幾何代​​数

方向は、順序付けられたベクトルの集合によって定義される。

反転した向きは、外側の積を否定することに対応する。

グレードの幾何学的解釈${\displaystyle n}$実外代数の要素${\displaystyle n=0}$（符号付きポイント）${\displaystyle 1}$（方向付けられた線分、またはベクトル）${\displaystyle 2}$（配向平面要素）${\displaystyle 3}$（配向ボリューム）。外部生成物${\displaystyle n}$ベクトルは、任意の形で視覚化できます。${\displaystyle n}$次元形状（例：${\displaystyle n}$⁠ -平行多面体、 ⁠${\displaystyle n}$⁠ -楕円体); 大きさ (超体積)を持ち、向きは、その⁠上の向きによって定義されます${\displaystyle (n-1)}$次元境界と内部がどちら側にあるか。 ^{[ 14 ] [ 15 ]}

ベクトルの場合${\displaystyle a}$そして​​${\displaystyle b}$⁠、任意の2つのベクトルの幾何積は次のように表すことができます。${\displaystyle a}$そして​​${\displaystyle b}$対称積と反対称積の和として：

${\displaystyle ab={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba)。}$

したがって、ベクトルの内積は次のように定義できます。

${\displaystyle a\cdot b:=g(a,b),}$

対称積は次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(ab+ba)={\frac {1}{2}}\left((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}\right)=a\cdot b.}$

逆に、${\displaystyle g}$は完全に代数によって決定されます。反対称部分は、2つのベクトルの外積、つまり含まれる外積代数の積です。

${\displaystyle a\wedge b:={\frac {1}{2}}(ab-ba)=-(b\wedge a).}$

そして、単純な足し算によって：

${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$幾何積の非一般化形式またはベクトル形式。

内積と外積は、標準的なベクトル代数でおなじみの概念と関連付けられています。幾何学的には、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$幾何積が内積に等しい場合、それらは平行である。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$それらの幾何積が外積に等しい場合、それらは垂直である。任意の非ゼロベクトルの二乗が正である幾何代数では、2 つのベクトルの内積は、標準ベクトル代数のドット積と同一視できる。2 つのベクトルの外積は、辺がベクトルである平行四辺形で囲まれた符号付き領域と同一視できる。${\displaystyle 3}$正定値二次形式を持つ次元は、それらの外積と密接に関係している。

興味深い幾何代数のほとんどは、非退化二次形式を持つ。二次形式が完全に退化している場合、任意の2つのベクトルの内積は常にゼロとなり、幾何代数は単なる外積代数となる。特に断りのない限り、本稿では非退化幾何代数のみを扱う。

外積は、代数の任意の 2 つの要素間の結合的な双線形二項演算子として自然に拡張され、恒等式を満たします。

${\displaystyle {\begin{aligned}1\wedge a_{i}&=a_{i}\wedge 1=a_{i}\\a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}&={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\cdots a_{\sigma (r)},\end{aligned}}}$

ここで、和はインデックスのすべての順列についてであり、${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}$置換の符号、そして${\displaystyle a_{i}}$これらはベクトルです（代数の一般要素ではありません）。代数のすべての要素は、この形式の積の和として表すことができるため、これは代数のすべての要素のペアに対する外積を定義します。定義から、外積は交代代数を形成することがわかります。

クリフォード代数の等価構造方程式は^{[ 16 ] [ 17 ]である。}

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}=\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}\sum _{\mu \in {}{\mathcal {C}}}(-1)^{k}\operatorname {Pf} (a_{\mu _{1}}\cdot a_{\mu _{2}},\dots ,a_{\mu _{2i-1}}\cdot a_{\mu _{2i}})a_{\mu _{2i+1}}\land \dots \land a_{\mu _{n}}}$

どこ${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}$はのパフィアンです${\displaystyle A}$そして​${\textstyle {\mathcal {C}}={\binom {n}{2i}}}$組み合わせを提供します、${\displaystyle \mu }$⁠、の⁠${\displaystyle n}$インデックスは以下のように分割されます。${\displaystyle 2i}$そして​​${\displaystyle n-2i}$部品と​${\displaystyle k}$は組み合わせのパリティです。

パフィアンは外積代数の計量を提供し、クロード・シュヴァレーが指摘したように、クリフォード代数はゼロの二次形式を持つ外積代数に帰着します。^{[ 18 ]}パフィアンが果たす役割は、単体からクリフォード代数を展開することによって幾何学的な観点から理解できます。^{[ 19 ]}この導出は、最初の列の1の解釈を提供するので、パスカルの三角形と単体の間のより良いつながりを提供します。

