八元数

八元数
シンボル	${\displaystyle \mathbb {O} }$
タイプ	超複素 代数
ユニット	e 0、...、e 7
乗法的な恒等式	0です
主な特性	非可換 非結合
共通システム
${\displaystyle \mathbb {N} }$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 有理数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 実数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 複素数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ クォータニオン あまり一般的ではないシステム ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ セデニオン ${\displaystyle \mathbb {T} }$ トリギンタデュオニオン

数学において、八元数は実数上の正規除算代数であり、超複素数システムの一種です。八元数は通常、太字のOまたは黒板太字を使用して大文字の O で表されます。八元数は 8次元で、四元数の 2 倍の次元数です。八元数は非可換かつ非結合的ですが、結合性のより弱い形式、つまり選択性を満たしています。また、べき結合性もあります。 ${\displaystyle \mathbb {O} }$

八元数は、四元数や複素数ほど広く研究され使用されているが、それほどよく知られていない。八元数は、例外リー群などの数学における例外構造^{[説明が必要]に関連している。八元数は、}弦理論、特殊相対性理論、量子論理などの分野で応用されている。ケイリー・ディクソン構成を八元数に適用すると、六元数が得られる。

八元数は、友人のウィリアム・ローワン・ハミルトンの四元数の発見に触発されて、1843年12月にジョン・T・グレイブスによって発見された。八元数を発見する少し前、グレイブスは1843年10月26日にハミルトンに宛てた手紙の中で、「あなたの錬金術で3ポンドの金を作ることができるのなら、なぜそこで止まらなければならないのか？」と書いている。^[1]

グレイブスは自身の発見を「オクターブ」と呼び、1843年12月26日付けのハミルトン宛の手紙の中でそれについて言及している。 ^[2]彼はアーサー・ケイリーの論文より少し遅れて初めて自分の研究結果を発表した。 ^[3]八元数はケイリーによって独立に発見され^{[4] 、}ケイリー数またはケイリー代数と呼ばれることもある。ハミルトンはグレイブスの発見の初期の歴史について記述している。^[5]

八元数は実数のオクテット（または8つの組）と考えることができます。すべての八元数は単位八元数の実数線形結合です。

${\displaystyle {\bigl \{}e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}{\もっと大きい \}}\ ,}$

ここでe _{0 は}スカラーまたは実数要素であり、実数1と同一視される。つまり、すべての八元数x は次の形式で表すことができる 。

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+ x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7}\ ,}$

実係数x _iを持つ。

八元数を定義するより体系的な方法は、ケイリー・ディクソン構成によるものです。ケイリー・ディクソン構成を四元数に適用すると八元数が生成され、次のように表すことができます。^[6]${\displaystyle \mathbb {O} ={\mathcal {CD}}(\mathbb {H} ,1)}$

四元数が複素数のペアとして定義できるのと同様に、八元数も四元数のペアとして定義できます。加算はペアごとに定義されます。2つの四元数ペア( a , b )と( c , d )の積は次のように定義されます。

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})\ ,}$

ここで、z * は四元数 zの共役を表す。この定義は、8つの単位八元数が次のペアと同一視される場合の上記の定義と同等である。

(1, 0)、( i , 0)、( j , 0)、( k , 0)、(0, 1)、(0, i )、(0, j )、(0, k )

八元数の加算と減算は、四元数と同様に、対応する項とその係数を加算および減算することによって行われます。

八元数の乗算はより複雑です。乗算は加算に対して分配的であるため、2 つの八元数の積は、やはり四元数と同様に、すべての項の積を合計することで計算できます。各項の積は、係数の乗算と単位八元数の乗算表で与えられます。これは次の表のようになります ( 1845 年にアーサー ケイリー、1843 年にジョン T. グレイブスによって与えられました)。^[7]

表の非対角要素のほとんどは反対称であり、主対角上の要素と、e ₀がオペランドで ある行と列を除いて、ほぼ歪対称行列になります。

表は次のように要約できる。^[8]

