クォータニオン

数学において、四元 数体系は複素数を拡張する。四元数は、アイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって1843年に初めて記述され^{[1] [2] 、} 3次元空間の力学に適用された。四元数の代数は、ハミルトンのHで示されることが多いが、黒板太字では と表記される。四元数は、一般に四元数の乗算が可換ではないため、体ではない。四元数は、3次元空間における2つのベクトルの商の定義を提供する。 ^{[3] [4]}四元数は、一般に次の形式で表される。 ${\displaystyle \mathbb {H} .}$

$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}$$

ここで係数a、b、c、dは実数であり、1、i、j、kは基底ベクトルまたは基底要素である。^[5]

四元数は純粋数学で使用されていますが、応用数学、特に3次元コンピュータグラフィックス、コンピュータビジョン、ロボット工学、磁気共鳴画像法^[6]、結晶構造解析^[7]などの3次元回転を伴う計算でも実用化されています。アプリケーションに応じて、オイラー角や回転行列などの他の回転方法と併用することも、それらの代替として 使用することもできます。

現代的な用語で言えば、四元数は実数上の4次元の結合的 ノルム 除算代数を形成し、したがって環、除算環、および領域を形成します。これはクリフォード代数の特殊なケースであり、として分類されます。これは発見された最初の非可換除算代数でした。 ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )\cong \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} ).}$

フロベニウスの定理によれば、代数は、実数と同型の適切な部分環を含む2つの有限次元除算環のうちの1つであり、もう1つは複素数である。これらの環はユークリッドフルヴィッツ代数でもあり、そのうちの四元数は最大の結合代数（したがって最大の環）である。四元数をさらに拡張すると、非結合八元数が得られ、これは実数上の最後のノルム除算代数である。次の拡張は、零因子を持たないためノルム除算代数にはならない七元数を与える。^[8]${\displaystyle \mathbb {H} }$

単位四元数は、3次元球面S ³上の群構造を与え、これはSpin(3)とSU(2)、すなわちSO(3)の普遍被覆群と同型である。正と負の基底ベクトルは8要素四元数群を形成する。

四元数は1843年にハミルトンによって導入された。^[9]この研究の重要な先駆者としては、オイラーの四平方恒等式（1748年）やオリンデ・ロドリゲスの4パラメータによる一般回転のパラメータ化（1840年）などがあるが、どちらの著者も4パラメータ回転を代数として扱っていなかった。^{[10] [11]} カール・フリードリヒ・ガウスは1819年に四元数を発見したが、この研究は1900年まで出版されなかった。^{[12] [13]}

ハミルトンは、複素数は平面上の点として解釈できることを知っており、3次元空間内の点について同じことを行う方法を探していました。空間内の点は、3つの数の組である座標で表すことができ、長年、3つの数の加算と減算の方法を理解していました。しかし、長い間、彼は乗算と除算の問題で行き詰まっていました。空間内の2つの点の座標の商を計算する方法がわからなかったのです。実際、フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスは、実数上の除算代数が有限次元かつ結合的であるためには、3次元であってはならず、そのような除算代数は、それぞれ次元が1、2、4である (複素数) と(四元数) の3つだけであることを1877年に証明しました。${\displaystyle \mathbb {R,C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

四元数における大きな進歩は、1843年10月16日月曜日、ダブリンでついに起こりました。ハミルトンは、評議会の議長を務めるためにアイルランド王立アカデミーに向かう途中でした。妻とともにロイヤル運河の曳舟道を歩いていると、四元数の概念が頭の中で形を成していきました。答えが思い浮かんだとき、ハミルトンは四元数の公式を刻む衝動に抗うことができませんでした。

$${\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1}$$

彼が立ち止まったとき、ブローム橋の石に刻まれた。この彫刻はその後消えてしまったが、1989年以来、科学者や数学者がハミルトンの発見を記念してダンシンク天文台からロイヤル運河橋まで歩く「ハミルトン・ウォーク」と呼ばれる巡礼が毎年行われている。

翌日、ハミルトンは友人で同僚の数学者であるジョン・T・グレイブスに手紙を書き、彼の発見に至った思考の流れを説明した。この手紙は後にロンドン、エディンバラ、ダブリンの哲学雑誌と科学ジャーナルに手紙として掲載された。^[14]ハミルトンは述べている。

そしてここで、三次元で計算するためには、ある意味で空間の4次元を認めなければならないという考えが私の頭に浮かびました...電気回路が閉じたように見え、火花が散りました。^[14]

ハミルトンは、これらの乗法規則を持つ四元数を四元数と呼び、残りの人生のほとんどをその研究と教育に費やした。ハミルトンの扱い方は、四元数の代数的性質を強調する現代のアプローチよりも幾何学的である。彼は「四元数論者」の一派を設立し、数冊の本で四元数を普及させようとした。彼の最後の最長の著書である『四元数の原論』^{[15]は800ページにも及び、}彼の息子によって編集され、彼の死後まもなく出版された。

ハミルトンの死後、スコットランドの数理物理学者 ピーター・テイトが四元数の主要な提唱者となった。当時、四元数はダブリンの必須試験科目であった。空間の運動学やマクスウェル方程式など、現在ではベクトルを使用して記述される物理学と幾何学の科目は、すべて四元数で記述されていた。四元数やその他の超複素数体系を研究する専門研究団体、四元数協会さえ存在した。

1880年代半ばから、四元数は、ジョサイア・ウィラード・ギブス、オリバー・ヘヴィサイド、ヘルマン・フォン・ヘルムホルツによって開発されたベクトル解析に取って代わられ始めた。ベクトル解析は四元数と同じ現象を説明するため、四元数に関する文献からいくつかのアイデアと用語を自由に借用した。しかし、ベクトル解析は概念的に単純で表記法も明確であったため、最終的に四元数は数学と物理学においてマイナーな役割に追いやられた。この移行の副作用として、ハミルトンの著作は多くの現代の読者にとって理解しにくいものとなっている。ハミルトンのオリジナルの定義は馴染みがなく、文体は冗長で理解しにくいものであった。