外積であるマルチベクトル${\displaystyle r}$線形独立なベクトルはブレードと呼ばれ、グレードであると言われます。${\displaystyle r}$⁠ . ^{[ f ]}グレードのブレードの合計であるマルチベクトル${\displaystyle r}$は、次数 の（同次）多重ベクトルと呼ばれます。${\displaystyle r}$⁠。公理から、閉包性を持つ幾何代数のすべての多重ベクトルは、ブレードの和である。

一連の${\displaystyle r}$線形独立なベクトル${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{r}\}}$にまたがる⁠${\displaystyle r}$ベクトル空間の次元部分空間。これらを用いて、実対称行列を定義できます（グラミアン行列と同様の方法で）。

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}}$

スペクトル定理により、${\displaystyle \mathbf {A} }$対角行列に対角化できる${\displaystyle \mathbf {D} }$直交行列によって${\displaystyle \mathbf {O} }$経由

${\displaystyle \sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$

新しいベクトルセットを定義する${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$直交基底ベクトルとして知られるベクトルは、直交行列によって変換されるベクトルである。

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}}$

直交変換は内積を保存するので、${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$そして、${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$互いに垂直である。言い換えれば、2つの異なるベクトルの幾何積は${\displaystyle e_{i}\neq e_{j}}$外部製品によって完全に規定されている、あるいはより一般的には

${\displaystyle {\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=(\det \mathbf {O} )a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}}$

したがって、グレードのすべてのブレード${\displaystyle r}$は、外積として表すことができる。${\displaystyle r}$ベクトル。より一般的には、退化幾何代数が許容される場合、直交行列は非退化ブロックで直交するブロック行列に置き換えられ、対角行列は退化次元に沿ってゼロ値の要素を持つ。非退化部分空間の新しいベクトルが次のように正規化される場合

${\displaystyle {\widehat {e_{i}}}={\frac {1}{\sqrt {|e_{i}\cdot e_{i}|}}}e_{i},}$

すると、これらの正規化されたベクトルは二乗して${\displaystyle +1}$または⁠${\displaystyle -1}$シルベスターの慣性の法則により、総数は${\displaystyle +1}$⁠そして合計数⁠${\displaystyle -1}$対角行列に沿ったsは不変です。したがって、総数は${\displaystyle p}$これらのベクトルのうち、2乗すると${\displaystyle +1}$そして合計数${\displaystyle q}$その正方形に${\displaystyle -1}$は不変である。（二乗するとゼロになる基底ベクトルの総数も不変であり、退化が許容される場合はゼロ以外になることもある。）この代数を と表記する。${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$例えば、${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$3次元ユークリッド空間をモデル化する、${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$相対論的時空と${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$3次元空間の共形幾何代数。

の可能なすべての積の集合${\displaystyle n}$インデックスが昇順の直交基底ベクトル、以下を含む${\displaystyle 1}$空積として、幾何代数全体の基底を形成する（PBW定理の類似）。例えば、以下は幾何代数の基底である。${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$⁠ :

${\displaystyle \{1,e_{1},e_{2},e_{3},e_{1}e_{2},e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}e_{3}\}}$

このようにして形成された基底は幾何代数の標準基底と呼ばれ、他の直交基底は${\displaystyle V}$別の標準基準を作成します。各標準基準は以下で構成されます。${\displaystyle 2^{n}}$要素。幾何代数のすべての多重ベクトルは、標準基底要素の線形結合として表現できます。標準基底要素が${\displaystyle \{B_{i}\mid i\in S\}}$と${\displaystyle S}$インデックス集合である場合、任意の2つの多重ベクトルの幾何積は

${\displaystyle \left(\sum _{i}\alpha _{i}B_{i}\right)\left(\sum _{j}\beta _{j}B_{j}\right)=\sum _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}B_{i}B_{j}.}$

用語「${\displaystyle k}$-vector」は、1 次数のみの要素を含む多重ベクトルを記述するためによく見られます。高次元空間では、そのような多重ベクトルの中にはブレードではないもの（外積に因数分解できないもの）があります。${\displaystyle k}$ベクトル）。例として、${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}}$で${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,0)}$因数分解できない。ただし、通常、このような代数の要素は、回転などの幾何学的量を表すことはあっても、対象として幾何学的解釈を得ることはできない。${\displaystyle 0}$⁠ -, ⁠${\displaystyle 1}$⁠ -, ⁠${\displaystyle (n-1)}$⁠ - そして⁠${\displaystyle n}$⁠ -ベクトルは常にブレードです⁠${\displaystyle n}$⁠ -スペース。

