図1。このアルガンド図は、 平面 上にある複素数 を表しています。平面上の各点について、argは 角度を返す関数です。φ {\displaystyle \varphi } 数学 （特に複素解析 ）において、複素数 z の偏角は arg( z ) と表記され、正の実 軸と原点と z を結ぶ直線との間の角度 であり、複素平面 上の点として表され、次のように示されます。φ {\displaystyle \varphi } 1に示すように、慣例として、正の実軸 は右向きに、正の虚 軸は上向きに描かれ、正の実部を持つ複素数は反時計回りの偏 角を持ち、符号は正であるとみなされます。
実数値の角度を考慮すると、引数は非ゼロ複素数に作用する多価関数です。この関数の 主値 は一価で、通常は区間(− π , π ] 内にある引数の唯一の値として選択されます。[ 1 ] [ 2 ] arg( z ) と表記し、その主値をArg( z ) と表記しますが、一部の資料ではこれらの記号の大文字と小文字が入れ替わっています。
意味 図2. 議論の2つの選択肢φ {\displaystyle \varphi } 非ゼロ複素数z = x + iy (arg( z ) と表記) は、2 つの同等な方法で定義されます。
幾何学的には、複素平面において、2D極角として φ {\displaystyle \varphi } 正の実軸からz を表すベクトルまでの距離。数値はラジアン単位 の角度で表され、反時計回りに測定すると正の値になります。 代数的には、任意の実数φ {\displaystyle \varphi } z = r （ コス φ + 私 罪 φ ） = r e 私 φ {\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }} ある正の実数r に対して(オイラーの公式を 参照)。量rは zの 絶対値 | z | r = x 2 + y 2 。 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}
ゼロの引数は通常未定義のままです。絶対値を表す「大きさ」と、引数を表す「位相」[3][1]という名称は、 同義語れる こと があり ます 。古い [ a ] [ 4 ]
どちらの定義においても、ゼロでない複素数の引数には多くの可能な値があることがわかります。まず、幾何学的な角度として考えると、円全体を回転させても点が変わらないことは明らかです。したがって、2π ラジアン （完全な回転 ）の整数倍だけ異なる角度は同じであり、これは右側の図2に反映されています。同様に、sin cos 周期性 から、2番目の定義もこの性質を持ちます。
元本価値 図3。1 + i Arg は π/4 である。ここでの赤い線は分岐切断線であり、図4で互いに垂直に並んでいる2本の赤い線に対応する。 原点を中心とした完全な回転では複素数は変化しないため、φ {\displaystyle \varphi } 多値関数 （集合値関数） を表しています。f （ x 、 y ） = 引数 （ x + 私 y ） {\displaystyle f(x,y)=\arg(x+iy)}
明確に定義された 関数が必要な場合、通常選択されるのは主値 区間 (−π , π ] ラジアン の値、つまり−πラジアンから π ラジアン までの範囲（−π ラジアン自体は除く）（等価的に、−180 度から +180度までの 範囲
一部の著者は、主値の範囲を閉区間と開区間[ 0, 2 π )
表記法 主値の先頭文字が大文字になる場合があり、例えばArg z のようになります。特に、引数の一般形も考慮されている場合によく見られます。表記法は様々であるため、arg とArg は 異なるテキストで入れ替わる場合があることに注意してください。
引数のすべての可能な値の集合は、Arg を用いて次のように表すことができます。 引数 （ z ） = { アルグ （ z ） + 2 π n ∣ n ∈ Z } 。 {\displaystyle \arg(z)=\{\operatorname {Arg} (z)+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}.}
コンピュータ言語における関数の実装
Wolfram言語 では、次のようになりますArg[z]。[ 5 ]
Arg[x + y I]= { 0 もし x = 0 そして y = 0 、 未定義 もし | x | = ∞ そして | y | = ∞ 、 0 もし x = ∞ そして | y | ≠ ∞ 、 π もし x = − ∞ そして | y | ≠ ∞ 、 ± π 2 もし y = ± ∞ そして | x | ≠ ∞ 、 アルグ （ x + y 私 ） さもないと 。 {\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0,\\[5mu]{\text{undefined}}&{\text{if }}|x|=\infty {\text{ and }}|y|=\infty ,\\[5mu]0&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}|y|\neq \infty ,\\[5mu]\pi &{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}|y|\neq \infty ,\\[5mu]\pm {\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}y=\pm \infty {\text{ and }}|x|\neq \infty ,\\[5mu]\operatorname {Arg} (x+yi)&{\text{それ以外の場合}}.\end{cases}} または言語のArcTan:
Arg[x + y I]= { 0 もし x = 0 そして y = 0 、 ArcTan[x, y] さもないと 。 {\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0,\\[5mu]{\text{ArcTan[x, y]}}&{\text{otherwise}}.\end{cases}}} ArcTan[x, y]はアタン2 （ y 、 x ） {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)} ArcTan[0, 0]はIndeterminate(つまり、まだ 定義されています) ですが、 はArcTan[Infinity, -Infinity]何も返しません (つまり、未定義 です)。
カエデ Maple の動作はWolfram 言語とargument(z)同じですが、も返しますArg[z]argument(z)π {\displaystyle \pi } z特殊な浮動小数点値です−0.。[ 6 ] アタン2 {\displaystyle \operatorname {atan2} }
MATLAB MATLAB のangle(z)動作はWolfram 言語 と 同じ が 、 Arg[z]
{ 1 π 4 もし x = ∞ そして y = ∞ 、 − 1 π 4 もし x = ∞ そして y = − ∞ 、 3 π 4 もし x = − ∞ そして y = ∞ 、 − 3 π 4 もし x = − ∞ そして y = − ∞ 。 {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=-\infty ,\\[5mu]{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=-\infty .\end{cases}}}