しかし、四元数は 20 世紀後半から復活を遂げており、その主な理由は空間回転の記述における有用性である。四元数による回転の表現は行列による表現よりもコンパクトで計算が速い。さらに、オイラー角とは異なり、「ジンバル ロック」の影響を受けにくい。このため、四元数はコンピュータ グラフィックス、^{[16] [17] 、} コンピュータ ビジョン、ロボット工学、^{[18] 、} 核磁気共鳴画像サンプリング、^{[6] 、} 制御理論、信号処理、姿勢制御、物理学、バイオインフォマティクス、分子動力学、コンピュータ シミュレーション、軌道力学で使用されている。たとえば、宇宙船の姿勢制御システムは四元数で制御されるのが一般的である。四元数は、二次形式との関係から数論からさらに後押しを受けている。^[19]

1924年に量子力学において電子やその他の物質粒子のスピン（スピノルと呼ばれる）は四元数（有名なパウリのスピン行列の形式）を使って記述できるという発見は、彼らの関心をさらに高めた。四元数は、電子の360°回転と720°回転を区別する方法（「プレートトリック」）を理解するのに役立った。^{[20] [21]} 2018年現在、四元数の使用は回転群を追い抜いていない。^{[a][アップデート]}

四元数とは、次の形式の 表現である。

$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}$$

ここで、a、b、c、dは実数、i、j、k は3 つの空間軸に沿った単位ベクトルとして解釈できる記号です。実際には、 a、b、c、dのいずれかが 0 の場合、対応する項は省略されます。a、b、c、dがすべて 0 の場合、四元数はゼロ四元数であり、 0 と表記されます。 b、c、dのいずれかが 1 の場合 、対応する項は単にi、j、またはkと表記されます。

ハミルトンは、四元数をスカラー部分とベクトル部分からなるものとして説明しています。四元数はqのベクトル部分（虚数部分と呼ばれることもあります）と呼ばれ、a はqのスカラー部分（実数部分と呼ばれることもあります）です。実部（つまり、ベクトル部分がゼロ）に等しい四元数はスカラー四元数または実数四元数と呼ばれ、対応する実数と同一視されます。つまり、実数は四元数に埋め込まれています。（より正確には、実数体は四元数のサブセットと同型です。複素数体も四元数の3つのサブセットと同型です。）^[22]ベクトル部分に等しい四元数はベクトル四元数と呼ばれます。 ${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$

四元数集合は、実数上の4次元ベクトル空間であり、基底は であり、成分ごとの加算によって ${\displaystyle \left\{1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \right\}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{1}+b_{1}\mathbf {i} +c_{1}\mathbf {j} +d_{1}\mathbf {k} )+(a_{2}+b_{2}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +d_{2}\mathbf {k} )\\[3mu]&\qquad =(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\mathbf {i} +(c_{1}+c_{2})\mathbf {j} +(d_{1}+d_{2})\mathbf {k} ,\end{aligned}}}$$

そして成分ごとのスカラー乗算

$${\displaystyle \lambda (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )=\lambda a+(\lambda b)\mathbf {i} +(\lambda c)\mathbf {j} +(\lambda d)\mathbf {k} .}$$

ハミルトン積と呼ばれる乗法群構造は、並置によって表され、四元数上で次のように定義できます。

• 実数四元数1は単位元です。
• 実数四元数は他のすべての四元数と可換です。つまり、すべての四元数qとすべての実数四元数aについて、 aq = qaです。代数用語では、実数四元数の体がこの四元数代数の中心であると言えます。
• 積はまず基底元に対して与えられ（次のサブセクションを参照）、次に分配法則と実四元数の重心法則を使用してすべての四元数に拡張されます。ハミルトン積は可換ではありませんが、結合法則であるため、四元数は実数上の結合代数を形成します。
• さらに、すべての非ゼロ四元数にはハミルトン積に対する逆数が存在します。$${\displaystyle (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )^{-1}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\,(a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} ).}$$

したがって、四元数は除算代数を形成します。

基底元i、j、kの1との乗算は、 1 が乗法的単位元であるという事実によって定義されます。つまり、

$${\displaystyle \mathbf {i} \,1=1\,\mathbf {i} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {j} \,1=1\,\mathbf {j} =\mathbf {j} ,\qquad \mathbf {k} \,1=1\,\mathbf {k} =\mathbf {k} .}$$

他の基底元素の積は

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} ^{2}&=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=-1,\\[5mu]\mathbf {i\,j} &=-\mathbf {j\,i} =\mathbf {k} ,\qquad \mathbf {j\,k} =-\mathbf {k\,j} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {k\,i} =-\mathbf {i\,k} =\mathbf {j} .\end{aligned}}}$$

これらのルールを組み合わせると、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i\,j\,k} &=-1.\end{aligned}}}$$

非可換環の中心は、任意のxに対してcx = xcとなるようなc の元からなる部分環である。四元数代数の中心は実数四元数の部分体である。実際、実数四元数が中心に属することは定義の一部である。逆に、q = a + b i + c j + d kが中心に属する場合、

$${\displaystyle 0=\mathbf {i} \,q-q\,\mathbf {i} =2c\,\mathbf {ij} +2d\,\mathbf {ik} =2c\,\mathbf {k} -2d\,\mathbf {j} ,}$$

そしてc = d = 0 です。 iの代わりにj を使って同様の計算を行うと、 b = 0であることもわかります。したがってq = aは実数四元数です。

四元数は除算代数を形成します。つまり、乗算の非可換性は、四元数を体と異なるものにする唯一の特性です。この非可換性には予期しない結果がいくつかあり、その 1 つは、四元数上の多項式方程式が多項式の次数よりも多くの異なる解を持つ可能性があることです。たとえば、方程式z ² + 1 = 0には、四元数解が無限にあり、それはb ² + c ² + d ² = 1となる四元数z = b i + c j + d kです。したがって、これらの「-1 の根」は、ベクトル四元数の 3 次元空間で 単位球を形成します。

2 つの要素a ₁ + b ₁ i + c ₁ j + d ₁ kとa ₂ + b ₂ i + c ₂ j + d ₂ kの場合、それらの積は ハミルトン積( a ₁ + b ₁ i + c ₁ j + d ₁ k ) ( a ₂ + b ₂ i + c ₂ j + d ₂ k ) と呼ばれ、基底要素の積と分配法則によって決まります。分配法則により、積を基底要素の積の和になるように展開することができます。これにより、次の式が得られます。