${\displaystyle e_{\ell }e_{m}={\begin{cases}e_{m},&{\text{if }}\ell =0\\e_{\ell },&{\text{if }}m=0\\-\delta _{\ell m}e_{0}+\varepsilon _{\ell mn}e_{n},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ここで、δ _ℓmはクロネッカーのデルタ（ℓ = mの場合は1、ℓ ≠ mの場合は0）であり、ε _ℓmnは完全に反対称なテンソルで、 ℓ mn = 1 2 3、1 4 5、1 7 6、2 4 6、2 5 7、3 4 7、3 6 5の場合、およびインデックスの任意の偶数の順列の場合は値が+1になり、リストされた 3 つの組の任意の奇数の順列の場合は値が-1 になります（例：ただし、再び）。3 つのインデックスのうちの 2 つが同じ場合は常に、ε _ℓmn = 0です。 ${\displaystyle \\epsilon_{123}=+1\}$${\displaystyle \\epsilon_{132}=\varepsilon_{213}=-1\ ,}$${\displaystyle \\epsilon_{312}=\varepsilon_{231}=+1\}$

ただし、上記の定義は一意ではありません。これは、e ₀ = 1の八元数乗算の 480 通りの定義のうちの 1 つにすぎません。他の定義は、非スカラー基底要素{ e ₁、e ₂、e ₃、e ₄、e ₅、e ₆、e ₇ }の符号を並べ替えて変更することで得られます 。480通りの異なる代数は同型であり、どの乗算規則が使用されるかを考慮する必要はほとんどありません。

これら 480 個の定義はそれぞれ、点の 7 サイクル(1 2 3 4 5 6 7)の下で符号まで不変であり、各 7 サイクルには、符号と順序の反転が異なる 4 つの定義があります。一般的な選択は、三角乗算図、または以下のファノ平面を使用して、 e ₁ e ₂ = e ₄で 7 サイクルの下で不変な定義 (1234567) を使用することです。このファノ平面には、1 2 4ベースの 7 サイクルのトライアドのソートされたリストと、 e _nと形式の両方で関連する乗算行列も表示されます。 ${\displaystyle \ \mathrm {IJKL} \ }$

時々使用されるこのバリエーションは、基底の元を、位数 7 の有限体上の射影直線の元∞、 0、 1、 2、 ...、 6 でラベル付けすることです。この場合、乗算はe _∞ = 1およびe ₁ e ₂ = e ₄で与えられ、これから得られるすべての式は、すべての添え字に定数 ( 7を法とする) を追加することによって得られます。言い換えると、7 つの 3 つ組(1 2 4) (2 3 5) (3 4 6) (4 5 0) ( 5 6 1) (6 0 2) (0 1 3) を使用します。これらは、2 つの要素を持つガロア体GF (2)上の長さ 7 の平方剰余符号の非ゼロ符号語です。 すべての下付き文字に 7 を法とする定数を加えることで得られる 7 次対称性があり、またすべての下付き文字に 7 を法とする平方剰余 1、2、4 のいずれかを乗じることで得られる 3 次対称性もあります。 ^{[9] [10]}これらの 7 つの 3 つ組は、7 つの元の有限体GF(7)の巡回 (7,3,1)差集合 を形成する非ゼロの正方形の集合 {1,2,4} の 7 つの変換として考えることもできます。

上に示したIJKL 乗算行列を含むファノ平面には、符号(− − − −)を持つ幾何代数基底も含まれており、次の 7 つの四元数 3つ組で表されます (スカラー単位元は省略)。 ${\displaystyle e_{n}}$

( I、j、k ) 、 ( i、J、k ) 、 ( i、j、K ) 、 ( I、J、K ) 、 ( ★ I、i、l ) 、 (★ J、j、l ) 、 (★ K、k、l )

または代わりに:

${\displaystyle (\sigma _{1},j,k),(i,\sigma _{2},k),(i,j,\sigma _{3}),(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}),}$（★★★​​${\displaystyle \sigma _{1},i,l),(}$${\displaystyle \sigma _{2},j,l),(}$${\displaystyle \sigma _{3},k,l)}$

ここで、小文字の項目{i、j、k、l}はベクトル（それぞれ { } など）であり、大文字の項目 { I、J、K }={ σ ₁、σ ₂、σ ₃ } は2 重ベクトル（それぞれ 、など）であり、ホッジ スター演算子★ = ijkl は擬似スカラー要素です。★が単位元と等しくなるように強制すると、乗算は結合的ではなくなりますが、★を乗算表から削除して八元数の乗算表にすることができます。 ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}}$${\displaystyle \gamma _{\{1,2,3\}}\gamma _{0}}$