A ⁠${\displaystyle k}$⁠ -versor は、幾何積として表現できるマルチベクトルです。${\displaystyle k}$可逆ベクトル。^{[ g ] [ 21 ]}単位四元数（元々はハミルトンによってバーサーと呼ばれていた）は、実際の2Dローターが複素数を包含するのとほぼ同じように、3D空間のローターと同一視することができます。詳細はDorstを参照してください。^{[ 22 ]}

一部の著者は、オペランドが演算子の間に「挟まれる」という頻繁に発生するケースを指すのに「ベクトル積」という用語を使用しています。回転と鏡映の記述、およびそれらの外射は、このような挟み込みの例です。これらの外射は、特に単純な代数形式を持ちます。^{[ h ]}具体的には、形式のベクトルの写像です。

${\displaystyle V\to V:a\mapsto RaR^{-1}}$外射影にまで及ぶ${\displaystyle {\mathcal {G}}(V)\to {\mathcal {G}}(V):A\mapsto RAR^{-1}.}$

演算子と被演算子の両方がバーソルであるため、ローターの回転やスピノルの反転など、代替的な例が存在する可能性があります。ただし、そのような操作には、何らかの幾何学的または物理的な意味が付与される必要があります。

カルタン・ディユドネの定理によれば、すべての等長変換は超平面における鏡映として与えられ、合成鏡映は回転を与えるので、直交変換はバーソルであることがわかります。

群論的に言えば、実数で非退化な⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$グループを特定した${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\times }}$の可逆要素のグループとして${\displaystyle {\mathcal {G}}}$⁠、ルンドホルムは「versor群」の証明を与えている。${\displaystyle \{v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\in {\mathcal {G}}\mid v_{i}\in V^{\times }\}}$（可逆変数の集合）はリプシッツ群に等しい。${\displaystyle \Gamma }$（別名クリフォード群だが、ルンドホルムはこの用法を推奨していない）。^{[ 23 ]}

次数反転を次のように表します。${\displaystyle {\widehat {S}}}$⁠そして復帰として⁠${\displaystyle {\widetilde {S}}}$⁠ .

リプシッツ群（次のように定義される）${\displaystyle \{S\in {\mathcal {G}}^{\times }\mid {\widehat {S}}VS^{-1}\subseteq V\}}$⁠ ) および versor グループ (以下のように定義されます⁠${\displaystyle \textstyle \{\prod _{i=0}^{k}v_{i}\mid v_{i}\in V^{\times },k\in \mathbb {N} \}}$⁠ ) は定義が異なっているが、同じグループである。ルンドホルムは⁠と定義している。${\displaystyle \operatorname {Pin} }$⁠、 ⁠${\displaystyle \operatorname {Spin} }$⁠、そして⁠${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}}$リプシッツ群のサブグループ。^{[ 24 ]}

スピノルの複数の解析では、表現としてGAが使用されている。^{[ 25 ]}

A ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ -幾何積によって自然に誘導される外積を用いることにより、幾何代数上に次数付きベクトル空間構造を確立することができる。

直交ベクトル上では幾何積と外積が等しいので、直交基底を用いることでこの等級付けを容易に構築できる。${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$⁠ .

幾何代​​数のスカラー倍である要素${\displaystyle 1}$等級${\displaystyle 0}$スカラーと呼ばれる。${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$等級は${\displaystyle 1}$⁠と は通常のベクトルです。 のスパン内の要素${\displaystyle \{e_{i}e_{j}\mid 1\leq i<j\leq n\}}$等級${\displaystyle 2}$そして、これらは双ベクトルです。この用語は、最終学年まで続きます。${\displaystyle n}$⁠ -ベクトル。あるいは、 ⁠${\displaystyle n}$⁠ -ベクトルは擬似スカラーと呼ばれます。 ${\displaystyle (n-1)}$⁠次元ベクトルは擬似ベクトルなどと呼ばれます。代数の要素の多くは、異なる次元の要素の和であるため、この方式では次数付けされません。このような要素は混合次元であると言われます。多重ベクトルの次数は、最初に選択された基底とは無関係です。

