分割複素数

代数学において、分割複素数（または双曲数、複素数、倍精度数）は、 （ただし）を満たす双曲単位 jに基づきます。分割複素数は、2 つの実数要素xとyを持ち、次のように書きます。zの共役は、数zとその共役の積が等方性の二次形式 であるためです。 ${\displaystyle j^{2}=1}$${\displaystyle j\neq \pm 1}$${\displaystyle z=x+yj.}$${\displaystyle z^{*}=x-yj.}$${\displaystyle j^{2}=1,}$${\displaystyle N(z):=zz^{*}=x^{2}-y^{2},}$

⁠ ⁠のすべての分割複素数の集合D は、実数体上の代数を形成します。2 つの分割複素数wとzには、次を満たす積wzがあります。代数積上のN のこの合成により、 ( D , +, ×, *)は合成代数になります。 ${\displaystyle z=x+yj}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).}$

⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$と、成分ごとの加算と乗算の演算に基づく同様の代数（${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},+,\times ,xy),}$xyは⁠ ⁠上の二次形式）も二次空間を形成します。環同型${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}D&\to \mathbb {R} ^{2}\\x+yj&\mapsto (xy,x+y)\end{aligned}}}$$

は比例二次形式を関連付けますが、⁠ ⁠の乗法単位元(1, 1)は⁠ ⁠の距離にあり、これはDで正規化されているため、このマッピングは等長写像ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

分割複素数には他にも多くの名前があります。以下の§ 同義語を参照してください。分割複素数の関数については、 記事「モーター変数」を参照してください。

分割複素数は、実数の順序付きペアであり、次の形式で記述される。

$${\displaystyle z=x+jy}$$

ここでxとyは実数であり、双曲単位^[1] jは

$${\displaystyle j^{2}=+1}$$

複素数体では、虚数単位 iは次の式を満たします。符号の変化により、分割複素数が通常の複素数と区別されます。双曲単位jは実数で はなく、独立した量です。${\displaystyle i^{2}=-1.}$

このようなzの集合は分割複素平面と呼ばれる。分割複素数の 加算と乗算は次のように定義される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+jy)+(u+jv)&=(x+u)+j(y+v)\\(x+jy)(u+jv)&=(xu+yv)+j(xv+yu).\end{aligned}}}$$

この乗算は可換、結合的であり、加算に対して分配されます。

複素数の場合と同様に、分割複素共役の概念を定義することができます。

$${\displaystyle z=x+jy~,}$$

zの共役は次のように定義される 。

$${\displaystyle z^{*}=x-jy~.}$$

共役は複素共役と同様の性質を満たす反転である。すなわち、

$${\displaystyle {\begin{aligned}(z+w)^{*}&=z^{*}+w^{*}\\(zw)^{*}&=z^{*}w^{*}\\\left(z^{*}\right)^{*}&=z.\end{aligned}}}$$

分割複素数の二乗係数は等方性二次形式で与えられる。${\displaystyle z=x+jy}$

$${\displaystyle \lVert z\rVert ^{2}=zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}~.}$$

これには合成代数プロパティがあります:

$${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert ~.}$$

しかし、この二次形式は正定値ではなく、シグネチャ (1, −1)を持つため、係数はノルムではありません。

関連する双線型形式は次のように与えられる 。

$${\displaystyle \langle z,w\rangle =\operatorname {\mathrm {Re} } \left(zw^{*}\right)=\operatorname {\mathrm {Re} } \left(z^{*}w\right)=xu-yv~,}$$

ここで、実部は で定義されます。二乗係数の別の表現は次のようになります。 ${\displaystyle z=x+jy}$${\displaystyle w=u+jv.}$${\displaystyle \operatorname {\mathrm {Re} } (z)={\tfrac {1}{2}}(z+z^{*})=x}$

$${\displaystyle \lVert z\rVert ^{2}=\langle z,z\rangle ~.}$$

この双線形形式は正定値ではないため、内積ではありません。しかし、双線形形式は不定内積と呼ばれることがよくあります。同様の言語の誤用では、モジュラスがノルムと呼ばれます。