★ = ijklの結合性を維持し、4 次元幾何代数を八元数に縮減しないことで、掛け算表全体を★の方程式から導くことができます。上記の例のガンマ行列を考えてみましょう。5 番目のガンマ行列 ( ) を定義する式は、それがガンマ行列の 4 次元幾何代数の ★であることを示しています。${\displaystyle \gamma _{5}}$

単位八元数の積を覚えるための便利な記憶法は、ケーリーとグレイブスの乗法表を表す図で与えられます。 ^{[7] [12]} 7つの点と7つの直線（1、2、3を通る円は直線と見なされます）を持つこの図は、ファノ平面と呼ばれます。直線には方向性があります。7つの点は、の7つの標準的な基底元に対応します（下記の定義を参照）。異なる点の各ペアは一意の直線上にあり、各直線は正確に3つの点を通過します。 ${\displaystyle \ \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\ \mathbb {O} \ {\bigr ]}\ }$

( a , b , c )を矢印の方向で指定された順序で直線上にある点の3つ組とします。乗算は次のように表されます 。

ab = cかつba = − c

巡回順列とともに。これらの規則は

• 1は乗法単位元であり、
• ${\displaystyle {e_{i}}^{2}=-1\ }$図の各点について

八元数の乗法構造を完全に定義します。 7 行のそれぞれは、四元数Hと同型の の部分代数を生成します。 ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

八元数 の共役

${\displaystyle x=x_{0}\ e_{0}+x_{1}\ e_{1}+x_{2}\ e_{2}+x_{3}\ e_{3}+x_{4}\ e_{4}+x_{5}\ e_{5}+x_{6}\ e_{6}+x_{7}\ e_{7}}$

は次のように与えられる。

${\displaystyle x^{*}=x_{0}\ e_{0}-x_{1}\ e_{1}-x_{2}\ e_{2}-x_{3}\ e_{3}-x_{4}\ e_{4}-x_{5}\ e_{5}-x_{6}\ e_{6}-x_{7}\ e_{7}~.}$

共役は の反転であり、( xy )* = y * x *を満たします(順序の変化に注意)。 ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

xの実部は次のように与えられる 。

${\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}\ e_{0}}$

そして虚数部は

${\displaystyle {\frac {x-x^{*}}{2}}=x_{1}\ e_{1}+x_{2}\ e_{2}+x_{3}\ e_{3}+x_{4}\ e_{4}+x_{5}\ e_{5}+x_{6}\ e_{6}+x_{7}\ e_{7}~.}$

すべての純虚数八元数の集合は、7 次元の部分空間を張る。 ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ ,}$${\displaystyle \ \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\ \mathbb {O} \ {\bigr ]}~.}$

八元数の共役は次の式を満たす。

${\displaystyle -6x^{*}=x+(e_{1}x)e_{1}+(e_{2}x)e_{2}+(e_{3}x)e_{3}+(e_{4}x)e_{4}+(e_{5}x)e_{5}+(e_{6}x)e_{6}+(e_{7}x)e_{7}~.}$

八元数とその共役八元数の積x * x = xx *は常に非負の実数になります。

${\displaystyle x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}~.}$

これを用いると、八元数のノルムは次のように定義できる。

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}~.}$

このノルムは、 ℝ ⁸上の標準的な 8 次元ユークリッドノルムと一致します。

上のノルムの存在は、のあらゆる非ゼロ元に対して逆元が存在することを意味する。x ≠ 0の逆元、すなわちxx ⁻¹ = x ⁻¹ x = 1を満たす唯一の八元数x ⁻¹は、次のように与えられる 。${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {O} ~.}$

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}~.}$

八元数乗法は可換ではない。

e _i e _j = − e _j e _i ≠ e _j e _{i i} 、 i、 jが異なっており、かつゼロでない場合

結合性もない:

i、j、kが異なり、ゼロ以外で、e _i e _j ≠ ± e _kである場合、( e _i e _j ) e _k = − e _i ( e _j e _k ) ≠ e _i ( e _j e k ₎となります。