これはベクトル空間としての採点であり、代数としての採点ではありません。なぜなら、${\displaystyle r}$ブレードと​${\displaystyle s}$⁠ -ブレードは、${\displaystyle 0}$を通じて​${\displaystyle r+s}$⁠ -ブレード、幾何代数はフィルター付き代数です。

マルチベクター${\displaystyle A}$グレード射影演算子 で分解できる${\displaystyle \langle A\rangle _{r}}$⁠、グレードを出力する⁠${\displaystyle r}$⁠の一部⁠${\displaystyle A}$その結果：

${\displaystyle A=\sum _{r=0}^{n}\langle A\rangle _{r}}$

例えば、2つのベクトルの幾何積${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b=\langle ab\rangle _{0}+\langle ab\rangle _{2}}$以来${\displaystyle \langle ab\rangle _{0}=a\cdot b}$そして${\displaystyle \langle ab\rangle _{2}=a\wedge b}$そして​${\displaystyle \langle ab\rangle _{i}=0}$⁠、${\displaystyle i}$以外${\displaystyle 0}$そして​${\displaystyle 2}$⁠ .

マルチベクター${\displaystyle A}$また、偶数成分と奇数成分に分解することもでき、それぞれ上記の偶数成分の合計と奇数成分の合計として表すことができます。

${\displaystyle A^{[0]}=\langle A\rangle _{0}+\langle A\rangle _{2}+\langle A\rangle _{4}+\cdots }$

${\displaystyle A^{[1]}=\langle A\rangle _{1}+\langle A\rangle _{3}+\langle A\rangle _{5}+\cdots }$

これは、構造を忘れた結果です。${\displaystyle \mathrm {Z} }$⁠ -段階的ベクトル空間から⁠${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$⁠ -段階付きベクトル空間。幾何積はこの粗い段階を尊重します。したがって、 ⁠${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$⁠ -次数付きベクトル空間、幾何代数は⁠${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$⁠ -段階代数、別名スーパー代数。

偶数部分に限定すると、2 つの偶数要素の積も偶数になります。これは、偶数多重ベクトルが偶数部分代数を定義することを意味します。${\displaystyle n}$次元幾何代数は、完全な幾何代数と代数的に同型である（濾過または次数付けのいずれも保存しない）。${\displaystyle (n-1)}$寸法。例としては、${\displaystyle {\mathcal {G}}^{[0]}(2,0)\cong {\mathcal {G}}(0,1)}$そして​${\displaystyle {\mathcal {G}}^{[0]}(1,3)\cong {\mathcal {G}}(3,0)}$⁠ .

幾何代​​数は部分空間を表す${\displaystyle V}$ブレードとして、したがって、それらはからのベクトルと同じ代数に共存します。${\displaystyle V}$⁠ . A ⁠${\displaystyle k}$次元部分空間${\displaystyle W}$の${\displaystyle V}$直交基底を取ることによって表現される${\displaystyle \{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k}\}}$そして幾何積を用いて刃を形成する${\displaystyle D=b_{1}b_{2}\cdots b_{k}}$⁠。複数のブレードが表しています⁠${\displaystyle W}$⁠ ; 代表者全員${\displaystyle W}$は のスカラー倍数です${\displaystyle D}$これらのブレードは、2 つのセットに分けることができます。${\displaystyle D}$および の負の倍数${\displaystyle D}$⁠ . の正の倍数${\displaystyle D}$は、同じ向きであると言われています。${\displaystyle D}$⁠、そして負の数は反対の向きを掛けます。

ブレードは重要です。なぜなら、投影、回転、反射などの幾何学的操作は、（制限されたクラスの）外積による因数分解可能性に依存するからです。${\displaystyle n}$⁠ -ブレードは提供するが、(一般化されたクラスの)グレード- ⁠${\displaystyle n}$マルチベクターは、次の場合には機能しません。${\displaystyle n\geq 4}$⁠ .

