シュタイナー楕円

幾何学において、シュタイナーの内楕円^[1] 、中点内楕円、または三角形の中点楕円は、三角形に内接し、各辺の中点で接する唯一の楕円である。これは内楕円の一例である。比較すると、三角形の内接円とマンダート内楕円は、三角形が正三角形でない限り、各辺に接するが中点で接しない他の内接円錐曲線である。シュタイナーの内楕円は、デリー^{[2]によって}ヤコブ・シュタイナーに帰属され、その唯一性の証明はダン・カルマンによって与えられている。^[3]

シュタイナー内楕円は、シュタイナー楕円とも呼ばれるシュタイナー円周楕円とは対照的である。シュタイナー円周楕円は、与えられた三角形の頂点を通り、その中心が三角形の重心である唯一の楕円である。^[4]

意味

三角形△ ABCの中点でその辺に接する楕円を△ ABCのシュタイナーの内楕円といいます。 ${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3}}$

特性:
任意の三角形△ ABCとその各辺の中点について、次のことが成り立ちます。 a)シュタイナー内楕円は 1 つだけ存在します。 b)シュタイナー内楕円の中心は△ ABCの重心Sです。 c1) 三角形の重心Sは同じで、 △ ABCのシュタイナー内楕円は三角形のシュタイナー楕円です。 c2) 三角形のシュタイナー内楕円は、スケール係数 1/2 で重心を中心とするスケールされたシュタイナー楕円です。したがって、両方の楕円は同じ離心率を持ち、相似です。 d)シュタイナー内楕円の面積は、三角形の面積の - 倍です。 e) シュタイナー内楕円は、三角形のすべての内楕円の中で最大の面積を 持ちます。 ^{[5] : p.146  [6] : 系 4.2}${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3}}$


${\displaystyle \triangle M_{1}M_{2}M_{3}}$${\displaystyle \triangle M_{1}M_{2}M_{3}.}$

${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

証拠

特性 a)、b)、c) の証明は、アフィン写像の以下の特性に基づいています。1) 任意の三角形は、正三角形のアフィン像と見なすことができます。2) 辺の中点は中点に、重心は重心に写像されます。楕円の中心は、その像の中心に写像されます。
したがって、正三角形の特性 a)、b)、c) を証明すれば十分です。a ) 任意の正三角形には内接円
が存在します。内接円は、中点で辺に接します。円錐曲線は 5 点/接線で決まるため、同じ特性を持つ他の (非退化) 円錐曲線はありません。b ) 簡単な計算で証明できます。c ) 外接円は、重心を中心とし、係数 1/2 でスケーリングして内接円に写像されます。離心率は不変です。d ) 面積比は、アフィン変換に対して不変です。したがって、正三角形の比率を計算できます。e )楕円を参照してください。

パラメトリック表現:

• 三角形△ ABCのシュタイナー内楕円はスケールされたシュタイナー楕円 (係数 1/2、中心は重心) なので、シュタイナー楕円の三角関数表現から派生したパラメトリック表現が得られます 。

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\overrightarrow {OS}}\;+\;{\color {blue}{\frac {1}{2}}}{\overrightarrow {SC}}\;\cos t\;+\;{\frac {1}{{\color {blue}2}{\sqrt {3}}}}{\overrightarrow {AB}}\;\sin t\;,\quad 0\leq t<2\pi \ .}$

• シュタイナー楕円の4つの頂点は

${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\ vec {p}}(t_{0}+\pi ),}$

ここでt ₀は

${\displaystyle \cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2 }}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\クアッド }$と${\displaystyle \quad {\vec {f}}_{1}={\frac {1}{2}}{\vec {SC}},\quad {\vec {f}}_{2}={ \frac {1}{2{\sqrt {3}}}}{\vec {AB}}\ .}$

半軸:

• 略語で

${\displaystyle {\begin{aligned}M&:={\color {blue}{\frac {1}{4}}}\left({\vec {SC}}^{2}+{\frac {1}{3}}{\vec {AB}}^{2}\right)\\N&:={\frac {1}{{\color {blue}4}{\sqrt {3}}}}\left|\det \left({\vec {SC}},{\vec {AB}}\right)\right|\end{aligned}}}$

半軸 a、b（a > b ）については次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}}\right)\\b&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}}\right)\ .\end{aligned}}}$

• シュタイナー楕円の線状離心率 cは

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=\dotsb ={\sqrt {\sqrt {M^{2}-4N^{2}}}}\ .}$

辺の長さがa、b、cの三角形（これらのパラメータは以前とは異なる意味を持つ）の三線座標におけるシュタイナー楕円の方程式は^{[1]である。}

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0}$

ここで、x は任意の正の定数に長さaの辺から点までの距離を掛けたものであり、bとcについても同様で、同じ乗法定数を持ちます。

辺a、b、cを持つ三角形の長軸と短軸の長さは [ ^1]

${\displaystyle {\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},}$

どこ

${\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.}$

マーデンの定理^[3]によれば、三角形の3つの頂点が3次多項式の複素 零点である場合、シュタイナー楕円の焦点は多項式の 導関数の零点となる。

シュタイナー楕円の長軸は頂点の直交直線に最もよく一致する。 ^{[6] : 系2.4}

三角形の重心と第一フェルマー点、第二フェルマー点をそれぞれ⁠ ⁠${\displaystyle G,F_{+},F_{-}}$と記す。三角形のシュタイナー内楕円の長軸は⁠ ⁠${\displaystyle \angle F_{+}GF_{-}.}$の内二等分線である。軸の長さは、フェルマー点の重心からの距離の和と差である。^{[7] : Thm. 1}${\displaystyle |GF_{-}|\pm |GF_{+}|\!;}$

三角形のシュタイナーの内楕円の軸は、そのキーパート放物線に接する。キーパート放物線は三角形の辺に接し、オイラー線を準線とする唯一の放物線である。^{[7] : Thm. 3}

三角形のシュタイナーの内楕円の焦点は、内楕円の長軸と短軸を中心としフェルマー点を通る円との交点である。^{[7] : Thm. 6}

三角形△ ABCに内接する楕円の場合と同様に、焦点をPとQとすると、^[8]

${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$

三角形のシュタイナーの内楕円はn角形に一般化できる。n角形の中には、各辺の中点で各辺に接する内部楕円を持つものがある。マーデンの定理はここでも適用され、シュタイナーの内楕円の焦点はn角形の頂点を零点とする多項式の微分の零点である。^[9]