限界安定性

力学系理論と制御理論では、線形 時不変システムは、漸近安定でも不安定でもない場合、限界安定である。大まかに言えば、システムが常に特定の状態（定常状態と呼ばれる）に戻ってその近くに留まる場合、システムは安定であり、境界がなく、どの状態からもどんどん離れていく場合、不安定である。限界シ​​ステムは、中立安定性を持つとも呼ばれ、^[1]これら2つのタイプの中間であり、変位すると、共通の定常状態の近くに戻ることも、開始した場所から無制限に離れることもない。

限界安定性は、不安定性と同様に、制御理論が回避しようとする特徴です。つまり、何らかの外力によってシステムが乱されたときに、システムが望ましい状態に戻ることを望みます。そのためには、適切に設計された制御アルゴリズムを使用する必要があります。

計量経済学では、観測された時系列に単位根が存在し、それらが限界的に安定していると、適切な技術を使用してシステムを安定したシステムに変換しない限り、独立変数が従属変数に与える影響に関する回帰結果が無効になる可能性があります。

同次 連続 線形時不変システムは、システムの伝達関数における各極（固有値）の実部が非正であり、 1 つ以上の極の実部がゼロであり、実部がゼロのすべての極が単純根である（つまり、虚軸上の極がすべて互いに異なる）場合にのみ、限界安定です。対照的に、すべての極の実部が厳密に負である場合、システムは漸近的に安定します。システムが安定でも限界安定でもない場合は、不安定です。

システムが状態空間表現である場合、ジョルダン正規形を導出することによって限界安定性を分析することができます。^[2]実部がゼロの極に対応するジョルダンブロックがスカラーである場合にのみ、システムは限界安定です。

同次離散時間線形時間不変システムは、伝達関数の極 (固有値) のいずれかの最大振幅が 1 であり、振幅が 1 に等しい極がすべて異なる場合にのみ、限界的に安定します。つまり、伝達関数のスペクトル半径は 1 です。スペクトル半径が 1 未満の場合、システムは漸近的に安定します。

簡単な例として、1階線形差分方程式を1つ挙げます。状態変数xが次のように変化すると します。

${\displaystyle x_{t}=ax_{t-1}}$

パラメータa > 0 の場合。システムが値に摂動すると、その後の値のシーケンスは次のようになります。a < 1の場合、これらの数値は開始値に関係なく0に近づいていきますが、 a > 1の場合、数値は限りなく大きくなります。しかし、a = 1 の場合、数値はどちらの動作も行いません。代わりに、xの将来の値はすべて値に等しくなります。したがって、 a = 1の場合は限界安定性を示します。 ${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle ax_{0},\,a^{2}x_{0},\,a^{3}x_{0},\,\dots .}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle x_{0}.}$

限界安定システムとは、有限の大きさのインパルスを入力として与えられた場合、「爆発」して無制限の出力を与えることはなく、出力がゼロに戻ることもありません。出力の制限されたオフセットまたは振動は永久に持続するため、一般に最終的な定常状態の出力はありません。連続システムに、実部がゼロの極の周波数に等しい周波数の入力が与えられた場合、システムの出力は無限に増加します（これは純粋共振として知られています^{[3] ）。これは、システムが}BIBO 安定であるためには、極の実部が厳密に負でなければならない（非正だけではいけない）理由を 説明しています。

虚数極を持つ連続システム、つまり極の実部がゼロのシステムは、出力に持続的な振動を生成します。たとえば、自動車のサスペンション システム (質量- バネ - ダンパーシステム) などの減衰のない 2 次システムは、ダンパーが取り除かれ、バネが理想的、つまり摩擦がないため、理論上は一度乱されると永久に振動します。別の例としては、摩擦のない振り子があります。原点に極があるシステムも限界的に安定していますが、この場合は虚数部もゼロ ( jw  = 0はw = 0 rad/sec を意味する)であるため、応答に振動は発生しません 。このようなシステムの例としては、摩擦のある表面上の質量が挙げられます。横方向の衝撃が加わると、質量は移動し、ゼロに戻ることはありません。ただし、摩擦により質量は静止し、横方向の動きは制限されたままになります。

システムが限界的に安定であるためには、限界極の位置が虚軸または単位円（それぞれ連続時間システムと離散時間システムの場合）上に正確に位置する必要があるため、限界的安定性がシステムの固有の理論的特徴でない限り、この状況は実際には発生しない可能性があります。

限界安定性は確率力学の文脈でも重要な概念である。例えば、いくつかのプロセスは離散時間で与えられた ランダムウォークに従うかもしれない。

${\displaystyle x_{t}=x_{t-1}+e_{t},}$

ここで、 はiid誤差項です。この方程式は単位根（特性方程式の固有値の値が 1 ）を持ち、したがって限界安定性を示します。そのため、このような方程式を含むシステムを経験的にモデル化するには、特別な時系列手法を使用する必要があります。 ${\displaystyle e_{t}}$

限界的に安定したマルコフ過程は、ヌル再帰クラスを持つ過程です。

• リャプノフ安定性
• 指数関数的安定性