単位擬スカラーは、GAにおいて重要な役割を果たすブレードです。非退化部分空間の単位擬スカラー${\displaystyle W}$の${\displaystyle V}$は、 の正規直交基底の要素の積であるブレードです。${\displaystyle W}$⁠。もし${\displaystyle I}$そして${\displaystyle I'}$どちらも単位擬スカラーです。${\displaystyle W}$⁠、それから${\displaystyle I=\pm I'}$そして​${\displaystyle I^{2}=\pm 1}$⁠。もし、 の正規直交基底を選択しない場合、${\displaystyle W}$⁠、するとプリュッカー埋め込みは外積代数にベクトルを与えるが、スケーリングを除いてのみである。幾何代数と外積代数の間のベクトル空間同型性を用いると、次の同値類が得られる。${\displaystyle \alpha I}$すべての人にとって${\displaystyle \alpha \neq 0}$直交性は、上記の符号を除いて、この曖昧さを解消します。

幾何代​​数を仮定する${\displaystyle {\mathcal {G}}(n,0)}$おなじみの正定値内積で${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$が形成されます。 の平面（2次元部分空間）が与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠、正規直交基底を見つけることができる${\displaystyle \{b_{1},b_{2}\}}$平面を張り、したがって単位擬スカラーを見つける${\displaystyle I=b_{1}b_{2}}$この平面を表す。 のスパン内の任意の 2 つのベクトルの幾何積${\displaystyle b_{1}}$そして${\displaystyle b_{2}}$横たわる⁠${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$つまり、それは の合計です。${\displaystyle 0}$⁠ -ベクトルと⁠${\displaystyle 2}$⁠ -ベクトル。

幾何積の性質により、${\displaystyle I^{2}=b_{1}b_{2}b_{1}b_{2}=-b_{1}b_{2}b_{2}b_{1}=-1}$⁠ 。仮想単位との類似性は偶然ではない。部分空間${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$です​${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ -代数は複素数と同型である。このようにして、複素数のコピーが、の各2次元部分空間の幾何代数に埋め込まれる。${\displaystyle V}$二次形式が確定する。

物理方程式に虚数単位が存在することを特定できる場合がある。このような単位は、実数代数における多くの量のうち、2乗すると になるものから生じる。${\displaystyle -1}$⁠、そしてこれらは、代数の性質と、その様々な部分空間の相互作用により、幾何学的な意味を持つ。

で⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$さらに、よく知られたケースがもう一つあります。正規直交ベクトルからなる標準基底が与えられた場合、${\displaystyle e_{i}}$の⁠${\displaystyle V}$⁠ 、すべての⁠の集合${\displaystyle 2}$⁠ -ベクトルは以下によって張られます

${\displaystyle \{e_{3}e_{2},e_{1}e_{3},e_{2}e_{1}\}.}$

これらにラベルを付ける${\displaystyle i}$⁠、${\displaystyle j}$そして${\displaystyle k}$（一時的に大文字表記の慣例から外れますが）によって生成される部分空間は、${\displaystyle 0}$⁠ -ベクトルと⁠${\displaystyle 2}$⁠ -ベクトルはまさに⁠${\displaystyle \{\alpha _{0}+i\alpha _{1}+j\alpha _{2}+k\alpha _{3}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$⁠ 。この集合は⁠の偶数部分代数であることがわかります。${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$さらに、はと同型である。${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ -代数を四元数に拡張したもので、もう一つの重要な代数システムです。

ベクトルの外積を多重ベクトルの代数全体に拡張することは一般的な手法である。これは、上述の次数射影演算子を用いることで実現できる。

${\displaystyle A\wedge B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{r+s}}$  （外装製品）

この一般化は、反対称化を含む上記の定義と一致する。外積に関連するもう1つの一般化は、交換子積である。

${\displaystyle A\times B:={\tfrac {1}{2}}(AB-BA)}$  （整流子積）

逆積は外積の双対である（この文脈ではそれぞれ「出会う」と「結合する」に対応する）。^{[ i ]}要素の双対指定により、ブレードの場合、${\displaystyle A_{r}}$そして​​${\displaystyle B_{s}}$⁠、双対性が両方を含む刃に関して取られる交点（または接点） ⁠${\displaystyle A_{r}}$そして​​${\displaystyle B_{s}}$（そのような刃の中で最も小さいものは接合部である）。 ^{[ 27 ]}

${\displaystyle A_{r}\vee B_{s}:=((A_{r}I^{-1})\wedge (B_{s}I^{-1}))I}$

と共に​${\displaystyle I}$代数の単位擬スカラー。後退積は、外積と同様に結合法則を満たす^。 [ ^{28 ]}

ベクトルの内積も一般化できますが、その方法は複数あり、それぞれ等価ではありません。論文（Dorst 2002 ）では、幾何代数用に開発されたいくつかの異なる内積とその相互関係について詳しく解説しており、表記法もそこから採用しています。多くの著者は、選択した拡張に対してベクトルの内積と同じ記号を使用しています（例：HestenesとPerwass）。一貫した表記法はまだ確立されていません。