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&+a_{1}b_{2}\mathbf {i} &&+a_{1}c_{2}\mathbf {j} &&+a_{1}d_{2}\mathbf {k} \\{}+{}&b_{1}a_{2}\mathbf {i} &&+b_{1}b_{2}\mathbf {i} ^{2}&&+b_{1}c_{2}\mathbf {ij} &&+b_{1}d_{2}\mathbf {ik} \\{}+{}&c_{1}a_{2}\mathbf {j} &&+c_{1}b_{2}\mathbf {ji} &&+c_{1}c_{2}\mathbf {j} ^{2}&&+c_{1}d_{2}\mathbf {jk} \\{}+{}&d_{1}a_{2}\mathbf {k} &&+d_{1}b_{2}\mathbf {ki} &&+d_{1}c_{2}\mathbf {kj} &&+d_{1}d_{2}\mathbf {k} ^{2}\end{alignedat}}}$$

ここで、上記の規則に従って基底要素を掛け合わせると次の式が得られます。^[9]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&-b_{1}b_{2}&&-c_{1}c_{2}&&-d_{1}d_{2}\\{}+{}(&a_{1}b_{2}&&+b_{1}a_{2}&&+c_{1}d_{2}&&-d_{1}c_{2})\mathbf {i} \\{}+{}(&a_{1}c_{2}&&-b_{1}d_{2}&&+c_{1}a_{2}&&+d_{1}b_{2})\mathbf {j} \\{}+{}(&a_{1}d_{2}&&+b_{1}c_{2}&&-c_{1}b_{2}&&+d_{1}a_{2})\mathbf {k} \end{alignedat}}}$$

a + 0 i + 0 j + 0 k の形式の四元数（aは実数）はスカラーと呼ばれ、 0 + b i + c j + d k の形式の四元数（b、c、dは実数で、 b、c、dの少なくとも 1 つが0 以外）はベクトル四元数と呼ばれます。a + b i + c j + d kが任意の四元数である場合、a はそのスカラー部分と呼ばれ、b i + c j + d k はそのベクトル部分と呼ばれます。 すべての四元数は 4 次元ベクトル空間のベクトルとして見ることができますが、ベクトル部分を 3 次元空間のベクトルと呼ぶのが一般的です。 この規則では、ベクトルはベクトル空間^[b]の要素と同じです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

ハミルトンはベクトル四元数を右四元数^{[24] [25]}とも呼び、実数（ベクトル部分がゼロの四元数と考えられる）をスカラー四元数とも呼んだ。

四元数をスカラー部分とベクトル部分に分割すると、

$${\displaystyle \mathbf {q} =(r,\,{\vec {v}}),\ \mathbf {q} \in \mathbb {H} ,\ r\in \mathbb {R} ,\ {\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3},}$$

加算、乗算、逆乗の公式は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(r_{1},\,{\vec {v}}_{1})+(r_{2},\,{\vec {v}}_{2})&=(r_{1}+r_{2},\,{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}),\\[5mu](r_{1},\,{\vec {v}}_{1})(r_{2},\,{\vec {v}}_{2})&=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\,r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2}),\\[5mu](r,\,{\vec {v}})^{-1}&=\left({\frac {r}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}},\ {\frac {-{\vec {v}}}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\right),\end{aligned}}}$$

ここで、「」と「」はそれぞれ内積と外積を表します。 ${\displaystyle {}\cdot {}}$${\displaystyle \times }$

四元数の共役は、複素数の共役やクリフォード代数の元の転置（反転とも呼ばれる）に類似しています。これを定義するには、を四元数とします。qの共役は四元数です。これはq ^∗、q ^t、、またはqで表されます。^[9]共役は反転、つまりそれ自身の逆であることを意味します。したがって、要素を 2 回共役すると、元の要素に戻ります。2 つの四元数の積の共役は、共役を逆の順序で積んだものです。つまり、pとqが四元数の場合、( pq ) ^∗ = q ^∗ p ^∗であり、p ^∗ q ^∗ではありません。 ${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle {\tilde {q}}}$

複素数の設定とはまったく対照的に、四元数の共役は四元数の乗算と加算で表現できます。

$${\displaystyle q^{*}=-{\tfrac {1}{2}}(q+\mathbf {i} \,q\,\mathbf {i} +\mathbf {j} \,q\,\mathbf {j} +\mathbf {k} \,q\,\mathbf {k} ).}$$

共役は四元数のスカラー部分とベクトル部分を抽出するために使用できます。p のスカラー部分は⁠1/2⁠ ( p + p ^∗ )であり、 pのベクトル部分は⁠1/2⁠ ( p − p ^∗ )。

四元数とその共役の積の平方根はノルムと呼ばれ、‖ q ‖と表記されます(ハミルトンはこの量をqのテンソルと呼びましたが、これは「テンソル」の現代的な意味とは矛盾しています)。式では、次のように表現されます。

$${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {qq^{*}}}={\sqrt {q^{*}q}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$$

これは常に非負の実数であり、ベクトル空間として考えた場合のユークリッドノルムと同じです。四元数に実数を掛けると、そのノルムはその数の絶対値でスケーリングされます。つまり、αが実数の場合、 ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

$${\displaystyle \lVert \alpha q\rVert =\left|\alpha \right|\,\lVert q\rVert .}$$

これはノルムが乗法的であるという事実の特別なケースであり、つまり

$${\displaystyle \lVert pq\rVert =\lVert p\rVert \,\lVert q\rVert }$$

任意の2つの四元数pとqに対して、乗法性は積の共役の公式から導かれる。あるいは、次の恒等式から導かれる。

$${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a+ib&id+c\\id-c&a-ib\end{pmatrix}}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2},}$$

(ここでi は通常の虚数単位を表します)、したがって正方行列の行列式の乗法特性から得られます。

このノルムにより、 pとqの間の距離 d ( p , q )をそれらの差のノルムとして 定義することが可能になります。

$${\displaystyle d(p,q)=\lVert p-q\rVert .}$$

これにより、距離空間が作成されます。加算と乗算は、関連付けられた距離位相に関して連続です。これは、がノルム代数である という事実から、実数の場合とまったく同じ証明で得られます。${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

単位四元数はノルムが 1 の四元数です。非ゼロの四元数q をそのノルムで割ると、 qのバーサーと呼ばれる単位四元数U qが生成されます。

$${\displaystyle \mathbf {U} q={\frac {q}{\lVert q\rVert }}.}$$

すべての非ゼロ四元数は固有の極分解 を持ちますが、ゼロ四元数は任意の単位四元数から形成できます。 ${\displaystyle q=\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q,}$

