをの像の順序付けに制限することと同等です。このようにして、 のさまざまな順序付けが得られます。${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle p(x)/q(x)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle q(x)\neq 0}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle p(x)/q(x)>0}$${\displaystyle p(\alpha )/q(\alpha )>0}$${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto \alpha }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$
• 有理関数体（ただし、およびは実係数を持つ多項式、 ）は、 （ただし、および はそれぞれ、 およびの主係数）を意味するように定義することで、順序体にすることができます。同様に、有理関数に対して、十分に大きいすべての に対してが成り立つこと、またその場合に限ります。この順序体では、多項式 はどの定数多項式よりも大きく、順序体はアルキメデス ではありません。${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$ ${\displaystyle p(x)/q(x)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle q(x)\neq 0}$${\displaystyle p(x)/q(x)>0}$${\displaystyle p_{n}/q_{m}>0}$${\displaystyle p_{n}\neq 0}$${\displaystyle q_{m}\neq 0}$${\displaystyle p(x)=p_{n}x^{n}+\dots +p_{0}}$${\displaystyle q(x)=q_{m}x^{m}+\dots +q_{0}}$${\displaystyle f(x),g(x)\in \mathbb {R} (x)}$${\displaystyle f(x)<g(x)}$${\displaystyle f(t)<g(t)}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle p(x)=x}$
• 実係数を持つ形式ローラン級数の体。xは無限小かつ正である。${\displaystyle \mathbb {R} ((x))}$
• トランスシリーズ
• 実閉体
• 超実数
• 超実数

超実数は集合ではなく適切なクラスを形成しますが、それ以外は順序体の公理に従います。すべての順序体は超実数に埋め込むことができます。

Fのあらゆるa、b、c、dについて:

• − a ≤ 0 ≤ aまたはa ≤ 0 ≤ − aのいずれかです。
• 「不等式を追加」することができます。つまり、a ≤ bかつc ≤ dの場合、a + c ≤ b + dとなります。
• 「正の要素を持つ不等式を掛け合わせる」ことができます。つまり、a ≤ bかつ 0 ≤ cの場合、ac ≤ bcとなります。
• 「負の数を掛けると不等式が反転します」: a ≤ bかつ c ≤ 0 の場合、ac ≥ bc となります。
• a < bかつa , b > 0の場合、 1/ b < 1/ aです。
• 平方は非負です。Fのすべてのaについて0 ≤ a ²です。特に、1=1 ²なので、0 ≤ 1 となります。0 ≠ 1 なので、0 < 1 と結論付けられます。
• 順序付けられた体は、標数0を持ちます。(1 > 0 なので、1 + 1 > 0、1 + 1 + 1 > 0 などとなり、1 の有限和が 0 になることはありません。) 特に、有限体は順序付けることができません。
• あらゆる非自明な平方和はゼロではない。等価である：^{[2] [3]}${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow \;\forall k\;\colon a_{k}=0.}$

順序体のすべての部分体もまた順序体である（誘導順序を継承する）。最小の部分体は有理数と同型であり（他の標数 0 の体と同様に）、この有理数部分体上の順序は有理数自体の順序と同じである。

順序体のすべての元がその有理数部分体の2つの元の間にある場合、その体はアルキメデス体であると言われる。そうでない場合、そのような体は非アルキメデス順序体であり、無限小を含む。例えば、実数はアルキメデス体を形成するが、超実数は非アルキメデス体を形成する。なぜなら、超実数は実数を任意の標準的な自然数よりも大きい元で拡張するからである。^[4]

順序体F が実数体Rと同型であるためには、 Fに上限を持つFの空でない部分集合のすべてがFに 最小の上限を持つ必要がある。この性質は、体 F がアルキメデス的であることを意味する。

順序体上のベクトル空間（特にn空間）は、いくつかの特殊な性質を示し、特定の構造を持ちます。具体的には、向き、凸性、および正定値内積です。他の順序体上のベクトル空間に一般化できる R ⁿのこれらの性質については、実座標空間#幾何学的性質と用途を参照してください。

あらゆる順序体は形式的に実体である。つまり、0は非ゼロの平方の和として表すことはできない。^{[2] [3]}

逆に、すべての形式的に実な体は、両立する全順序を備えることができ、それによってその体は順序付き体になる。（この順序は一意に決定される必要はない。）証明にはゾルンの補題を用いる。^[5]

有限体、およびより一般的には正特性体は、上に示したように順序体に変換できません。複素数も順序体に変換できません。これは、 −1 が虚数単位iの平方だからです。また、p進数は順序付けできません。これは、ヘンゼルの補題によれば、 Q ₂には−7 の平方根が含まれるため、 1 ²  + 1 ²  + 1 ²  + 2 ²  +  √ −7 ²  = 0 となり、Q _p ( p > 2) には 1 − p の平方根が含まれるため 、 ( p  − 1)⋅1 ²  +  √ 1 −  p ²  = 0 となるためです。 ^[6]

F が全順序 ≤ から生じる順序位相を備えている場合、公理により演算 + と × が連続することが保証され、F は位相体になります。

ハリソン位相は、形式的に実数体Fの順序集合X _F上の位相である。各順序は、 F ^∗から ±1 への乗法群準同型とみなすことができる。 ±1 に離散位相を与え、 ±1 ^{F に}積位相を与えると、 X _F上の部分空間位相が誘導される。ハリソン集合は、ハリソン位相の部分基底を形成する。積はブール空間（コンパクト、ハウスドルフ、完全に不連続）であり、X _{F は}閉じた部分集合であるため、やはりブールである。^{[7] [8]} ${\displaystyle H(a)=\{P\in X_{F}:a\in P\}}$

F上のファンとは、SがF ∗^のインデックス 2 の部分群でT  − {0} を含み、−1 を含まない場合、 S は順序付けされている (つまり、S は加法に対して閉じている)という性質を持つ、順序付けされた T です。^[9]超順序体 とは、平方和の集合がファンを形成する全実体です。^[10]

• 線型順序群 – 並進不変の全順序を持つ群。つまり、a ≤ b ならば ca ≤ cb である。
• 順序付きグループ – 互換性のある半順序を持つグループPages displaying short descriptions of redirect targets
• オーダーリング – 互換性のある合計順序を持つリングPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 順序付き位相ベクトル空間
• 順序付きベクトル空間 – 半順序を持つベクトル空間
• 半順序リング – 互換性のある半順序を持つリング
• 半順序空間 – 半順序位相空間
• 前順序体 – 測度論における代数的概念。集合代数とも呼ばれる。Pages displaying short descriptions of redirect targets
• リース空間 – 格子として順序付けられた半順序ベクトル空間

• ラム、TY (1983)、「順序、評価、および二次形式」、CBMS 数学地域会議シリーズ、第 52 巻、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0702-1、Zbl  0516.12001
• ラム、ツィットユエン(2005)。体上の二次形式入門。数学大学院研究。第 67 巻。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-1095-2.ZBL1068.11023  。​
• ラング、セルジュ（1993）、代数学（第3版）、マサチューセッツ州レディング：アディソンウェスレー、ISBN 978-0-201-55540-0、ZBL  0848.13001