ヘステネスによる元の拡張では、内積（またはドット積）は幾何積の最低次として定義されていますが、因子のスカラー部分は寄与しません（多重ベクトルとスカラーのドット積は0です）。

${\displaystyle A\cdot B:=\sum _{r\neq 0,s\neq 0}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{|s-r|}}$

当初の意図は、${\displaystyle AB=A\cdot B+A\wedge B}$⁠真⁠${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$スカラーまたはベクトル。多くの著者は、この制限を使用していません。${\displaystyle r\neq 0,s\neq 0}$定義では、これは以下の「ファットドット」積に相当します。

ベクトルの内積のその他の様々な一般化には、以下のようなものがある。

${\displaystyle A\mathbin {\rfloor } B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{s-r}}$  （左縮）

${\displaystyle A\mathbin {\lfloor } B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{r-s}}$  （正しい短縮形）

${\displaystyle A*B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{0}}$  （スカラー積）

${\displaystyle A\bullet B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{|s-r|}}$  （「（太字）ドット」積）^{[ j ]}

ドルスト（2002）は、ヘステネスの内積よりも縮約の使用を優先する議論を展開している。縮約は代数的に規則的で、幾何学的解釈がより明確である。縮約を取り入れた多くの恒等式は、入力に制限なく有効である。例えば、

${\displaystyle A\mathbin {\rfloor } B=(A\wedge (BI^{-1}))I}$

${\displaystyle A\mathbin {\lfloor } B=I((I^{-1}A)\wedge B)}$

${\displaystyle (A\wedge B)*C=A*(B\mathbin {\rfloor } C)}$

${\displaystyle C*(B\wedge A)=(C\mathbin {\lfloor } B)*A}$

${\displaystyle A\mathbin {\rfloor } (B\mathbin {\rfloor } C)=(A\wedge B)\mathbin {\rfloor } C}$

${\displaystyle (A\mathbin {\rfloor } B)\mathbin {\lfloor } C=A\mathbin {\rfloor } (B\mathbin {\lfloor } C).}$

ベクトルの内積の拡張として左縮約を使用する利点には、恒等式が${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$拡張される${\displaystyle aB=a\;\rfloor \;B+a\wedge B}$任意のベクトルに対して${\displaystyle a}$マルチベクター${\displaystyle B}$⁠、そして投影操作${\displaystyle {\mathcal {P}}_{b}(a)=(a\cdot b^{-1})b}$拡張される${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\mathbin {\rfloor } B^{-1})\mathbin {\rfloor } B}$あらゆる刃物${\displaystyle B}$および任意のマルチベクトル${\displaystyle A}$(null に対応するために若干の変更を加えた)${\displaystyle B}$（下記参照）。

させて${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$基礎となる${\displaystyle V}$つまり、${\displaystyle n}$線形独立なベクトルで、${\displaystyle n}$次元ベクトル空間${\displaystyle V}$⁠。双対である基底${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$は双対ベクトル空間の要素の集合である。${\displaystyle V^{*}}$これはこの基底と双直交系を形成し、したがって、要素は次のように表される。${\displaystyle \{e^{1},\ldots ,e^{n}\}}$満足

${\displaystyle e^{i}\cdot e_{j}=\delta ^{i}{}_{j},}$

どこ${\displaystyle \delta }$はクロネッカーデルタです。

上の非退化二次形式が与えられた${\displaystyle V}$⁠、${\displaystyle V^{*}}$自然に同一視されるようになる${\displaystyle V}$⁠、そして双対基底は⁠の要素とみなすことができる${\displaystyle V}$ただし、一般的には元の基底と同じセットではありません。

さらにGAが与えられた場合、${\displaystyle V}$⁠、

${\displaystyle I=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$

擬スカラー（必ずしも 2 乗するとは限らない）${\displaystyle \pm 1}$)基本から形成された${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$双対基底ベクトルは次のように構築できます。

${\displaystyle e^{i}=(-1)^{i-1}(e_{1}\wedge \cdots \wedge {\check {e}}_{i}\wedge \cdots \wedge e_{n})I^{-1},}$