八元数は、結合性のより弱い形式を満たします。つまり、八元数は選択的です。つまり、任意の 2 つの元によって生成される部分代数は結合的です。実際、 の任意の 2 つの元によって生成される部分代数は、結合性を持つℝ、ℂ、またはℍと同型であることを示すことができます。八元数は結合性がないため、実数、複素数、四元数とは異なり、 ℝ上の行列環の部分代数で表すことはできません。${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

八元数は、 ℝ、ℂ、ℍに共通する重要な性質を1つ保持している。すなわち、 上のノルムは${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

${\displaystyle \|xy\|=\|x\|\ \|y\|~.}$

この式は、八元数が合成代数を形成することを意味します。ケーリー・ディクソン構成によって定義される高次元代数（六元数から始まる）はすべてこの特性を満たしません。それらはすべて零因子を持ちます。

乗法係数を持つより広い数体系も存在します (たとえば、16 次元の円錐セデニオン)。これらの係数はノルムとは別に定義され、ゼロの約数も含まれています。

ハーウィッツによって示されたように、ℝ、ℂ、またはℍ、およびは、実数上の唯一のノルム除算代数です。これらの4つの代数は、実数上の唯一の代替の有限次元除算代数でもあります（同型 を除いて）。${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

結合法則がないので、 の非ゼロ要素はグループを形成しません。ただし、ループ、具体的にはMoufang ループを形成します。 ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

2つの八元数xとyの交換子は次のように与えられる。

${\displaystyle [x,y]=xy-yx~.}$

これは反対称かつ虚数である。これを虚数部分空間上の積としてのみ考えると、その空間上の積、すなわち7次元の交差積が定義され、次式で表される。 ${\displaystyle \ \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\ \mathbb {O} \ {\bigr ]}\ }$

${\displaystyle x\times y={\tfrac {\ 1\ }{2}}\ (xy-yx)~.}$

3次元の外積と同様に、これはxとyに直交するベクトルであり、大きさは

${\displaystyle \|x\times y\|=\|x\|\ \|y\|\ \sin \theta ~.}$

しかし、八元数積と同様に、それは一意に定義されるわけではない。代わりに、八元数積の選択に応じて、さまざまな外積が存在する。^[13]

八元数の自己同型Aは、次を満たす 可逆な線形変換である。${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

${\displaystyle A(xy)=A(x)\ A(y)~.}$

のすべての自己同型集合はG ₂と呼ばれる群を形成する。^[14]群G ₂は、14次元の単連結でコンパクトな実リー群である。この群は例外的なリー群の中で最小であり、 8次元の実スピノル表現で選択された特定のベクトルを保存するSpin(7)の部分群と同型である。群Spin(7)は、次に説明する同位体群の部分群である。 ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

参照: PSL(2,7) –ファノ平面の 自己同型群。

代数の同位体とは、 xy = zならばa ( x ) b ( y ) = c ( z )となるような、全単射線型写像a、b、cの三つ組です。a = b = cの場合、これは自己同型と同じです。 代数の同位体群は、自己同型群を部分群として含む、すべての同位体の群です。

八元数の同位体はスピン₈（ℝ）群であり、a、b、cは3つの8次元表現として機能します。^[15] cが恒等元を固定する要素のサブグループがサブグループスピン₇（ℝ）であり、 a、b、cがすべて恒等元を固定するサブグループは_{自己同型群}G2です。

八元数は他の数学的実体の分類や構成において重要な役割を果たしている。例えば、例外リー群 G ₂は八元数の自己同型群であり、他の例外リー群F ₄、E ₆、E ₇、E ₈は八元数を用いて定義される特定の射影平面の等長写像として理解することができる。 ^{[16]対称化された行列積を備えた}自己随伴3 × 3 八元数行列の集合は、アルバート代数を定義する。離散数学では、八元数はリーチ格子の基本的な導出を提供するため、散在単純群と密接に関連している。^{[17] [18]}

