最小位相

制御理論と信号処理において、線形時不変システムは、システムとその逆システムが因果的かつ安定である場合に最小位相であると言われる。^[¹^]^[²^]

最も一般的な因果的 LTI伝達関数は、全通過システムと最小位相システムの系列に一意に分解できます。システム関数は、この2つの部分の積であり、時間領域におけるシステムの応答は、この2つの部分の応答の畳み込みです。最小位相伝達関数と一般的な伝達関数の違いは、最小位相システムでは、伝達関数のすべての極と零点がs平面表現の左半分（離散時間では、それぞれz平面の単位円の内側）にあることです。システム関数を反転すると極が零点に、逆に極が零点に変わり、複素平面の右側（s平面の虚線）または外側（z平面の単位円）にある極は不安定なシステムにつながるため、反転に関して閉じているのは最小位相システムのクラスだけです。直感的に言えば、一般的な因果システムの最小位相部分は、最小群遅延で振幅応答を実現する一方、全通過部分は、位相応答のみを補正して元のシステム機能に一致させる。

極と零点による解析は、伝達関数が多項式の比として表現できる場合にのみ厳密に成り立ちます。連続時間の場合、このようなシステムは従来の理想化されたLCRネットワークのネットワークに変換されます。離散時間の場合、加算、乗算、および単位遅延を使用して、これらのネットワークの近似に簡単に変換できます。どちらの場合も、次数が増加する有理形式のシステム関数を使用して、他の任意のシステム関数を効率的に近似できることが示されています。したがって、有理形式を持たず、無限個の極や零点を持つシステム関数でさえ、実際には他のシステム関数と同様に効率的に実装できます。

因果的で安定したシステムの文脈では、閉包条件が問題にならない限り、理論的にはシステム関数の零点が安定範囲外（右側または外側）にあるかどうかを自由に選択できるはずです。しかし、理論的に完全な因数分解がそれ自体で重要であるのと同様に、逆変換は実用上非常に重要です。（別の重要な例として、スペクトル対称/反対称分解を参照。これは、例えばヒルベルト変換技術につながります。）多くの物理システムは自然に最小位相応答に向かう傾向があり、同じ制約に従う他の物理システムを使用して逆変換を行う必要がある場合もあります。

このシステムが最小位相システムと呼ばれる理由、そしてシステムの機能を実装可能な合理的な形式に変換できない場合でも、基本的な考え方が適用される理由について、以下で解説します。

逆システム

システム $\mathbb {H}$ 入力を出力から一意に決定できる場合、システムは可逆である。つまり、システムを見つけることができる。 $\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$ つまり、適用すると $\mathbb {H}$ に続く $\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$ すると、恒等式が得られる。 $\mathbb {I}$ （有限次元の類似例については逆行列を参照）。つまり、 $\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}\mathbb {H} =\mathbb {I} .}$

仮に $\displaystyle {\tilde {x}}}$ システムへの入力です $\mathbb {H}$ そして出力が得られます $\displaystyle {\tilde {y}}}$ : $\mathbb {H} {\チルダ {x}}={\チルダ {y}}.$

逆システムを適用する $\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$ に $\displaystyle {\tilde {y}}}$ 与える $\mathbb {H} _{\text{inv}}{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{\text{inv}}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {I} {\tilde {x}}={\tilde {x}}.$

つまり、逆システム $\displaystyle \mathbb {H} _{inv}}$ 入力を一意に決定することを可能にする $\displaystyle {\tilde {x}}}$ 出力から $\displaystyle {\tilde {y}}}$ 。

離散時間の例

システムが $\mathbb {H}$ これは、インパルス応答によって記述される離散時間線形時不変（LTI）システムである。 $h(n)$ $nは$ $Z$ に属する。さらに、 $\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$ インパルス応答がある $h_{\text{inv}}(n)$ 2つのLTIシステムのカスケード接続は畳み込みである。この場合、上記の関係は次のようになる。 $(h_{\text{inv}}*h)(n)=(h*h_{\text{inv}})(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)h_{\text{inv}}(nk)=\delta (n),$ どこ $\delta (n)$ はクロネッカーデルタ、または離散時間の場合の恒等式です。（順序を変更すると、 $h_{\text{inv}}$ そして $h$ 畳み込み演算の可換性により、これは許容されます。）この逆システムには注意が必要です。 $\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$ 必ずしも唯一無二である必要はない。

最小位相システム

因果律と安定性の制約を課すと、逆システムは一意になり、システムは $\mathbb {H}$ そしてその逆 $\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$ これらは最小位相と呼ばれます。離散時間の場合の因果律と安定性の制約は次のとおりです（時間不変システムの場合、 $h$ はシステムのインパルス応答であり、 $\displaystyle \|{\cdot }\|_{1}}$ はℓ ¹ノルムです):

因果関係

$h(n)=0\ \forall n<0$ そして $h_{\text{inv}}(n)=0\ \forall n<0.$

安定性

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h(n)|=\|h\|_{1}<\infty$ そして $\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h_{\text{inv}}(n)|=\|h_{\text{inv}}\|_{1}<\infty .$