共役とノルムを使うと、非ゼロの四元数の逆数を定義することができます。四元数とその逆数の積は1に等しく、上記の考察から、と（どちらの乗算順序でも）の積は1であることがわかります。したがって、qの逆数は次のように定義されます 。${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{*}/\left\Vert q\right\|^{2}}$

$${\displaystyle q^{-1}={\frac {q^{*}}{\lVert q\rVert ^{2}}}.}$$

乗算は非可換なので、商の量p q ⁻¹またはq ⁻¹ p は  異なります（pとq が互いのスカラー倍数である場合、または一方がスカラーである場合を除く）。表記法⁠p/q⁠ は曖昧なので使用しないでください。

すべての四元数の集合は、次元 4 の実数上のベクトル空間です。 ^[c]四元数の乗算は結合的であり、ベクトルの加算に対して分配されますが、スカラー サブセットを除いて可換ではありません。したがって、四元数は実数上の非可換結合代数です。複素数のコピーが含まれていますが、複素数上の結合代数ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

四元数は除算が可能なため、除算代数を形成します。これは、乗算の非可換性を除いて、体に似た構造です。実数上の有限次元結合除算代数は非常にまれです。フロベニウスの定理によれば、、 、 の3 つだけ存在します。ノルムにより、四元数はノルム代数 になり、実数上のノルム除算代数も非常にまれです。フルヴィッツの定理によれば、 、、、 （八元数）の 4 つしかありません。四元数は、合成代数や単位バナッハ代数の例でもあります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {O} }$

任意の 2 つの基底ベクトルの積は、別の基底ベクトルのプラスまたはマイナスであるため、集合{±1, ± i、 ± j、 ± k }は乗法に関して群を形成します。この非可換群は四元数群と呼ばれ、 Q ₈と表記されます。^[26] Q ₈の実群環は上の 8 次元ベクトル空間でもある環です。これは の各元に対して 1 つの基底ベクトルを持ちます。四元数は、 の商環と、元1 + (−1)、i + (− i )、j + (− j )、およびk + (− k )によって生成されるイデアルと同型です。ここで、各差分の最初の項は基底元1、i、j、およびkのいずれかであり、2 番目の項は基底元−1、 − i、 − j、および− kのいずれかであり、 1、i、j、およびkの加法逆ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}.}$${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}$

四元数のベクトル部分は、座標ベクトルとして解釈できるため、四元数の代数演算は四元数の幾何学を反映します。ベクトルの内積や外積などの演算は四元数で定義できるため、空間ベクトルが発生する場所であればどこでも四元数の手法を適用できます。四元数の便利な用途としては、コンピュータグラフィックスのキーフレームの方向を補間することが挙げられます。^[16]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3};}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

この節の残りの部分では、i、j、k は、の３つの虚数^[27]基底ベクトルと の基底の両方を表します。 iを− iに、jを− jに、kを− kに置き換えると、ベクトルはその加法逆ベクトルに変換されるため、ベクトルの加法逆ベクトルは、その共役である四元数と同じになります。このため、共役は空間逆ベクトルと呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

2つのベクトル四元数p = b ₁ i + c ₁ j + d ₁ k とq = b ₂ i + c ₂ j + d ₂ k のドット積は、ベクトルの場合 と同様に、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$

$${\displaystyle p\cdot q=b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}.}$$

これは、成分のない形で次のように表現することもできる。

$${\displaystyle p\cdot q=\textstyle {\frac {1}{2}}(p^{*}q+q^{*}p)=\textstyle {\frac {1}{2}}(pq^{*}+qp^{*}).}$$

これは積pq ^∗、qp ^∗、p ^∗ q、q ^∗ pのスカラー部分に等しくなります。ベクトル部分は異なることに注意してください。

順序基底i、j、kによって決定される方向に対するpとqの外積は、

$${\displaystyle p\times q=(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\mathbf {i} +(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})\mathbf {j} +(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})\mathbf {k} .}$$

（向きは符号を決定するために必要であることを思い出してください。）これは、積pq（四元数として）のベクトル部分、および−q ∗ p ∗ のベクトル部分に^等しく、^次の式も持っています。

$${\displaystyle p\times q=\textstyle {\tfrac {1}{2}}(pq-qp).}$$

2つのベクトル四元数の交換 子[ p , q ] = pq − qpについては、次式が得られる。

$${\displaystyle [p,q]=2p\times q.}$$

一般に、pとqを四元数とし、

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{\text{s}}+p_{\text{v}},\\[5mu]q&=q_{\text{s}}+q_{\text{v}},\end{aligned}}}$$

ここでp _sとq _{s は}スカラー部分、p _vとq _{v は}pとqのベクトル部分です。すると次の式が得られます。

$${\displaystyle pq=(pq)_{\text{s}}+(pq)_{\text{v}}=(p_{\text{s}}q_{\text{s}}-p_{\text{v}}\cdot q_{\text{v}})+(p_{\text{s}}q_{\text{v}}+q_{\text{s}}p_{\text{v}}+p_{\text{v}}\times q_{\text{v}}).}$$

これは、四元数の乗算の非可換性がベクトル四元数の乗算から来ていることを示しています。また、2つの四元数が可換なのは、それらのベクトル部分が同一直線上にある場合のみであることも示しています。ハミルトン^{[28]は、この積が、与えられた2つの頂点とそれに関連する弧の長さから球面三角形の3番目の頂点を計算することを示し、これは}楕円幾何学における点の代数でもあります。

単位四元数は回転と同一視され、ハミルトンはこれをベルソルと呼んだ。 ^[28]四元数を使用した3次元回転のモデル化の詳細については、 「四元数と空間回転」も参照。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

四元数の視覚化についてはHanson (2005) ^[29]を参照。

複素数が行列として表現できるのと同様に、四元数も行列として表現できます。四元数の加算と乗算が行列の加算と乗算に対応するように、四元数を行列として表現する方法が少なくとも 2 つあります。1 つは 2 × 2 複素行列を使用する方法で、もう 1 つは 4 × 4実行行列を使用する方法です。いずれの場合も、与えられた表現は線形関連表現の族の 1 つです。これらは、それぞれから行列環M(2, C )とM(4, R )への単射準 同型です。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$

四元数a + b i + c j + d kは2×2の複素行列で次のように表すことができます。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\phantom {-}}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}}.}$$