八元数の物理学への応用は、主に推測の域を出ない。例えば、1970年代には、クォークを八元ヒルベルト空間で理解しようとする試みがなされた。^[19]八元数と、ノルム分割代数が4つしか存在できないという事実は、超対称量子場理論を構築できる時空次元に関係していることが知られている。 ^{[20] [21]}また、例えば「ディクソン代数」を使用して、八元数構成から素粒子物理学の標準モデルを得ようとする試みがなされてきた。 ^{[22] [23]} ${\displaystyle \ \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} \otimes \mathbb {O} ~.}$

八元数はブラックホールエントロピー、量子情報科学、^{[24] [25]} 弦理論、^[26]画像処理の研究でも登場している。^[27]

八元数はロボット工学における手と目の較正問題の解決に使われてきた。^[28]

ディープオクトニオンネットワークは機械学習アプリケーションにおいて効率的かつコンパクトな表現手段を提供する。^{[29] [30]}

八元数の整形式を選択する自然な方法がいくつかあります。最も単純な方法は、座標が整数である八元数を取ることです。これにより、グラブス八元数と呼ばれる整数上の非結合代数が得られます。ただし、これは最大順序ではありません(環理論の意味で)。これを含む最大順序は 7 つあります。これらの 7 つの最大順序はすべて、自己同型の下では同等です。「整形式八元数」という語句は、通常、これらの 7 つの順序の 1 つを固定して選択することを指します。

これらの最大順序は、Kirmse (1924)、Dickson、Bruck によって次のように構築されました。8 つの基底ベクトルに、7 つの要素を持つ体上の射影直線の点をラベル付けします。まず、「Kirmse 整数」を作成します。これは、座標が整数または半整数で、16 の集合のいずれかの半整数 (つまり、奇数の半分) である八元数で構成されます。

∅ (∞124) (∞235) (∞346) (∞450) (∞561) (∞602) (∞013) (∞0123456) (0356) (1460) (2501) (3612) (4023) (5134) ) (6245)

∅、(∞124)で与えられる 2 つの要素の体上の長さ 8 の拡張平方剰余符号と、7 を法とする定数を加えた場合のその像、およびこれら 8 つのセットの補数。次に、無限大と他の任意の 1 つの座標を入れ替えます。この操作により、Kirmse 整数の別のセットへの全単射が作成され、これが最大順序になります。これを行うには 7 つの方法があり、7 つの最大順序が得られますが、これらはすべて、7 つの座標 0123456 の巡回置換で同等です。(Kirmse は、Kirmse 整数も最大順序を形成すると誤って主張したため、最大順序は 7 つではなく 8 つあると考えましたが、Coxeter (1946) が指摘したように、最大​​順序は乗算で閉じていません。この間違いはいくつかの公開された論文で発生しています。)

キルムス整数と 7 つの最大順序はすべて、係数1 ⁄ √ 2で再スケールされたE ₈格子に等長です。特に、これらの順序のそれぞれには、最小の非ゼロノルム 1 の要素が 240 個あり、順序 240 の Moufang ループを形成します。

整八元数には「剰余割り算」の性質があります。つまり、整八元数aとb ≠ 0が与えられたとき、 a = qb + rでqとr を求めることができます。ここで、剰余r のノルムはbのノルムよりも小さくなります。

整八元数では、すべての左イデアルと右イデアルは 2 面イデアルであり、2 面イデアルは主イデアル nOのみです。ここで、nは非負の整数です。

整式八元数には素因数分解の一種がありますが、八元数は結合法則がないため、八元数の積は積を行う順序によって異なるため、簡単には述べられません。既約な整式八元数は素数ノルムのものとまったく同じであり、すべての整式八元数は既約な八元数の積として表すことができます。より正確には、ノルムmnの整式八元数は、ノルムmとnの整式八元数の積として表すことができます。

整八元数の自己同型群は位数12,096の群G ₂ ( F ₂ )であり、これはユニタリ群² A ₂ (3 ² )と同型の指数2の単純部分群を持つ。整八元数の同位体群は、 E ₈格子の回転群の完全な二重被覆である。

Wikiquoteに八元数に関する引用句があります。

• Koutsoukou-Argyraki、Angeliki。八元数（Isabelle/HOL における形式的証明の開発、形式的証明のアーカイブ）
• 「ケーリー数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Wilson, RA (2008)、八元数(PDF)、純粋数学セミナーノート