連続時間の場合の同様の条件については、安定性に関する記事を参照してください。

頻度分析

離散時間周波数解析

離散時間の場合の周波数解析を実行すると、いくつかの洞察が得られます。時間領域の方程式は次のとおりです。 $(h*h_{\text{inv}})(n)=\delta (n).$

Z変換を適用すると、 z領域において以下の関係式が得られます。 $H(z)H_{\text{inv}}(z)=1.$

この関係から、次のことがわかる。 $H_{\text{inv}}(z)={\frac {1}{H(z)}}.$

簡略化のため、ここでは有理伝達関数 $H (z)$ の場合のみを考える。因果律と安定性から、 $H$ $($ $z$ $)$ のすべての極は単位円の内側に厳密に存在しなければならない（安定性の項を参照）。 $H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}},$ ここで、 $A (z)$ と $D (z)は$ $z$ に関する多項式である。因果律と安定性から、極（ $D$ $($ $z$ $)$ の根）は単位円の内側に厳密に存在しなければならない。また、 $H_{\text{inv}}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}},$ 因果関係と安定性 $H_{\text{inv}}(z)$ これは、その極 $（A$ $($ $z$ $)$ の根）が単位円の内側にある必要があることを意味します。これらの2つの制約は、最小位相システムの零点と極の両方が厳密に単位円の内側にある必要があることを意味します。

連続時間周波数解析

連続時間の場合の解析も同様の手順で進めますが、周波数解析にはラプラス変換を用います。時間領域の方程式は次のとおりです。 $(h*h_{\text{inv}})(t)=\delta (t),$ どこ $\delta (t)$ ディラックのデルタ関数は、任意の信号 $x$ $($ $t$ $)$ に対してふるい分け特性を持つため、連続時間の場合の恒等演算子です。 $(\delta *x)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )x(\tau )\,d\tau =x(t).$

ラプラス変換を適用すると、s平面において次の関係が得られる。 $H(s)H_{\text{inv}}(s)=1,$ そこから私たちは次のことに気づきます $H_{\text{inv}}(s)={\frac {1}{H(s)}}.$

ここでも、簡略化のため、有理伝達関数 $H (s)$ の場合のみを考えます。因果律と安定性から、 $H$ $($ $s$ $)$ のすべての極は厳密に左半平面 s内になければなりません (安定性を参照)。 $H(s)={\frac {A(s)}{D(s)}},$ ここで、A $(s) と$ D $(s) は$ $s$ に関する多項式である。因果律と安定性から、極 $（D$ $($ $s$ $)$ の根）はs平面の左半平面内に存在しなければならない。また、 $H_{\text{inv}}(s)={\frac {D(s)}{A(s)}},$ 因果関係と安定性 $H_{\text{inv}}(s)$ $これらの制約は、$ $最小$ 位相システムの零点と極の両方が、s平面の左半分内に厳密に存在しなければ $なら$ ない $こと$ を意味します。

振幅応答と位相応答の関係

最小位相システムは、離散時間でも連続時間でも、周波数応答の大きさの自然対数（ネーパー単位で測定される「ゲイン」、 dBに比例）が周波数応答の位相角（ラジアン単位で測定）とヒルベルト変換によって関連付けられるという有用な特性をもう一つ持っています。つまり、連続時間の場合、 $H(j\omega )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ H(s){\Big |}_{s=j\omega }$ $システムH (s)$ の複素周波数応答をとします。すると、最小位相システムの場合のみ、 $H (s)$ の位相応答はゲインと次の関係になります。 $\arg[H(j\omega )]=-{\mathcal {H}}{\big \{}\log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}{\big \}},$ どこ ${\mathcal {H}}$ はヒルベルト変換を表し、逆に、 $\log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}=\log {\big (}|H(j\infty )|{\big )}+{\mathcal {H}}{\big \{}\arg[H(j\omega )]{\big \}}.$

より簡潔に言うと、 $H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg[H(j\omega )]}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ e^{\alpha (\omega )}e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )},$ どこ $\alpha (\omega )$ そして $\phi (\omega )$ 実変数の実関数である。 $\phi (\omega )=-{\mathcal {H}}\{\alpha (\omega )\}$ そして $\alpha (\omega )=\alpha (\infty )+{\mathcal {H}}\{\phi (\omega )\}.$

ヒルベルト変換演算子は次のように定義される。 ${\mathcal {H}}\{x(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\hat {x}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .$

離散時間最小位相システムについても、同様の対応関係が成り立つ。

時間領域における最小位相

同じ大きさの応答を持つすべての因果的かつ安定なシステムにおいて、最小位相システムは、インパルス応答の開始付近にエネルギーが集中します。つまり、インパルス応答におけるエネルギーの遅延と考えることができる以下の関数を最小化します。 $\sum _{n=m}^{\infty }|h(n)|^{2}\quad \forall m\in \mathbb {Z} ^{+}.$