MapleやWolfram言語とは異なり、MATLABのatan2(y, x)は に相当しますangle(x + y*1i)。つまり、atan2(0, 0)は です。0 {\displaystyle 0}
アイデンティティ 主値Arg を定義する主な動機の 1 つは、複素数をモジュラス引数形式で記述できるようにすることです。したがって、任意の複素数z に対して、 z = | z | e 私 アルグ z 。 {\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\operatorname {Arg} z}.}
これは、 z がゼロでない場合にのみ有効ですが、 z = 0アルグ 0 {\displaystyle \operatorname {Arg} 0} 未定義というよりは、不定形 とみなされる。
さらにいくつかの恒等式が続く。z 1 z 2 が アルグ （ z 1 z 2 ） ≡ アルグ z 1 + アルグ z 2 （ モジュール （ − π 、 π ] ） 、 アルグ z 1 z 2 ≡ アルグ z 1 − アルグ z 2 （ モジュール （ − π 、 π ] ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})&\equiv \operatorname {Arg} z_{1}+\operatorname {Arg} z_{2}{\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}},\\\operatorname {Arg} {\frac {z_{1}}{z_{2}}}&\equiv \operatorname {Arg} z_{1}-\operatorname {Arg} z_{2}{\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}},\end{aligned}}} （ モジュール （ − π 、 π ] ） {\displaystyle (\operatorname {mod} \left(-\pi ,\pi \right])} は、必要に応じて 2π の 整数倍を加算または減算して、値を(−π , π ] ラジアン の区間に収めることを意味します。特に、 アルグ （ − z ） ≡ アルグ z + π { 1 、 私は z < 0 、 サイン z 、 私は z = 0 、 − 1 、 私は z > 0. {\displaystyle \operatorname {Arg} (-z)\equiv \operatorname {Arg} z+\pi {\begin{cases}1,&\operatorname {Im} z<0,\\\operatorname {sgn} z,&\operatorname {Im} z=0,\\-1,&\operatorname {Im} z>0.\\\end{cases}}}
z ≠ 0n が任意の整数である場合、 [ 1 ] アルグ （ z n ） ≡ n アルグ z （ モジュール （ − π 、 π ] ） 。 {\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg} z{\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}}.}
例 アルグ （ − 1 − 私 私 ） = （ アルグ （ − 1 − 私 ） − アルグ 私 = − 3 π 4 − π 2 = − 5 π 4 ） （ モジュール （ − π 、 π ] ） = 3 π 4 。 {\displaystyle \operatorname {Arg} \left({\frac {-1-i}{i}}\right)=\left(\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} i=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}\right){\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}}={\frac {3\pi }{4}}.}
複素対数を使用する からz = | z | e 私 アルグ z {\displaystyle z=|z|e^{i\operatorname {Arg} z}} 私 アルグ z = ln z | z | {\displaystyle i\operatorname {Arg} z=\ln {\frac {z}{|z|}}} アルグ （ z ） = 私は ln z | z | = 私は ln z {\displaystyle \operatorname {Arg} (z)=\operatorname {Im} \ln {\frac {z}{|z|}}=\operatorname {Im} \ln z} 複素対数が 利用可能な場合に便利です。
分化 引数関数は複素微分可能ではない。 リム z → z 0 引数 z − 引数 z 0 z − z 0 {\displaystyle \lim \limits _{z\to z_{0}}{\frac {\arg z-\arg z_{0}}{z-z_{0}}}} z 0 ∈ C {\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} } Wirtinger微分を 適用することができる。対数恒等式から始めよう。 ln z = Ln | z | + 私 引数 z 。 {\displaystyle \ln z=\operatorname {Ln} |z|+i\arg z.} | z | 2 = z z ¯ {\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}} ln z = 1 2 Ln z + 1 2 Ln z ¯ + 私 引数 z 。 {\displaystyle \ln z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} z+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} {\bar {z}}+i\arg z.} ∂ ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}} 1 z = 1 2 1 z + 0 + 私 ∂ ∂ z 引数 z 。 {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{z}}+0+i{\frac {\partial }{\partial z}}\arg z.} ∂ ∂ z 引数 z = − 私 2 z {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}\arg z={\frac {-i}{2z}}} ∂ ∂ z ¯ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}} 0 = 0 + 1 2 1 z ¯ + 私 ∂ ∂ z ¯ 引数 z 。 {\displaystyle 0=0+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\bar {z}}}+i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\arg z.} ∂ ∂ z ¯ 引数 z = 私 2 z ¯ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\arg z={\frac {i}{2{\bar {z}}}}} ∂ 引数 （ z ） = − 私 2 z d z 、 {\displaystyle \partial \arg(z)={\frac {-i}{2z}}\,dz,} ∂ ¯ 引数 （ z ） = 私 2 z ¯ d z ¯ 。 {\displaystyle {\bar {\partial }}\arg(z)={\frac {i}{2{\bar {z}}}}\,d{\bar {z}}.} 外微分 が存在し、それはそれらの和で与えられる。 d 引数 （ z ） = − 私 2 z d z + 私 2 z ¯ d z ¯ 。 {\displaystyle d\arg(z)={\frac {-i}{2z}}\,dz+{\frac {i}{2{\bar {z}}}}\,d{\bar {z}}.} 微分形式 であり、円の第1ド・ラームコホモロジーの生成元である。 H d R 1 （ S 1 ） {\displaystyle H_{dR}^{1}(S^{1})} d 引数 （ z ） = − 私 2 z d z + 私 2 z ¯ d z ¯ = x d y − y d x x 2 + y 2 、 {\displaystyle d\arg(z)={\frac {-i}{2z}}\,dz+{\frac {i}{2{\bar {z}}}}\,d{\bar {z}}={\frac {x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}}},} ∮ S 1 d 引数 （ z ） = 2 π > 0 {\displaystyle \oint \limits _{S^{1}}d\arg(z)=2\pi >0}
注記 ↑ 例えば、 Lars Ahlfors の『複素解析：1 つの複素変数の解析関数の理論入門』 （1979 年）では、振幅は複素数の引数を指していました。
参考文献 1 2 3 4 Weisstein, Eric W. 「複雑な議論」 . mathworld.wolfram.com . 2020年8月31日 取得 。 ↑ 「モジュールと引数」 。mas -coursebuild.ncl.ac.uk 。 ニューカッスル大学。 2025年1月5日 取得 。 ↑ 数学辞典 (2002)。フェーズ 。 ↑ 「複素数の絶対値と偏角」 Byju's 。 2025年 1月18日 取得 。 ↑ "Arg" . Wolfram Language Documentation . 2024-08-30 に取得. ↑ 「引数 - Maple ヘルプ」 。 ↑ 「位相角 – MATLAB の角度」 。 ↑ 「4象限逆正接 – MATLAB atan2」 。
参考文献 アールフォルス、ラース（1979）。複素解析：1変数複素関数の理論入門 （第3 版）。ニューヨーク、ロンドン：マグロウヒル。ISBN 0-07-000657-1 。 ポンヌスワミー、S. (2005).複素解析の基礎 （第2 版）. ニューデリー、ムンバイ：ナロサ。ISBN 978-81-7319-629-4 。 ビアドン、アラン（1979）。複素解析：解析と位相における偏角原理 。チチェスター：ワイリー。ISBN 0-471-99671-8 。 ボロウスキー、エフライム；ボルウェイン、 ジョナサン（2002）[初版1989年『数学辞典』 として]。『数学 』コリンズ辞典（第2 版）。グラスゴー：ハーパーコリンズ 。ISBN 0-00-710295-X 。
![{\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0,\\[5mu]{\text{undefined}}&{\text{if }}|x|=\infty {\text{ and }}|y|=\infty ,\\[5mu]0&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}|y|\neq \infty ,\\[5mu]\pi &{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}|y|\neq \infty ,\\[5mu]\pm {\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}y=\pm \infty {\text{ and }}|x|\neq \infty ,\\[5mu]\operatorname {Arg} (x+yi)&{\text{それ以外の場合}}.\end{cases}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/065e642753b5368e4f043a86ebbb7542392fa73e)
![{\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0,\\[5mu]{\text{ArcTan[x, y]}}&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417935b528c9e6995c670956eb27b01108161b0c)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=-\infty ,\\[5mu]{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=-\infty .\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a307c8b014a10f796f164859b966cebd0878694)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})&\equiv \operatorname {Arg} z_{1}+\operatorname {Arg} z_{2}{\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}},\\\operatorname {Arg} {\frac {z_{1}}{z_{2}}}&\equiv \operatorname {Arg} z_{1}-\operatorname {Arg} z_{2}{\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae8f2a89f9511a7e57c59fba3023288aac0ffdf)
![{\displaystyle (\operatorname {mod} \left(-\pi ,\pi \right])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a3e386836a013cebb990da932f79f7c9b42abb)
![{\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg} z{\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd84516acf23f6c51fd6410b12c21efa61e408f)
![{\displaystyle \operatorname {Arg} \left({\frac {-1-i}{i}}\right)=\left(\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} i=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}\right){\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}}={\frac {3\pi }{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54c418aba0a95da1060877e51e0ba2442f4f744)