この表現には次の特性があります。

• b、c、dのいずれか 2 つを0 に制限すると、複素数の表現が生成されます。たとえば、c = d = 0に設定すると、複素数の対角複素行列表現が生成され、b = d = 0に設定すると、実数行列表現が生成されます。
• 四元数のノルム（複素数の場合と同様に、その共役数との積の平方根）は、対応する行列の行列式の平方根である。^[30]
• 四元数のスカラー部分は行列トレースの半分です。
• 四元数の共役は行列の共役転置に対応します。
• 制限により、この表現は単位四元数のサブグループとその像SU(2)の間に同型性をもたらします。位相的には、単位四元数は3 次元球面であるため、 SU(2) の基礎となる空間も 3 次元球面です。群SU(2)は量子力学におけるスピンを表すために重要です。パウリ行列を参照してください。
• 四元数単位とパウリ行列の間には強い関係がある。上記の 2 × 2 複素行列は と書くことができるので、この表現では四元数単位{±1, ± i , ± j , ± k }は{± I , , , } = {± I , , , }に対応するので、任意の 2 つのパウリ行列を掛け合わせると、-1 を除くすべての四元数単位行列が必ず得られる。-1 はi ² = j ² = k ² = ijk = -1で得られる。例えば、最後の等式は${\displaystyle aI+bi\sigma _{3}+ci\sigma _{2}+di\sigma _{1}}$${\displaystyle \pm i\sigma _{3}}$${\displaystyle \pm i\sigma _{2}}$${\displaystyle \pm i\sigma _{1}}$${\displaystyle \pm \sigma _{1}\sigma _{2}}$${\displaystyle \pm \sigma _{3}\sigma _{1}}$${\displaystyle \pm \sigma _{2}\sigma _{3}}$$${\displaystyle \mathbf {i\;j\;k} =\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=-1.}$$
• M(2, C )における表現は一意ではない。四元数とパウリ行列の巡回順序の方向を保つ別の慣例は、$${\displaystyle 1\mapsto \mathbf {I} ,\quad \mathbf {i} \mapsto -i\sigma _{1}=-\sigma _{2}\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto -i\sigma _{2}=-\sigma _{3}\sigma _{1},\quad \mathbf {k} \mapsto -i\sigma _{3}=-\sigma _{1}\sigma _{2},}$$
  これは別の表現を与える。^[31] $${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} \mapsto {\begin{bmatrix}a-di&-c-bi\\c-bi&{\phantom {-}}a+di\end{bmatrix}}.}$$

4×4の実数行列を使うと、同じ四元数は次のように表される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&-b&-c&-d\\b&a&-d&c\\c&d&a&-b\\d&-c&b&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right].\end{aligned}}}$$

しかし、 M(4, R )における四元数の表現は一意ではない。例えば、同じ四元数は次のようにも表現できる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&d&-b&-c\\-d&a&c&-b\\b&-c&a&-d\\c&b&d&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right].\end{aligned}}}$$

この形式の行列表現は 48 種類あり、そのうちの 1 つがスカラー部分を表し、他の 3 つがすべて歪対称です。より正確には、これらの対称制約を持つ 48 組の行列の 4 重体があり、1、i、j、kを 4 重体内の行列に送る関数は準同型、つまり、四元数の和と積を行列の和と積に送ります。^[32] この表現では、四元数の共役は行列の転置に対応します。四元数のノルムの 4 乗は、対応する行列の行列式です。四元数のスカラー部分は、行列トレースの 4 分の 1 です。上記の 2 × 2 複素数表現と同様に、係数を適切に制約することで複素数を生成することができます。たとえば、c = d = 0と設定して、 2 つの 2 × 2 ブロックを持つブロック対角行列として。

4×4行列表現の各四元数は、単位四元数の乗算表に対応する。例えば、上記の最後の行列表現は、乗算表に対応する。

これは、 ${\displaystyle \{a\mapsto 1,\,b\mapsto i,\,c\mapsto j,\,d\mapsto k\}}$

このような掛け算表を、最初の行と列で恒等式を持ち、行ヘッダーの符号が列ヘッダーの符号と反対になるように制約すると、2 番目の列には 3 つの選択肢（符号を無視）、3 番目の列には 2 つの選択肢（符号を無視）、4 番目の列には 1 つの選択肢（符号を無視）があり、合計 6 つの可能性ができます。次に、2 番目の列は正または負のいずれか、3 番目の列は正または負、4 番目の列は正または負のいずれかを選択できるため、符号の可能性は 8 つになります。文字の位置とその符号の可能性を掛け合わせると、48 になります。次に、1 をaに、iをbに、j をcに、k をdに置き換え、行ヘッダーと列ヘッダーを削除すると、 a + b i + c j + d k という行列表現が得られます。

四元数は、整数論におけるラグランジュの四平方定理の証明の 1 つにも使用されます。この定理は、すべての非負整数は 4 つの整数平方の和であるとしています。ラグランジュの四平方定理は、それ自体がエレガントな定理であるだけでなく、組合せ設計理論など、整数論以外の数学の分野でも役立ちます。四元数ベースの証明では、ユークリッドの互除法の類似物があるすべての四元数の環の部分環であるフルヴィッツ四元数を使用します。

四元数は複素数のペアとして表すことができます。この観点から、四元数はケーリー・ディクソン構成を複素数に 適用した結果です。これは、複素数を実数のペアとして構成することを一般化したものです。

を複素数上の2次元ベクトル空間とします。2つの要素1とjからなる基底を選択します。 のベクトルは、基底要素1とjを使って次のよう に表すことができます。${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

$${\displaystyle (a+bi)1+(c+di)\mathbf {j} .}$$

j ² = −1およびi j = − j iと定義すると、分配法則を使用して2つのベクトルを掛け合わせることができます。積i jの省略表記としてk を使用すると、通常の四元数と同じ乗算規則が適用されます。したがって、上記の複素数ベクトルは四元数a + bi + c j + d kに対応します。の要素を順序付きペアとして、四元数を4つ組として記述すると、対応は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

$${\displaystyle (a+bi,\,c+di)\leftrightarrow (a,\,b,\,c,\,d).}$$

複素数には、平方すると −1 になる数がiと− i の2 つだけあります。 には、マイナス 1 の平方根が無限にあります。 −1 の平方根の四元数解は、 の単位球面です。これを確認するには、 q = a + b i + c j + d k を四元数とし、その平方が−1であると仮定します。 a、b、c、dについて、これは次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}&=-1,{\vphantom {x^{|}}}\\[3mu]2ab&=0,\\[3mu]2ac&=0,\\[3mu]2ad&=0.\end{aligned}}}$$

