焦点（幾何学）

楕円は、与えられた2つの焦点までの距離の合計が一定となる点の軌跡として定義できる。

円は、2つの焦点が一致する楕円の特殊な場合である。したがって、円は、それぞれが与えられた単一の焦点から一定の距離にある点の軌跡として、より簡潔に定義できる。また、円は、2つの異なる焦点に関して、2つの焦点までの距離の比率が一定である点の軌跡として、アポロニウスの円として定義することもできる。

放物線は、焦点の1つが無限遠点にある楕円の極限の場合である。

双曲線は、与えられた2つの焦点までの距離の差の絶対値が一定となる点の軌跡として定義できる。

円錐曲線はすべて、焦点と、焦点を含まない与えられた直線である準線という単一の要素で表すこともできます。円錐曲線は、焦点までの距離を準線までの距離で割った値が、離心率eと呼ばれる一定の正の定数となる点の軌跡として定義されます。0 < e < 1の場合、円錐曲線は楕円、e = 1の場合、円錐曲線は放物線、e > 1の場合、円錐曲線は双曲線になります。焦点までの距離が固定され、準線が無限遠の直線である場合、つまり離心率がゼロの場合、円錐曲線は円になります。

すべての円錐曲線は、単一の焦点と単一の円形準線から等距離にある点の軌跡として記述することもできます。楕円の場合、焦点と準線円の中心はどちらも有限の座標を持ち、準線円の半径は準線円の中心と焦点との距離よりも大きいため、焦点は準線円の内側にあります。このようにして生成された楕円は、準線円の中心に第二の焦点を持ち、楕円全体が準線円の内側に収まります。

放物線の場合、準線の中心は無限遠点に移動します（射影幾何学を参照）。準線「円」は曲率ゼロの曲線となり、直線と区別がつかなくなります。放物線の2つの腕は、伸びるにつれてますます平行になり、「無限遠点」では平行になります。射影幾何学の原理を用いると、2つの平行線は無限遠点で交わり、放物線は閉曲線（楕円投影）になります。

双曲線を生成するには、準線円の半径を、その円の中心と焦点との距離よりも小さく選びます。したがって、焦点は準線円の外側に位置します。双曲線の腕は漸近線に近づき、双曲線の一方の枝の「右側」の腕は、もう一方の枝の「左側」の腕と無限遠点で交わります。これは、射影幾何学において、1本の直線は無限遠点で自身と交わるという原理に基づいています。したがって、双曲線の2つの枝は、無限遠で閉じられた曲線の2つの（ねじれた）半分になります。

射影幾何学においては、すべての円錐曲線は等価である。つまり、ある円錐曲線について述べられる定理は、他の円錐曲線についても述べられる。

重力二体問題では、2つの物体が互いの周りを回る軌道は、2つの重なり合う円錐曲線によって記述され、一方の円錐曲線の焦点の1つが、 2つの物体の重心（重心）において、もう一方の円錐曲線の焦点の1つと一致する。

例えば、小惑星冥王星の最大の衛星カロンは楕円軌道を描いており、その軌道の焦点の一つは冥王星とカロンの系の重心（両天体の間の空間にある点）にあります。そして冥王星自身も、同じ重心を焦点の一つとする楕円軌道を描いて運動しています。冥王星の楕円軌道は、この系のアニメーションで示されているように、カロンの楕円軌道の内側に完全に収まっています。

それに対し、地球の月は、月と地球の重心（地球内部にある）を焦点の一つとする楕円軌道を描いて運動する。一方、地球（より正確にはその中心）は、地球内部にある同じ重心を焦点の一つとする楕円軌道を描いて運動する。この重心は、地球の中心から地表までの距離の約4分の3の位置にある。

さらに、冥王星・カロン系は、地球・月系（および太陽系内の他のすべての惑星・衛星系、あるいは衛星を持たない惑星）と同様に、太陽を中心として楕円軌道を描いて公転している。どちらの場合も、重心は太陽の内部に位置している。

2つの連星も、重心を焦点とする楕円軌道を描いて運動します。アニメーションについては、こちらをご覧ください。