分割複素数は、その法が非ゼロ（）の場合にのみ逆元となる。したがって、 x ± jxの形式には逆元はない。逆元の 乗法逆元は次のように表される。${\displaystyle \lVert z\rVert \neq 0}$

$${\displaystyle z^{-1}={\frac {z^{*}}{{\lVert z\rVert }^{2}}}~.}$$

逆変換不可能な分割複素数はヌルベクトルと呼ばれます。これらはすべて、ある実数aに対して( a ± ja )の形式をとります。

および によって与えられる2 つの重要なべき等要素があります。べき等とは、および を意味することを思い出してください。これらの要素は両方 ともnull です。${\displaystyle e={\tfrac {1}{2}}(1-j)}$${\displaystyle e^{*}={\tfrac {1}{2}}(1+j).}$${\displaystyle ee=e}$${\displaystyle e^{*}e^{*}=e^{*}.}$

$${\displaystyle \lVert e\rVert =\lVert e^{*}\rVert =e^{*}e=0~.}$$

分割複素平面の代替基底としてeとe ^{∗ を}使うと便利な場合が多い。この基底は対角基底またはヌル基底と呼ばれる。分割複素数z はヌル基底で次のように表される 。

$${\displaystyle z=x+jy=(x-y)e+(x+y)e^{*}~.}$$

実数aとbの数を( a , b )と表記すると、分割複素乗算は次のように表される。 ${\displaystyle z=ae+be^{*}}$

$${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2}\right)~.}$$

対角基底における分割複素共役は次のように与えられ 、二乗係数は次のように 与えられる。$${\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a)}$$

$${\displaystyle \lVert (a,b)\rVert ^{2}=ab.}$$

基底 {e, e*} では、分割複素数は、加算と乗算が対で定義された 直和⁠ ⁠に環同型であることが明らかになります。${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$

分割複素数平面の対角基底は、（x、y）の順序付きペアを使用して、マッピングを作成すること によって呼び出すことができます。${\displaystyle z=x+jy}$

$${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=(x,y)S~.}$$

二次形式は、さらに、 ${\displaystyle uv=(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}~.}$

$${\displaystyle (\cosh a,\sinh a){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=\left(e^{a},e^{-a}\right)}$$

したがって、2つのパラメータ化された双曲線はSと対応するようになります。

双曲バーサーの作用は、この線形変換の下ではスクイーズマッピングに対応する。 ${\displaystyle e^{bj}\!}$

$${\displaystyle \sigma :(u,v)\mapsto \left(ru,{\frac {v}{r}}\right),\quad r=e^{b}~.}$$

分割複素平面と 2 本の実直線の直和は、環のカテゴリで同じ同型クラスに属しますが、直交平面におけるレイアウトは異なります。平面写像としての同型は、反時計回りに 45° 回転し、√ 2拡大します。特に拡大は、双曲セクターの面積との関連で混乱を引き起こすことがあります。実際、双曲角は、次のように与えられる「単位円」を持つ⁠ ⁠平面のセクターの面積に対応します。分割複素平面の縮約された単位双曲線は、対応する双曲セクターのスパンの面積の半分しかありません。このような混乱は、分割複素平面の幾何学が⁠ ⁠の幾何学と区別されていない場合に永続する可能性があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$${\displaystyle \{(a,b)\in \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} :ab=1\}.}$ ${\displaystyle \{\cosh a+j\sinh a:a\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$

ミンコフスキー内積を持つ2 次元の実ベクトル空間は(1 + 1)次元ミンコフスキー空間と呼ばれ、しばしば⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}.}$と表記されます。ユークリッド平面⁠ ⁠の幾何学の多くが複素数で記述できるのと同様に、ミンコフスキー平面 ⁠ ⁠ の幾何学は分割複素数で記述できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}}$

点の集合

$${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert ^{2}=a^{2}\right\}}$$

は、 ⁠ ⁠における任意の非ゼロaに対して双曲線である。双曲線は、 ( a , 0)と(− a , 0)を通る右枝と左枝から構成される。a = 1の場合は単位双曲線と呼ばれる。共役双曲線は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert ^{2}=-a^{2}\right\}}$$