どこで${\displaystyle {\check {e}}_{i}}$は、${\displaystyle i}$⁠番目の基底ベクトルは積から省略されます。

双対基底は、相互基底または相互フレームとも呼ばれる。

双対基底の主な用途は、ベクトルを成分に分解することです。ベクトルが与えられた場合、${\displaystyle a}$スカラー成分${\displaystyle a^{i}}$定義できる

${\displaystyle a^{i}=a\cdot e^{i}\ ,}$

どの点で${\displaystyle a}$ベクトル成分に分解すると次のようになります

${\displaystyle a=\sum _{i}a^{i}e_{i}\ .}$

スカラー成分も定義できます${\displaystyle a_{i}}$として

${\displaystyle a_{i}=a\cdot e_{i}\ ,}$

どの点で${\displaystyle a}$双対基底の観点からベクトル成分に分離できる。

${\displaystyle a=\sum _{i}a_{i}e^{i}\ .}$

幾何代​​数のベクトル部分空間に対して上記で定義した双対基底は、代数全体をカバーするように拡張できます。^{[ 29 ]}簡潔にするため、ベクトル添え字の順序付き集合を表すのに1つの大文字を使用します。つまり、

${\displaystyle J=(j_{1},\dots ,j_{n})\ ,}$

どこで${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\dots <j_{n}}$⁠、基底ブレードは次のように記述できます。

${\displaystyle e_{J}=e_{j_{1}}\wedge e_{j_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{j_{n}}\ .}$

対応する逆ブレードは、インデックスが逆順になっています。

${\displaystyle e^{J}=e^{j_{n}}\wedge \cdots \wedge e^{j_{2}}\wedge e^{j_{1}}\ .}$

上記のベクトルの場合と同様に、以下が示せる。

${\displaystyle e^{J}*e_{K}=\delta _{K}^{J}\ ,}$

どこ${\displaystyle *}$これはスカラー積です。

と${\displaystyle A}$マルチベクトルでは、スカラー成分を次のように定義できます^{[ 30 ]}

${\displaystyle A^{ij\cdots k}=(e^{k}\wedge \cdots \wedge e^{j}\wedge e^{i})*A\ ,}$

どの点で${\displaystyle A}$コンポーネントブレードに分離できます

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A^{ij\cdots k}e_{i}\wedge e_{j}\wedge \cdots \wedge e_{k}\ .}$

スカラー成分を別の方法で定義することもできます

${\displaystyle A_{ij\cdots k}=(e_{k}\wedge \cdots \wedge e_{j}\wedge e_{i})*A\ ,}$

どの点で${\displaystyle A}$コンポーネントブレードに分離できます

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A_{ij\cdots k}e^{i}\wedge e^{j}\wedge \cdots \wedge e^{k}\ .}$

多ベクトルは代数において直接多重ベクトルとして表現できるため扱いやすいが、多ベクトル上の線形関数のサブグループであり、必要に応じて依然として使用できる。${\displaystyle n}$次元ベクトル空間は、基底によって張られる。${\displaystyle 2^{n}}$要素。マルチベクトルが次のように表される場合${\displaystyle 2^{n}\times 1}$代数の基底の係数の実数列行列の場合、多重ベクトルのすべての線形変換は、行列による乗算として表現できます。${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$実数行列。しかし、このような一般的な線形変換では、スカラーをベクトルに「回転」させるなど、明確な幾何学的解釈を持たないような、任意の等級間の交換が可能になってしまう。

ベクトルからベクトルへの一般的な線形変換は興味深い。誘導された外積代数を保存するという自然な制約の下で、線形変換の外射準同型は、ベクトルの一意の^{[ k ]拡張である。}${\displaystyle f}$はベクトルをベクトルに写像する線形関数であり、その外射は規則に従う関数である。

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r})=f(a_{1})\wedge f(a_{2})\wedge \cdots \wedge f(a_{r})}$

ブレードの場合、線形性を通して代数全体に拡張される。

偶数部分代数${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,0)}$は複素数と同型であり、ベクトルを記述することでそれがわかる。${\displaystyle P}$正規直交基底における成分に関して、基底ベクトルを左から乗算する。${\displaystyle e_{1}}$⁠、結果として

${\displaystyle Z=e_{1}P=e_{1}(xe_{1}+ye_{2})=x(1)+y(e_{1}e_{2}),}$

私たちが特定する${\displaystyle i\mapsto e_{1}e_{2}}$以来

${\displaystyle (e_{1}e_{2})^{2}=e_{1}e_{2}e_{1}e_{2}=-e_{1}e_{1}e_{2}e_{2}=-1.}$

同様に、偶数部分代数${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$基礎${\displaystyle \{1,e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}\}}$は、四元数と同型であり、これは、 を識別することによって確認できます。${\displaystyle i\mapsto -e_{2}e_{3}}$⁠、${\displaystyle j\mapsto -e_{3}e_{1}}$そして​${\displaystyle k\mapsto -e_{1}e_{2}}$⁠ .

