ジュリアセット

複雑な力学系において、ジュリア集合とファトゥ集合は、関数から定義される2つの相補的な集合（ジュリアは「レース」、ファトゥは「ダスト」）です。非公式には、関数のファトゥ集合は、関数の繰り返し実行において、近傍のすべての値が同様の挙動を示すという性質を持つ値から構成され、ジュリア集合は、任意の小さな摂動によって、繰り返し実行された関数値のシーケンスに劇的な変化が生じるような値から構成されます。したがって、ファトゥ集合上での関数の挙動は「規則的」であるのに対し、ジュリア集合上での挙動は「カオス的」です。

関数fのジュリア集合は、一般的に次のように表されます。${\displaystyle \operatorname {J} (f),}$ファトゥ集合は次のように表される。${\displaystyle \operatorname {F} (f).}$^{[ a ]}これらの集合は、 20世紀初頭に複素力学の研究を始めたガストン・ジュリア^{[ 1 ]}とピエール・ファトゥー^{[ 2 ]}にちなんで名付けられました

させて${\displaystyle f(z)}$リーマン球面からそれ自身への非定数有理型関数である。${\displaystyle f(z)}$はまさに非定数複素有理関数、すなわち、${\displaystyle f(z)=p(z)/q(z)}$どこ${\displaystyle p(z)}$そして${\displaystyle q(z)}$は複素多項式である。pとqは共通 根を持たず、少なくとも一方の次数が1より大きいと仮定する。すると、有限個の開集合が存在する。${\displaystyle F_{1},...,F_{r}}$不変のまま残される${\displaystyle f(z)}$そして、以下の条件を満たす。

1. 集合の和集合${\displaystyle F_{i}}$平面上で密であり、
2. ${\displaystyle f(z)}$各集合上で規則的かつ均等に振る舞う${\displaystyle F_{i}}$。

最後の記述は、点によって生成される反復シーケンスの終点が${\displaystyle F_{i}}$それらは、完全に同一の集合である場合（その場合は有限サイクルとなる）、または同心円状または環状の集合からなる有限サイクルである。前者の場合、サイクルは吸引的であり、後者の場合、サイクルは中立的である。

これらのセット${\displaystyle F_{i}}$ファトゥのドメインは${\displaystyle f(z)}$そして彼らの結びつきはファトゥ一族である。${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$の${\displaystyle f(z)}$ファトゥの各領域には、少なくとも１つの臨界点が含まれています。${\displaystyle f(z)}$すなわち、(有限)点zが以下を満たす${\displaystyle f'(z)=0}$、 または${\displaystyle f(z)=\infty }$分子の次数が${\displaystyle p(z)}$分母の次数より少なくとも2大きい。${\displaystyle q(z)}$または、${\displaystyle f(z)=1/g(z)+c}$あるcと有理関数に対して${\displaystyle g(z)}$この条件を満たす。

補数${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$ジュリア集合は${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$の${\displaystyle f(z)}$すべての臨界点が前周期的、つまり周期的ではないが最終的に周期サイクルに収束する場合、${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$球体全体です。そうでなければ、${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$はどこにも稠密ではない集合（内部点を持たない）であり、非可算集合（実数と同じ濃度を持つ）である。${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$、${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$不変のままです${\displaystyle f(z)}$、そしてこの集合上では反復は反発的である、つまり${\displaystyle |f(z)-f(w)|>|zw|}$zの近傍(z の範囲内)にあるすべてのwについて${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$これはつまり${\displaystyle f(z)}$ジュリア集合上では、カオス的な振る舞いをします。ジュリア集合には反復のシーケンスが有限である点も存在しますが、そのような点は可算個しかなく（そして、それらはジュリア集合のごくわずかな部分を占めるにすぎません）。この集合外の点によって生成されるシーケンスはカオス的な振る舞いをし、この現象は決定論的カオスと呼ばれます。

有理写像として知られる反復有理関数のファトゥ集合とジュリア集合については、広範な研究が行われてきました。たとえば、有理写像のファトゥ集合は、0、1、2、または無限個の成分を持つことが知られています。^{[ 3 ]}有理写像のファトゥ集合の各成分は、4つの異なるクラスのいずれかに分類できます。^{[ 4 ]}

• ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$は、 fの下で完全に不変な、少なくとも 3 つの点を含む最小の閉集合です。
• ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$は、反発する周期点の集合の閉包である。
• 最大でも2ポイントを除いて${\displaystyle \;z\in X\;,}$ジュリア集合は、完全な逆方向軌道の極限点の集合である。${\displaystyle \bigcup _{n}f^{-n}(z).}$（これは、ジュリア集合をプロットするための簡単なアルゴリズムを示唆しています。下記を参照してください。）
• fが整関数である場合、${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$これは、反復計算によって無限大に収束する点の集合の境界である。
• fが多項式である場合、${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$は、充填ジュリア集合の境界です。つまり、fの反復における軌道が有界のままである点のことです。

fのジュリア集合とファトゥ集合はどちらも正則関数fの反復に対して完全に不変である: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {J} (f))=f(\operatorname {J} (f))=\operatorname {J} (f),}$

${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {F} (f))=f(\operatorname {F} (f))=\operatorname {F} (f).}$

のために${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ジュリア集合は単位円であり、この上での反復は角度の倍数によって与えられます（引数が有理数でない点ではカオス的な操作です）。$2π$) ファトゥ領域は 2 つあります。円の内部と外部で、それぞれ 0 と ∞ に向かって反復します。

のために${\displaystyle g(z)=z^{2}-2}$ジュリア集合は、-2 と 2 の間の線分です。ファトゥ領域は 1 つです。線分上にない点は ∞ に向かって反復されます。（領域のシフトとスケーリングを除けば、この反復は以下と同等です。）${\displaystyle x\to 4(x-{\tfrac {1}{2}})^{2}}$（単位区間において、これは一般的にカオス系の例として用いられる。）

関数fとgは次の形式です。${\displaystyle z^{2}+c}$ここで、cは複素数です。このような反復の場合、ジュリア集合は一般に単純な曲線ではなくフラクタルであり、cの値によっては驚くべき形状をとることがあります。下の図を参照してください。

関数f ( z ) によっては、ジュリア集合は単純な曲線ではなくフラクタルであると事前に断言できます。これは、有理関数の反復に関する次の結果によるものです。

これは、ジュリア集合の各点がファトゥ領域それぞれの集積点であることを意味します。したがって、ファトゥ領域が2つ以上ある場合、ジュリア集合の各点は、無限に近接した2つ以上の異なる開集合の点を持つ必要があり、これはジュリア集合が単純な曲線にはなり得ないことを意味します。この現象は、例えば、f ( z )が方程式を解くためのニュートン反復である場合に発生します。${\displaystyle \;P(z):=z^{n}-1=0~:~n>2\;}$:

${\displaystyle f(z)=z-{\frac {P(z)}{P'(z)}}={\frac {\;1+(n-1)z^{n}\;}{nz^{n-1}}}~.}$

右側の画像は、n = 3 の場合を示しています。

非常に一般的な複雑な力学系は、有理写像の特殊な場合である 複素二次多項式の族によって表されます。このような二次多項式は次のように表現できます。

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c~,}$

ここでcは複素パラメータです。${\displaystyle R>0}$十分に大きいので${\displaystyle R^{2}-R\geq |c|.}$（例えば、cがマンデルブロ集合に含まれる場合、${\displaystyle |c|\leq 2,}$だから私たちは単に${\displaystyle R=2~.}$)すると、このシステムの充填ジュリア集合は、複素平面のサブセットで、次式で与えられる。

${\displaystyle K(f_{c})=\left\{z\in \mathbb {C}$ :\forall n\in \mathbb {N} ,|f_{c}^{n}(z)|\leq R\right\}~,}

どこ${\displaystyle f_{c}^{n}(z)}$はn番目の反復です${\displaystyle f_{c}(z).}$ジュリア集合${\displaystyle J(f_{c})}$この関数の境界は${\displaystyle K(f_{c})}$。

• 
  ジュリアは${\displaystyle z^{2}+0.7885\,e^{ia},}$ここで、aは0から${\displaystyle 2\pi }$
• 左にあるジュリア集合の動画
• 
  f _cのジュリア集合（c = 1 − φ、ただしφは黄金比）
• 
  f _cのジュリア集合、c = ( φ − 2) + ( φ − 1) i = −0.4 + 0.6 i
• 
  f _cのジュリア集合、c = 0.285 + 0 i
• 
  f _cのジュリア集合、c = 0.285 + 0.01 i
• 
  f _cのジュリア集合、c = 0.45 + 0.1428 i
• 
  f _cのジュリア集合、c = −0.70176 − 0.3842 i
• 
  f _cのジュリア集合、c = −0.835 − 0.2321 i
• 
  f _cのジュリア集合、c = −0.8 + 0.156 i
• 
  f _c、v c = −0.7269 + 0.1889 iのジュリア集合
• 
  f _c、c = -0.8 iのジュリア集合
• 
  f _cのジュリア集合、c = 0.35 + 0.35 i
• 
  f _cのジュリア集合、c = 0.4 + 0.4 i
• 
  ジュリア集合を100×100のグリッド状に配置し、各画像の中心が複素平面上の集合の値と同じ位置に対応するように配置した画像。このように配置すると、全体像はマンデルブロ集合を描いた写真モザイクに似たものとなる。