最後の 3 つの方程式を満たすには、a = 0か、b、c、dがすべて 0 のいずれかになります。aは実数であり、最初の方程式はa ² = −1を意味するため、後者は不可能です。したがって、a = 0で、b ² + c ² + d ² = 1 です。言い換えると、四元数が −1 に二乗するのは、ノルムが 1 のベクトル四元数である場合のみです。定義により、そのようなベクトルすべての集合は単位球面を形成します。

負の実数四元数のみが無限個の平方根を持ちます。その他は 2 個 (0 の場合は 1 個) しかありません。^{[要出典] [d]}

−1の平方根の各対は、^四元数内の複素数の異なるコピーを作成します。q 2 = −1の場合、コピーは関数の 像です。

$${\displaystyle a+bi\mapsto a+bq.}$$

これはからへの入射的な 環準同型であり、からその像への体同型を定義します。 qと − qに対応する埋め込みの像は同一です。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

すべての非実数四元数は、 と同型で の平面部分空間である四元数の部分代数を生成し、q をそのスカラー部分とベクトル部分の合計として 書きます。${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} \colon }$

$${\displaystyle q=q_{s}+{\vec {q}}_{v}.}$$

ベクトル部分をそのノルムとバーサーの積としてさらに分解します。

$${\displaystyle q=q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert \cdot \mathbf {U} {\vec {q}}_{v}=q_{s}+\|{\vec {q}}_{v}\|\,{\frac {{\vec {q}}_{v}}{\|{\vec {q}}_{v}\|}}.}$$

(これは と同じではありません。) qのベクトル部分のバーソル、は、–1 をその平方とする右バーソルです。簡単な検証により、 は から のノルム代数の四元数への入射準同型 を定義することがわかります。この準同型では、q は複素数 の像です。 ${\displaystyle q_{s}+\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q}$${\displaystyle \mathbf {U} {\vec {q}}_{v}}$$${\displaystyle a+bi\mapsto a+b\mathbf {U} {\vec {q}}_{v}}$$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert i}$

これらすべての準同型の像の和集合と同様に、四元数は実数直線上で交差する平面の束として見ることができます。これらの複素平面のそれぞれには、マイナス 1 の平方根の球面の ちょうど 1 対の反対心点が含まれます。${\displaystyle \mathbb {H} }$

の複素部分平面内における四元数同士の関係は、可換部分環によって識別および表現することもできます。具体的には、2 つの四元数pとqが可換 (つまり、pq = qp ) となるのは、それらが の同じ複素部分平面内にある場合のみであるため、四元数環のすべての可換部分環を見つけようとすると、複素平面の和集合としてののプロファイルが生じます。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

任意の四元数（ここではスカラー-ベクトル表現で表されている）には、方程式を解く少なくとも1つの平方根があります。この方程式のスカラー部分とベクトル部分を別々に見ると、2つの方程式が得られ、解くと次の解が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {q} =(r,\,{\vec {v}})}$${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {q} }}=(x,\,{\vec {y}})}$${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {q} }}^{\,2}=(x,\,{\vec {y}})^{2}=\mathbf {q} }$

$${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {q} }}={\sqrt {(r,\,{\vec {v}})}}=\pm \left({\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\|\mathbf {q} \|+r}{\bigr )}}},\ {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\|\mathbf {q} \|-r}{\bigr )}}}\right),}$$

ここで、は のノルムであり、は のノルムです。任意のスカラー四元数 について、 が任意の単位ベクトルとして解釈される 場合、この式は正しい平方根を提供します。${\textstyle \|{\vec {v}}\|={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}={\sqrt {-{\vec {v}}{\vphantom {v}}^{2}}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\textstyle \|\mathbf {q} \|={\sqrt {\mathbf {q} ^{*}\mathbf {q} }}=r^{2}+\|{\vec {v}}\|^{2}}$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\textstyle {\vec {v}}/\|{\vec {v}}\|}$

したがって、非ゼロ、非スカラーの四元数、または正のスカラー四元数は、正確に 2 つの根を持ちますが、0 は正確に 1 つの根 (0) を持ち、負のスカラー四元数は、無限個の根を持ちます。これらの根は、 上に位置するベクトル四元数、つまり、スカラー部分がゼロで、ベクトル部分が半径 の2 次元球面上に位置するものです。 ${\displaystyle \{0\}\times S^{2}{\bigl (}{\sqrt {-r}}{\bigr )}}$${\displaystyle {\sqrt {-r}}}$

複素変数の関数と同様に、四元数変数の関数は有用な物理モデルを示唆する。例えば、マクスウェルによって記述された元々の電場と磁場は四元数変数の関数であった。他の関数の例には、マンデルブロ集合とジュリア集合の4次元空間への拡張が含まれる。^[36]

四元数が与えられると、

$${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} =a+\mathbf {v} ,}$$

指数関数は次のように計算される^[37]

$${\displaystyle \exp(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}\left(\cos \|\mathbf {v} \|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\sin \|\mathbf {v} \|\right),}$$

そして対数は^[37]

$${\displaystyle \ln(q)=\ln \|q\|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\arccos {\frac {a}{\|q\|}}.}$$

したがって、四元数の極分解は次のように書ける。

$${\displaystyle q=\|q\|e^{{\hat {n}}\varphi }=\|q\|\left(\cos(\varphi )+{\hat {n}}\sin(\varphi )\right),}$$

ここで角度 ^[e]${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle a=\|q\|\cos(\varphi )}$$

単位ベクトルは次のように定義されます。 ${\displaystyle {\hat {n}}}$

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {n}}\|\mathbf {v} \|={\hat {n}}\|q\|\sin(\varphi ).}$$

任意の単位四元数は次のように極形式で表現できます。

$${\displaystyle q=\exp {({\hat {n}}\varphi )}.}$$

任意の（実）指数xで累乗された四元数の累乗は次のように表されます。

$${\displaystyle q^{x}=\|q\|^{x}e^{{\hat {n}}x\varphi }=\|q\|^{x}\left(\cos(x\varphi )+{\hat {n}}\,\sin(x\varphi )\right).}$$