すべての結合代数には行列表現があり、3 つのデカルト基底ベクトルをパウリ行列に置き換えると、次の表現が得られます。${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$⁠ :

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}=\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\e_{2}=\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\e_{3}=\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

「パウリベクトル」（二項関係）に点を打つ：

${\displaystyle \sigma =\sigma _{1}e_{1}+\sigma _{2}e_{2}+\sigma _{3}e_{3}}$任意のベクトルを用いて${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$そして、これらを掛け合わせると次のようになります。

${\displaystyle (\sigma \cdot a)(\sigma \cdot b)=a\cdot b+a\wedge b}$（同様に、検査により、${\displaystyle a\cdot b+i\sigma \cdot (a\times b)}$⁠ )

物理学における主な応用例は、ミンコフスキー3+1時空の幾何代数である。${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$時空代数（STA） ^{[ 3 ]} 、またはあまり一般的ではないが、${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$⁠、物理空間の代数（APS）を解釈した。

STAでは時空の点は単にベクトルで表されますが、APSでは、${\displaystyle (3+1)}$⁠次元時空は、代わりにパラベクトル、つまり3次元ベクトル（空間）と1次元スカラー（時間）によって表現されます

時空代数において、電磁場テンソルは双ベクトル表現を持つ。${\displaystyle {F}=({E}+ic{B})\gamma _{0}}$⁠ . ^{[ 32 ]}ここで、${\displaystyle i=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$は単位擬似スカラー（または4次元体積要素）であり、${\displaystyle \gamma _{0}}$は時間方向の単位ベクトルであり、${\displaystyle E}$そして${\displaystyle B}$これらは古典的な電場ベクトルと磁場ベクトル（時間成分はゼロ）です。4つの電流を用いると、${\displaystyle {J}}$⁠、するとマクスウェル方程式は次のようになる。

幾何微積分では、次のようなベクトルの並置${\displaystyle DF}$幾何積を表し、以下のように分解できます。${\displaystyle DF=D\cdot F+D\wedge F}$⁠。こちら${\displaystyle D}$は任意の時空における共変ベクトル微分であり、 に帰着する。${\displaystyle \nabla }$平坦な時空において。${\displaystyle \bigtriangledown }$ミンコフスキにおいて役割を果たす${\displaystyle 4}$⁠ -時空は、${\displaystyle \nabla }$ユークリッド空間において${\displaystyle 3}$⁠ -空間​​であり、ダランベールの式と次の関係にある。${\displaystyle \Box =\bigtriangledown ^{2}}$実際、未来を指す時間的ベクトルで表される観測者を仮定すると、${\displaystyle \gamma _{0}}$我々は持っています

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \bigtriangledown ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\wedge \bigtriangledown =\nabla }$

このローレンツ計量空間におけるブーストは同じ表現を持つ。${\displaystyle e^{\beta }}$ユークリッド空間における回転として、${\displaystyle {\beta }}$は、時間と空間の方向によって生成される双ベクトルであるのに対し、ユークリッドの場合は、2つの空間方向によって生成される双ベクトルであり、この「類似性」はほぼ同一であると言える。

ディラック行列は、${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$⁠、物理学者が使用する行列表現との等価性を示しています。

均質モデルとは一般的に、ベクトル空間の1次元部分空間の要素が幾何学的構造の点を表す射影表現を指す。

空間の幾何代数において${\displaystyle n}$寸法、ローターは一連の変換を表し、${\displaystyle n(n-1)/2}$回転に対応する自由度、例えば、${\displaystyle 3}$いつ${\displaystyle n=3}$そして${\displaystyle 6}$いつ​${\displaystyle n=4}$幾何代​​数は射影空間をモデル化するためによく使用されます。つまり、同次モデルとして、点、線、平面などは、可逆スカラー因子だけ異なる代数の要素の同値類によって表現されます。

次元空間内のローター${\displaystyle n+1}$持っている$n(n-1)/2+n$自由度、回転と並進の自由度の合計と同じ数${\displaystyle n}$次元空間。