二次多項式のパラメータ平面、すなわち可能なc値 の平面は、有名なマンデルブロ集合を生み出す。実際、マンデルブロ集合は、すべてのcの集合として定義される。 ${\displaystyle J(f_{c})}$は連結しています。マンデルブロ集合外のパラメータの場合、ジュリア集合はカントール空間になります。この場合、ファトゥダストと呼ばれることもあります。

多くの場合、cのジュリア集合は、 cの十分小さな近傍ではマンデルブロ集合に似ています。これは特に、いわゆるミシュレヴィッチパラメータ、つまり臨界点が周期前であるパラメータcの場合に当てはまります。例えば、次のようになります。

• c = i 、つまり前足部の短い方のつま先では、ジュリア集合は枝分かれした稲妻のように見える。
• c = −2、つまり長いとがった尾の先端では、ジュリア集合は直線セグメントになります。

言い換えれば、ジュリア集合は${\displaystyle J(f_{c})}$ミシュレヴィッチ点の周辺では局所的に類似している。^{[ 6 ]}

ジュリア集合とファトゥ集合の定義は、像が定義域を含む特定の写像の場合にも容易に適用できます。最も顕著な例は、超越的有理型関数とアダム・エプスタインの有限型写像です。

ジュリア集合は、多変数複素数における力学系の研究においてもよく定義される。

以下の擬似コードでは、各フラクタルの関数がハードコーディングされています。より動的で再利用可能なコードを実現するために、複素数演算を実装することを検討してください。

R =脱出半径# R**2 - R >= sqrt(cx**2 + cy**2)となるようにR > 0を選択する画面上の各ピクセル( x 、y )に対して、以下を実行します。{ zx =ピクセルのスケーリングされたx座標。# (-R から R の間にスケーリング) # zx は z の実部を表します。zy =ピクセルのスケーリングされたy座標。# (-R から R の間にスケーリング) # zy は z の虚部を表します。iteration = 0 ; max_iteration = 1000 ; while ( zx * zx + zy * zy < R ** 2 AND iteration < max_iteration ) { xtemp = zx * zx - zy * zy ; zy = 2 * zx * zy + cy ; zx = xtemp + cx ; iteration = iteration + 1 ; } if ( iteration == max_iteration ) return black ; else return iteration ; }

R =脱出半径# R**n - R >= sqrt(cx**2 + cy**2)となるようにR > 0を選択する画面上の各ピクセル( x 、y )に対して、以下を実行します。{ zx =ピクセルのスケーリングされたx座標; # (-R から R の間にスケーリング) zy =ピクセルのスケーリングされたy座標; # (-R から R の間にスケーリング) iteration = 0 ; max_iteration = 1001 ; while ( zx * zx + zy * zy < R ** 2 AND iteration < max_iteration ) { xtmp = ( zx * zx + zy * zy ) ^ ( n / 2 ) * cos ( n * atan2 ( zy 、zx )) + cx ; zy = ( zx * zx + zy * zy ) ^ ( n / 2 ) * sin ( n * atan2 ( zy 、zx )) + cy ; zx = xtmp ; iteration = iteration + 1 ; } if ( iteration == max_iteration ) return black ; else return iteration ; }

# 前の例の最後の 4 行のコードを、以下のコードに置き換えるだけです。if ( iteration == max_iteration ) return black ; else abs_z = zx * zx + zy * zy ; return iteration + 1 - log ( log ( abs_z )) / log ( n );

Juliaセット${\displaystyle f(z)=z^{2}}$は単位円であり、外側のファトゥ領域では、ポテンシャル関数φ ( z )はφ ( z ) = log| z |で定義される。この関数の等ポテンシャル線は同心円である。${\displaystyle |f(z)|=|z|^{2}}$我々は持っています

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}},}$

どこ${\displaystyle z_{k}}$は、 zによって生成される反復のシーケンスです。より一般的な反復については、${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$ジュリア集合が連結である場合（つまり、c が（通常の）マンデルブロ集合に属する場合）、外側のファトゥ領域と単位円の外側の間に双正則写像ψが存在し、${\displaystyle |\psi (f(z))|=|\psi (z)|^{2}}$[ ^{8 ]これは、}この対応関係によって定義される外側のファトゥ領域上のポテンシャル関数が次のように与えられることを意味する。