上枝と下枝はそれぞれ(0, a )と(0, − a )を通る。双曲線と共役双曲線は、ヌル要素の集合を形成する 2つの対角漸近線によって分離されている。

$${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert =0\right\}.}$$

これら 2 本の線 (ヌル コーンと呼ばれることもあります)は⁠ ⁠内で垂直であり、傾きは ±1 です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

分割複素数zとw は、 ⟨ z , w ⟩ = 0のとき双曲直交であるという。通常の複素数演算で知られている通常の直交性とは類似しているが、この条件はより微妙である。これは時空における 同時超平面の概念の基礎となる。

複素分解数に対する オイラーの公式の類似は

$${\displaystyle \exp(j\theta )=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta ).}$$

この式は、cosh は偶数べきしか持たないのに対し、sinh は奇数べきを持つという事実を利用して、べき級数展開から導くことができる。^[2]双曲角θのすべての実数値に対して、分割複素数λ = exp( jθ )はノルム1を持ち、単位双曲線の右枝上にある。λ のような数は双曲バーソルと呼ばれている。

λ は係数 1 を持つため、任意の分割複素数zにλ を掛けると、 zの係数が保存され、双曲回転(ローレンツ ブーストまたはスクイーズ マッピングとも呼ばれます)を表します。λを掛けると、双曲線がそれ自体に適用され、ヌル コーンがそれ自体に適用され、幾何学的構造が保存されます。

分割複素平面の絶対値（または内積）を保存するすべての変換の集合は、一般化直交群O(1, 1)と呼ばれる群を形成する。この群は、 SO ⁺ (1, 1)で表される部分群を形成する双曲回転と、次式で示される 4つの離散反射との組み合わせから構成される。

$${\displaystyle z\mapsto \pm z}$$そして${\displaystyle z\mapsto \pm z^{*}.}$

指数マップ

$${\displaystyle \exp \colon (\mathbb {R} ,+)\to \mathrm {SO} ^{+}(1,1)}$$

θ をexp( jθ )で回転させるというのは群同型であり、通常の指数関数の公式が適用される。

$${\displaystyle e^{j(\theta +\phi )}=e^{j\theta }e^{j\phi }.}$$

分割複素数z が対角要素の 1 つ上にない場合、z は極分解を持ちます。

抽象代数学の用語では、分割複素数は、多項式環⁠ ⁠を多項式によって生成されるイデアルで割った商として記述できる。 ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ ${\displaystyle x^{2}-1,}$

$${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1).}$$

商におけるxの像は「虚数」単位jです。この説明から、分割複素数は実数上の可換代数を形成することは明らかです。ヌル要素は可逆でないため、代数は体ではありません。ゼロ以外のヌル要素はすべてゼロの因子です。

加算と乗算は平面の通常の位相に関して連続的な演算であるため、分割複素数は位相的な環を形成します。

分割複素数の代数は合成代数を形成する。

$${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert ~}$$

任意の数zとwについて。

定義から、分割複素数環は実数⁠ ⁠上の巡回群C ₂の群環 ⁠ ⁠と同型であることが明らかです。${\displaystyle \mathbb {R} [C_{2}]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

分割複素数は行列で簡単に表すことができます。分割複素数は行列で表すことができます。${\displaystyle z=x+jy}$${\displaystyle z\mapsto {\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}.}$

分割複素数の加算と乗算は、行列の加算と乗算によって与えられます。zの二乗係数は、対応する行列の 行列式によって与えられます。

実際、2x2 実数行列の 4 次元環には、分割複素平面の表現が多数存在します。単位行列の実数倍は、行列環 M(2,R) の実数直線を形成します。任意の双曲単位m は、実数直線を分割複素平面に拡張するための 基底要素を提供します。

$${\displaystyle m={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}}}$$

これを単位行列の平方にすると、次式が成り立つ。 例えば、a = 0 のとき、( b,c ) は標準双曲線上の点となる。より一般的には、M(2,R) には双曲単位の超曲面が存在し、そのいずれもが、分割複素数をM(2,R) の部分環として表す基底として機能する。^{[3] [より良い情報源が必要]}${\displaystyle a^{2}+bc=1.}$