単位四元数pとqの間の測地線距離 dg ( p , q )は_次のように定義される: ^[39]

$${\displaystyle d_{\text{g}}(p,q)=\lVert \ln(p^{-1}q)\rVert .}$$

これは、 S ³球面の大弧に沿ってpとqがなす角度の半分の絶対値に相当します。この角度は、対数なしの四元数ドット積から次のように計算することもできます。

$${\displaystyle d_{\text{g}}(p,q)=\arccos(2(p\cdot q)^{2}-1).}$$

「共役」という言葉は、上記の意味のほかに、元aをr a r ⁻¹（rは非ゼロの四元数）に取ることも意味します。与えられた元と共役な元（共役という言葉のこの意味で）はすべて、同じ実部と同じベクトル部分のノルムを持ちます。（したがって、他の意味での共役は、この意味での共役の1つです。）^[40]

このように、非ゼロ四元数の乗法群は、実部がゼロの四元数からなるのコピーに共役作用を及ぼす。実部cos( φ )を持つ単位四元数（絶対値1の四元数）による共役は、角度2φの回転であり、回転軸はベクトル部の方向である。四元数の利点は以下の通りである。^[41]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• オイラー角などのシステムで問題となるジンバルロックを回避します。
• 行列よりも高速かつコンパクトです。
• 非特異表現（たとえばオイラー角と比較）。
• 単位四元数のペアは、 4D空間での回転を表します( 「4 次元ユークリッド空間での回転: 4D 回転の代数」を参照)。

すべての単位四元数（ベルソル）の集合は、3次元球面S ³と乗法の下で群（リー群）を形成し、 2つの単位四元数が上記の対応の下であらゆる回転に対応するため、行列式 1の実直交3×3 行列の群を二重に覆います。プレートトリックを参照してください。 ${\displaystyle {\text{SO}}(3,\mathbb {R} )}$

ベルソルの部分群の像は点群であり、逆に、点群の逆像はベルソルの部分群です。有限点群の逆像は、接頭辞にバイナリを付けた同じ名前で呼ばれます。たとえば、二十面体群の逆像は、バイナリ二十面体群です。

ベルソル群は、行列式1の複素ユニタリ2×2行列の群であるSU(2)と同型である。

A を形式a + b i + c j + d k の四元数の集合とします。ここで、a、b、c、 dはすべて整数かすべて半整数です。集合Aは環 (実際は定義域) と格子であり、フルヴィッツ四元数の環と呼ばれます。この環には 24 個の単位四元数があり、それらはシュレーフリ記号{3,4,3}を持つ正 24 セルの頂点です。それらは、正四面体の回転対称群の二重被覆に対応します。同様に、シュレーフリ記号{3,3,5 }を持つ正 600 セルの頂点は、正 20 面体の回転対称群の二重被覆に対応する単位20 個とすることができます。正八面体の回転対称群の二重被覆は、二蝶形288セルの頂点を表す四元数に対応する。^[42]

四元数は、四元数代数と呼ばれるさらなる代数に一般化できます。F を2 とは異なる特性を持つ任意の体とし、aとb をFの元とします。基底1、i、j、 ijを持つF上の 4 次元ユニタリ結合代数を定義できます。ここで、 i ² = a、j ² = b、ij = − ji (したがって、(ij) ² = − ab ) です。

四元数代数は、 aとbの選択に応じて、 F上の 2×2 行列の代数と同型であるか、 F上の除算代数を形成します。

四元数の幾何学的計算における有用性は、四元数をクリフォード代数の偶数部分として特定することで他の次元に一般化することができる。これは、積の規則を使用して 基本基底要素σ ₁、σ ₂、σ ₃ から構築された結合マルチベクトル代数である。${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} ).}$

$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=1,}$$ $${\displaystyle \sigma _{m}\sigma _{n}=-\sigma _{n}\sigma _{m}\qquad (m\neq n).}$$

これらの基本的な基底要素を 3D 空間のベクトルを表すものとしてとらえると、単位ベクトルwに垂直な平面におけるベクトルrの反射は次のように表すことができます。

$${\displaystyle r^{\prime }=-w\,r\,w.}$$

2回の反射は、2つの反射面の間の角度の2倍の回転角を生じます。

$${\displaystyle r^{\prime \prime }=\sigma _{2}\sigma _{1}\,r\,\sigma _{1}\sigma _{2}}$$

σ ₁とσ _{2 を}含む平面での 180° の回転に対応する。これは対応する四元数式と非常によく似ている。

$${\displaystyle r^{\prime \prime }=-\mathbf {k} \,r\,\mathbf {k} .}$$

実際、2つの構造と は同型である。自然な同一視の1つは ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {H} }$

$${\displaystyle 1\mapsto 1,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2},}$$

そして、これがハミルトン関係式を保存することは簡単に確認できる。

$${\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1.}$$

この図では、いわゆる「ベクトル四元数」（つまり、純虚数四元数）はベクトルではなく、バイベクトルに対応しています。バイベクトルとは、1D方向ではなく 特定の 2D 平面に関連付けられた大きさと方向を持つ量です。複素数との関係もより明確になります。2D では、2 つのベクトル方向σ ₁とσ _{2があり、バイベクトル基底要素}σ ₁ σ ₂は 1 つだけなので、虚数も 1 つだけです。しかし、3D では、3 つのベクトル方向があり、バイベクトル基底要素σ ₂ σ ₃、σ ₃ σ ₁、σ ₁ σ ₂は 3 つなので、虚数も 3 つあります。

この推論はさらに拡張されます。クリフォード代数には6 つのバイベクトル基底要素があります。これは、4 つの異なる基本ベクトル方向で 6 つの異なるペア、したがって 6 つの異なる線形独立平面を定義できるためです。このような空間で、回転子と呼ばれる四元数の一般化を使用した回転は、同次座標を含むアプリケーションで非常に役立ちます。ただし、基底バイベクトルの数が基底ベクトルの数に等しく、各バイベクトルを擬似ベクトルとして識別できるのは 3D の場合のみです。 ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{4,0}(\mathbb {R} ),}$

この広い設定に四元数を配置することにはいくつかの利点がある: ^[43]