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}}.}$

この式は、ジュリア集合が連結でない場合でも意味を持ち、したがって、すべてのcに対して、この式によって ∞ を含むファトゥ領域上のポテンシャル関数を定義できます。∞ が臨界点かつ不動点である、すなわち分子の次数mが分母の次数nより少なくとも 2 大きいような一般的な有理関数f ( z ) に対して、 ∞ を含むファトゥ領域上のポテンシャル関数を次のように定義します。

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}},}$

ここで、 d = m − nは有理関数の次数である。^{[ 9 ]}

Nが非常に大きな数 (例えば 10 ¹⁰⁰ ) であり、kが最初の反復回数である場合、${\displaystyle |z_{k}|>N}$我々はそれを持っている

${\displaystyle {\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}}={\frac {\log(N)}{d^{\nu (z)}}},}$

ある実数に対して${\displaystyle \nu (z)}$これは実際の反復回数とみなされるべきであり、次のようになります。

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}|/\log(N))}{\log(d)}},}$

最後の数値は区間[0,  1)に含まれる。

次数rの有限吸引サイクルへの反復については、次のようになります。${\displaystyle z^{*}}$サイクルのポイントである場合、${\displaystyle f(f(...f(z^{*})))=z^{*}}$（r重構成）および数

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\left|(d(f(f(\cdots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}\right|}}\qquad (>1)}$

これはサイクルの引力です。wが非常に近い点である場合${\displaystyle z^{*}}$そしてw ′はwをr回繰り返すので、

${\displaystyle \alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {|w-z^{*}|}{|w'-z^{*}|}}.}$

したがって、その数は${\displaystyle |z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k}}$はkにほとんど依存しない。ファトゥ領域上のポテンシャル関数を次のように定義する。

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{(|z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k})}}.}$

εが非常に小さい数であり、kが最初の反復回数である場合、${\displaystyle |z_{k}-z^{*}|<\epsilon }$我々はそれを持っている

${\displaystyle \varphi (z)={\frac {1}{(\varepsilon \alpha ^{\nu (z)})}}}$

ある実数に対して${\displaystyle \nu (z)}$これは実際の反復回数とみなされるべきであり、次のようになります。

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\varepsilon /|z_{k}-z^{*}|)}{\log(\alpha )}}.}$

引力が ∞ の場合、つまりサイクルが超引力である場合、つまりサイクルの点の 1 つが臨界点である場合、α を次のように置き換える必要があります。

${\displaystyle \alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |w'-z^{*}|}{\log |w-z^{*}|}},}$

ここで、w ′はw をr回繰り返したもので、 φ ( z )の式は次のようになります。

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log(1/|z_{kr}-z^{*}|)}{\alpha ^{k}}}.}$

そして、実際の反復回数は次のように表されます。

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}-z^{*}|/\log(\varepsilon ))}{\log(\alpha )}}.}$

着色には、0からH -1までの番号が付けられたH個の色を含む循環的な色のスケール（例えば数学的に構築されたもの）が必要です（H = 500など）。実数を掛け合わせます。${\displaystyle \nu (z)}$画像内の色の密度を決定する固定実数によって、この数のHを法とする整数部分を取る。

ポテンシャル関数の定義と我々の着色方法は、サイクルが吸引的、つまり中立的ではないことを前提としている。サイクルが中立的である場合、ファトゥ領域を自然な方法で着色することはできない。反復の終点は回転運動であるため、例えば、反復によって固定されたサイクルからの最小距離によって着色することができる。

ファトゥの各領域（中立ではない領域）には、互いに直交する 2 つの線系があります。等電位線（ポテンシャル関数または実反復番号用）と場線です。

ファトゥ領域を反復回数（実際の反復回数ではなく）に従って色分けすると${\displaystyle \nu (z)}$（前節で定義したように）反復のバンドは等電位線の経路を示します。反復が∞に向かう場合（通常の反復における外側のファトゥ領域の場合と同様）、${\displaystyle z^{2}+c}$) の場合、反復シーケンスの最後の点がx軸より上にあるか下にあるかに応じて色を変えることで、磁力線の経路を簡単に示すことができます (最初の図)。しかし、この場合 (より正確には、ファトゥ領域が超吸引的である場合)、磁力線を一貫して描画することはできません。少なくとも、ここで説明する方法ではできません。この場合、磁力線は外部光線とも呼ばれます。

zを吸引ファトゥ領域内の点とする。z を多数回反復すると、反復列の終点は有限サイクルCとなり、ファトゥ領域は（定義により）反復列がCに収束する点の集合となる。場線はCの点と、 Cの点に反復する（無限個の）点から発する。そして、場線は非カオス的な点（すなわち、有限サイクルを生成する点）でジュリア集合上に終わる。サイクルCの次数（点の数）をrとし、${\displaystyle z^{*}}$Cの点とする。${\displaystyle f(f(\dots f(z^{*})))=z^{*}}$（r重構成）であり、複素数αを次のように定義する。