この数値は行列で表すことができる  ${\displaystyle z=x+jy}$${\displaystyle x\ I+y\ m.}$

分割複素数の使用は、ジェームズ・コックルがテッサラインを発表した1848年にまで遡ります。^[4] ウィリアム・キングドン・クリフォードは、スピンの和を表すために分割複素数を使用しました。クリフォードは、現在分割双四元数と呼ばれる四元数代数の係数として分割複素数の使用を導入しました。彼はその要素を「モーター」と呼びましたが、これは円群から取られた通常の複素数の「ローター」動作と並列の用語です。類推を拡張すると、モーター変数の関数は通常の複素変数の関数とは対照的です。

20世紀後半以来、スプリットコンプレックス乗算は時空平面のローレンツブーストとして一般的に考えられてきました。^{[5] [6] [7] [8] [9] [10]}このモデルでは、数z = x + y j は時空平面のイベントを表します。ここで、 x は秒単位で、 y は光秒単位で測定されます。未来はイベントの象限{ z  : | y | < x }に対応し、スプリットコンプレックス極分解があります。モデルによれば、ラピディティaの参照フレームに入り、 ρナノ秒待つことで、原点からzに到達できます。スプリットコンプレックス方程式 ${\displaystyle z=\rho e^{aj}\!}$

$${\displaystyle e^{aj}\ e^{bj}=e^{(a+b)j}}$$

単位双曲線上で積を表すと、共線速度のラピディティの加法性が示されます。イベントの同時性はラピディティaに依存します。

$${\displaystyle \{z=\sigma je^{aj}:\sigma \in \mathbb {R} \}}$$

基準フレーム内で原点と同時に起こるラピディティaの一連のイベントです。

2 つのイベントzとw が双曲直交となるのは、標準イベントexp( aj )とj exp( aj )が双曲直交であり、原点と同時に発生するイベントがj exp( aj )に比例する参照フレームの軸上にある場合です。 ${\displaystyle z^{*}w+zw^{*}=0.}$

1933年、マックス・ゾーンは分割八元数を使用しており、合成代数の性質に注目した。彼は、除算代数を生成するために使用されるケイリー・ディクソン構成を（因子ガンマ、 γを使用して）修正することで、分割八元数を含む他の合成代数を構築できることに気付いた。彼の革新は、エイドリアン・アルバート、リチャード・D・シェーファー、その他によって継承された。 ^[11] Rを基底体とするガンマ因子は、分割複素数を合成代数として構築する。数学レビュー誌でアルバートをレビューしたNHマッコイは、「ケイリー・ディクソン代数を一般化する、F上の2次の^eの新しい代数の導入」があったと書いている。 ^[12] F = Rおよびe = 1を取ることは、この記事の代数に対応する。

1935 年、JC Vignaux と A. Durañona y Vedia は、アルゼンチン共和国ラプラタ国立大学のContribución a las Ciencias Físicas y Matemáticasに掲載された 4 つの論文で分割複素幾何代数と関数理論を開発しました(スペイン語)。これらの解説的で教育的なエッセイは、この主題を広く評価されるよう提示しました。^[13]

1941年、EFアレンは分割複素幾何演算を用いてzz ^∗ =1に内接する三角形の 9点双曲線を証明した。^[14]

1956年、ミェチスワフ・ヴァルムスは「近似計算」をポーランド科学アカデミー紀要（参考文献のリンクを参照）に発表した。ヴァルムスは2つの代数体系を開発し、それぞれを「近似数」と呼び、2番目の代数は実数を形成した。^[15] DHレーマーは数学レビュー誌でその論文をレビューし、この2番目の体系が本論文の主題である「双曲複素数」と同型であることを指摘した。