• ローターは幾何代数の自然な部分であり、二重反射のエンコードとして簡単に理解できます。
• 幾何代​​数では、ローターとそれが作用するオブジェクトは同じ空間に存在します。これにより、従来は線形代数を四元数で拡張する際に必要であった表現を変更したり、新しいデータ構造やメソッドをエンコードしたりする必要がなくなります。
• ローターは、ベクトルやその他の四元数だけでなく、線、平面、円、球、光線など、代数のあらゆる要素に普遍的に適用できます。
• ユークリッド幾何学の共形モデルでは、ローターにより、代数の単一要素で回転、平行移動、スケーリングをエンコードでき、どの要素にも普遍的に作用します。特に、これはローターが任意の軸の周りの回転を表現できることを意味しますが、四元数は原点を通る軸に制限されます。
• ローターエンコード変換により、補間が特に簡単になります。
• ローターは、例えば特殊相対論のミンコフスキー空間のような擬ユークリッド空間にも自然に持ち越される。そのような空間では、ローターはローレンツブーストを効率的に表現したり、ガンマ行列を含む式を解釈したりするために使用できる。^[要出典]

クリフォード代数の幾何学的用途の詳細については、「幾何代数」を参照してください。

四元数は、実数上のすべての CSA が実数または四元数のいずれかとBrauer 同値であるという意味で、実数上の唯一の (非自明な)中心単純代数(CSA) である「本質的に」です。明示的に、実数のBrauer 群は、実数と四元数によって表される 2 つのクラスで構成されます。ここで、Brauer 群は、1 つの CSA が別の CSA 上の行列環であるという同値関係を除き、すべての CSA の集合です。Artin -Wedderburn 定理(具体的には Wedderburn の部分) により、CSA はすべて除算代数上の行列代数であるため、四元数は実数上の唯一の非自明な除算代数です。

CSA は、体上の有限次元環であり、中心がまさに体である単純な代数(体と同様に、非自明な 2 辺イデアルを持たない) であり、拡大体の非可換類似体であり、一般的な環拡大よりも制限が厳しい。四元数が実数上の唯一の非自明な CSA (同値性を除く) であるという事実は、複素数が実数の唯一の非自明な有限体拡大であるという事実と比較できる。

私は、x、y、zなどに頼る必要が生じたり、必要になると思われるときはいつでも、四元数、あるいはむしろこれまで展開されてきた状態において、それを不格好、あるいは不完全であると考えています。

— ウィリアム・ローワン・ハミルトン（ 1848年頃）^[44]

時間には 1 つの次元しかなく、空間には 3 つの次元があると言われています。... 数学的な四元数は、これら両方の要素を持ちます。専門用語では、「時間と空間」または「空間と時間」と言うことができます。この意味では、四元数は 4 つの次元を持つか、少なくとも 4 つの次元への参照を含みます。...そして、時間の 1 つと空間の 3 つが、シンボルの連鎖でどのように囲まれるか。

— ウィリアム・ローワン・ハミルトン（ 1853年頃）^[45]

四元数は、ハミルトンの本当に優れた研究が行われた後に生まれました。そして、それは美しく独創的ではありましたが、クラーク・マクスウェルを含め、何らかの形でそれに触れた人々にとっては、純粋な悪でした。

—  W.トンプソン、ケルビン卿（1892）^[46]

確かに、電磁気理論（および数理物理学全般）におけるベクトル解析の適切性を認識していたものの、デカルト解析よりも理解し、取り組むのが難しいと考えていた時期がありました。しかし、それは、このテーマに関する唯一の入手可能な論文であるテイト教授の「四元数」を読んでいるときに、私の肩にまとわりついていた四元数の老人を捨て去る前のことでした。しかし、後になって、私が必要とするベクトル解析に関する限り、四元数は必要ないだけでなく、かなり大きな悪影響があること、そして、四元数を避けることでベクトル解析の確立が非常に簡単になり、その動作も単純化され、通常のデカルトの研究と都合よく調和できることが分かりました。私のどの論文にも四元数の影もありません（特別な目的のための 1 つの論文を除く）。私が使用するベクトル解析は、デカルト解析の便利で体系的な省略形として説明できます。あるいは、四元数のない四元数として... 「四元数」は、アメリカの女子生徒が「古代の宗教儀式」と定義したと思います。しかし、これは完全な間違いでした。古代人は、テイト教授とは異なり、四元数を知らず、崇拝もしていませんでした。

— オリバー・ヘヴィサイド(1893) ^[47]

行列も四元数も通常のベクトルも、この 10 章から排除されたわけではありません。なぜなら、現代のテンソル計算の圧倒的な力にもかかわらず、これらの古い数学言語は、特殊相対論の限られた分野では、私の意見では、引き続き顕著な利点を提供し続けているからです。さらに、科学でも日常生活でも、複数の言語を習得することは貴重です。それは、私たちの視野を広げ、言葉や数学記号で表現された事柄に関する批判に役立ち、その虚偽性 [根拠の弱さ] を防ぐからです。

— ルドウィック・シルベスタイン(1924) ^[48]

... 四元数は、数学的アイデアの存続をかけた闘いの中で、むしろ失敗した種族として、19 世紀の衰退の雰囲気を漂わせているように見える。確かに、数学者は四元数の驚くべき代数的特性に今でも心の中で温かい場所を保っているが、残念ながら、そのような熱意は、頭の固い物理学者にはほとんど意味がない。

— サイモン・L・アルトマン（1986）^[49]

• 四元数とオイラー角の変換 – 数学的戦略
• 双対四元数 – 実数上の8次元代数
• 双対複素数 – 実数上の 4 次元代数Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 外代数 – 任意のベクトル空間に関連する代数
• フルヴィッツ四元数順序 – 数学の概念
• 双曲四元数 – 単位ベクトルが +1 に二乗される四元数の変化
• レナート球 – 球面幾何学を教えるために使われる透明なホワイトボード用球
• パウリ行列 – 量子力学とスピンの研究で重要な行列
• 四元数多様体 – 幾何学の概念
• 四元数行列 – 線形代数の概念
• 四元多面体 – 幾何学の概念
• 四元数射影空間 – 数学の概念
• 4次元ユークリッド空間における回転 – 特殊直交群
• Slerp  – コンピュータグラフィックスにおける球面線形補間
• 分割四元数 – 実数上の4次元結合代数
• Tesseract  – 立方体の 4 次元版

• ウィキメディア・コモンズの四元数に関連するメディア
• ポールソン、ローレンス C.クォータニオン (Isabelle/HOL における形式的証明の開発、形式的証明のアーカイブ)
• クォータニオン – 視覚化