${\displaystyle \alpha =(d(f(f(\dots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}.}$

Cの点が${\displaystyle z_{i},i=1,\dots ,r(z_{1}=z^{*})}$αはr個の数の積である${\displaystyle f'(z_{i})}$実数 1/|α| はサイクルの引力であり、サイクルが中立でも超引力でもないという仮定は、 1 < 1 / | α | < ∞を意味します。${\displaystyle z^{*}}$は固定点です${\displaystyle f(f(\dots f(z)))}$そしてこの地点付近で地図は${\displaystyle f(f(\dots f(z)))}$（磁力線に関連して）αの引数βを持つ回転の性質を持つ（つまり、${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{\beta i}}$)

ファトゥ領域に色を付けるために、小さな数εを選択し、反復のシーケンスを設定しました。${\displaystyle z_{k}(k=0,1,2,\dots ,z_{0}=z)}$停止する${\displaystyle |z_{k}-z^{*}|<\epsilon }$、そして点zを数k（または滑らかな彩色を好む場合は実際の反復回数）に従って着色します。${\displaystyle z^{*}}$角度θで与えられる、から発する磁力線${\displaystyle z^{*}}$この方向では、数値の引数ψが${\displaystyle z_{k}-z^{*}}$以下の条件を満たす

${\displaystyle \psi -k\beta =\theta \mod \pi .\,}$

なぜなら、反復バンドを磁力線の方向（そしてサイクルから離れる方向）に通過すると、反復番号kが 1 増加し、番号 ψ が β 増加するため、番号は${\displaystyle \psi -k\beta \mod \pi }$磁力線に沿って一定である。

ファトゥ領域の磁力線を着色するということは、磁力線のペア間の空間を着色することを意味します。${\displaystyle z^{*}}$そして、これらの各方向において、その方向を中心とした2つの方向を選択します。ペアの2つのフィールドラインがジュリア集合の同じ点で終わらない場合があるため、色付きのフィールドラインはジュリア集合に向かう途中で（無限に）分岐する可能性があります。フィールドラインの中心線までの距離に基づいて色付けすることができ、この色付けを通常の色付けと組み合わせることもできます。このような図は非常に装飾的になります（2番目の図）。

色付きの磁力線（2本の磁力線の間の領域）は反復帯によって分割され、その部分は単位正方形と1対1に対応させることができます。一方の座標は境界磁力線の1本からの距離（から計算）であり、もう一方の座標は境界反復帯の内側からの距離（から計算）です（この数値は実反復数の非整数部分です）。したがって、磁力線に画像を配置することができます（3番目の画像）。

方法 ：

• ジュリア集合の距離推定法（DEM/J）
• 逆反復法（IIM）

逆反復法（IIM）の使用

前述のように、ジュリア集合は、（実質的に）任意の点の逆像の集合の極限点の集合として見つけることができます。したがって、与えられた関数のジュリア集合を次のようにプロットすることができます。ジュリア集合に含まれることがわかっている任意の点z （例えば、反発周期点）から始め、ある高反復回数の下でのzのすべての逆像を計算します。${\displaystyle f^{n}}$オフ。​

残念ながら、反復される逆像の数が指数関数的に増加するため、これは計算上実現不可能です。しかし、反復関数系に対する「ランダムゲーム」法と同様の方法で、この方法を調整することができます。つまり、各ステップで、fの逆像の 1 つをランダムに選択します。

例えば、二次多項式f _cの場合、逆反復は次のように記述されます。

${\displaystyle z_{n-1}={\sqrt {z_{n}-c}}.}$

各ステップにおいて、2つの平方根のうち1つがランダムに選択される。

ジュリア集合の一部は、逆ジュリアアルゴリズムではアクセスが非常に困難であることに注意してください。そのため、IIM/J を修正するか (MIIM/J ^{[ 10 ]}がその一例です)、より良い画像を生成するために他の方法を使用する必要があります。

• ドゥアディウサギ
• 制限設定
• 安定集合と不安定集合
• 迷走領域定理なし
• カオス理論

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