1961 年、ウォームスは近似値の構成要素を、示された間隔の中点と半径として参照しながら、説明を続けました。

さまざまな著者が、分割複素数にさまざまな名前を使用しています。その一部を以下に示します。

• （実）テッサリン、ジェームズ・コックル（1848）
• (代数的)モーター、WKクリフォード(1882)
• 双曲複素数、JC Vignaux (1935)、G. Cree (1949) ^[16]
• 双実数、U. Bencivenga (1946)
• 実双曲数、N.スミス（1949）^[17]
• 近似値、ウォームス（1956）、区間分析に使用
• ダブルナンバー、IMヤグロム（1968）、カントルとソロドヴニコフ（1989）、ハゼウィンケル（1990）、ルーニー（2014）
• 双曲数、W.ミラー＆R.ボーニング（1968）、^[18] G.ソブチク（1995）
• 非正規複素数、W. Benz (1973)
• 数字を困惑させる、P. Fjelstad (1986) および Poodiack & LeClair (2009)
• カウンターコンプレックスまたは双曲的、カーモディ (1988)
• ローレンツ数、FRハーヴェイ（1990）
• 半複素数、F. アントヌッチオ (1994)
• パラコンプレックス数、Cruceanu、Fortuny、Gadea (1996)
• 分割複素数、B.ローゼンフェルド（1997）^[19]
• 時空数、N.ボロタ (2000)
• 研究番号、P. Lounesto (2001)
• 2 つの複素数、S. オラリウ (2002)
• スプリット・ビナリオン、K. McCrimmon (2004)

ウィキブックの結合合成代数には、次のトピックに関するページがあります:分割二分数

• ミンコフスキー空間
• 分割四元数
• 超複素数

• Bencivenga, Uldrico (1946) 「Sulla rappresentazione geometaica delle algebre doppie dotate di modulo」、Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli、Ser (3) v.2 No7。MR0021123。
• ヴァルター・ベンツ(1973) Vorlesungen uber Geometrie der Algebren、Springer
• NA Borota、E. Flores、TJ Osler (2000)「簡単な方法による時空数の計算」、数学およびコンピュータ教育34: 159–168。
• NA Borota と TJ Osler (2002)「時空変数の関数」、数学とコンピュータ教育36: 231–239。
• K. Carmody、(1988)「円および双曲四元数、八元数、および十元数」、Appl. Math. Comput. 28:47–72。
• K. Carmody、(1997)「円および双曲四元数、八元数、および十元数 - さらなる結果」、Appl. Math. Comput. 84:27–48。
• ウィリアム・キングドン・クリフォード(1882)数学著作集、AW タッカー編、392 ページ、「双四元数に関する追加ノート」
• V.Cruceanu、P.Fortuny、PM Gadea (1996)「パラコンプレックス幾何学の概観」、Rocky Mountain Journal of Mathematics 26(1):83–115、 Project Euclidからのリンク。
• De Boer, R. (1987)「パープレックス数のリストとしても知られる」、American Journal of Physics 55(4):296。
• アンソニー・A・ハーキン＆ジョセフ・B・ハーキン（2004）一般化複素数の幾何学、数学雑誌77（2）：118–29。
• F. リース ハーヴェイ。スピノルとキャリブレーション。アカデミック プレス、サンディエゴ。1990 年。ISBN 0-12-329650-1 。ローレンツ数を含む不定符号のノルム代数の説明が含まれています。 
• Hazewinkle, M. (1994)「倍数と双対数」、数学百科事典、Soviet/AMS/Kluwer、Dordrect。
• ケビン・マクリモン(2004) A Taste of Jordan Algebras、pp 66, 157、Universitext、Springer ISBN 0-387-95447-3 MR 2014924 
• C. Musès、「応用ハイパー数: 計算概念」、Appl. Math. Comput. 3 (1977) 211–226。
• C. Musès、「ハイパーナンバー II - さらなる概念と計算アプリケーション」、Appl. Math. Comput. 4 (1978) 45–66。
• Olariu, Silviu (2002) 「N次元の複素数」、第1章「2次元の双曲複素数」、1～16ページ、North-Holland Mathematics Studies #190、Elsevier ISBN 0-444-51123-7。 
• Poodiack, Robert D. & Kevin J. LeClair (2009)「難問に対する代数の基本定理」、The College Mathematics Journal 40(5):322–35。
• Isaak Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry、1963年のロシア語原文からE. Primroseが翻訳、Academic Press、pp. 18–20。
• J. Rooney (2014)。「力学における一般化された複素数」。Marco Ceccarelli および Victor A. Glazunov (編)。ロボットとマニピュレータの理論と実践の進歩: Romansy 2014 XX CISM-IFToMM ロボットとマニピュレータの理論と実践に関するシンポジウムの議事録。メカニズムと機械科学。第 22 巻。Springer。pp. 55–62。doi : 10.1007 /978-3-319-07058-2_7。ISBN 978-3-319-07058-2。