最小フェーズとして最小グループ遅延

同じ振幅応答を持つすべての因果的かつ安定なシステムにおいて、最小位相システムは最小群遅延を持ちます。以下の証明は、この最小群遅延の概念を示しています。

1つのゼロを考えてみましょう $a$ 伝達関数の $H(z)$ ゼロを置きましょう $a$ 単位円の内側（ $\left|a\right|<1$ ) そして、群遅延がどのように影響を受けるかを確認します。 $a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\text{ where }}\,\theta _{a}=\operatorname {Arg} (a)$

ゼロ以来 $a$ 要因に貢献する $1-az^{-1}$ 伝達関数において、この項によって寄与される位相は次のとおりである。 ${\begin{aligned}\phi _{a}\left(\omega \right)&=\operatorname {Arg} \left(1-ae^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{i\theta _{a}}e^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -\theta _{a})}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{1-\left|a\right|\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\left|a\right|\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{\left|a\right|^{-1}-\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\end{aligned}}$

$\phi _{a}(\omega )$ グループ遅延に以下を寄与します。

${\begin{aligned}-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}&={\frac {\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\left|a\right|^{-2}-2\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}\\&={\frac {\left|a\right|-\cos(\omega -\theta _{a})}{\left|a\right|+\left|a\right|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}\end{aligned}}$

分母と $\theta _{a}$ ゼロを反映することに対して不変である $a$ 単位円の外側、つまり置換 $a$ と $(a^{-1})^{*}$ しかし、 $a$ 単位円の外側では、大きさを増大させる $\left|a\right|$ 分子に。したがって、 $a$ 単位円の内側では、係数によって生じる群遅延が最小化されます。 $1-az^{-1}$ 乗法因子の位相が次の形式であるため、この結果を複数のゼロの一般の場合に拡張できます。 $1-a_{i}z^{-1}$ は加法性を持つ。つまり、伝達関数は $N$ ゼロ、 $\operatorname {Arg} \left(\prod _{i=1}^{N}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Arg} \left(1-a_{i}z^{-1}\right)$

したがって、すべての零点が単位円の内側にある最小位相システムは、個々の零点の群遅延が最小化されるため、群遅延を最小化します。

上記の計算の図解。上と下は同じゲイン応答を持つフィルタ（左：ナイキスト線図、右：位相応答）ですが、上のフィルタは $a=0.8<1$ 位相応答における振幅が最も小さい。

{\displaystyle a=0.8<1} — 上記の計算の図解。上と下は同じゲイン応答を持つフィルタ（左：ナイキスト線図、右：位相応答）ですが、上のフィルタは $a=0.8<1$ 位相応答における振幅が最も小さい。

非最小位相

因果的かつ安定なシステムで、その逆システムが因果的かつ不安定なシステムは、非最小位相システムとして知られています。与えられた非最小位相システムは、同等の振幅応答を持つ最小位相システムよりも大きな位相寄与を持ちます。

最大位相

最大位相システムは最小位相システムの反対です。因果的で安定なLTIシステムは、その逆システムが因果的で不安定であれば最大位相システムです。つまり、

離散時間システムの零点は単位円の外側にある。
連続時間システムの零点は複素平面の右側に位置する。

このようなシステムは、同じ振幅応答を持つシステム群の中で最大の群遅延を持つため、最大位相システムと呼ばれます。この振幅応答が等しいシステム群の中で、最大位相システムは最大のエネルギー遅延を持ちます。

例えば、伝達関数で記述される2つの連続時間LTIシステム ${\frac {s+10}{s+5}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {s-10}{s+5}}$

振幅応答は同等ですが、第 2 のシステムは位相シフトに大きく寄与します。したがって、このセットでは、第 2 のシステムが最大位相システムであり、第 1 のシステムが最小位相システムです。これらのシステムは、制御において多くの安定性の問題を引き起こす非最小位相システムとしても知られています。これらのシステムに対する最近の解決策の 1 つは、PFCD 法を使用して RHP の零点を LHP に移動することです。^{[ 3 ]}

混合相

混合位相システムでは、零点の一部が単位円の内側にあり、他の零点が単位円の外側にあります。したがって、その群遅延は最小でも最大でもなく、最小位相等価システムと最大位相等価システムの群遅延の中間の値になります。

例えば、伝達関数で記述される連続時間LTIシステム ${\frac {(s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}$ は安定かつ因果的ですが、複素平面の左側と右側の両方に零点があります。したがって、これは混合位相システムです。これらのシステムを含む伝達関数を制御するために、内部モデルコントローラ (IMC) ^{[ 4 ]} 、一般化スミス予測器 (GSP) ^{[ 5 ]}、および微分付き並列フィードフォワード制御 (PFCD) ^{[ 6 ]}などの方法が提案されています。

線形位相

線形位相システムは一定の群遅延を持つ。非自明な線形位相システム、またはほぼ線形位相システムもまた混合位相システムである。

参考文献

↑ Hassibi, Babak; Kailath, Thomas; Sayed, Ali H. (2000).線形推定. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. p. 193. ISBN 0-13-022464-2。
↑ JO スミス III、「オーディオアプリケーションを用いたデジタルフィルタ入門」（2007 年 9 月版）。
↑ Noury, K. (2019). "非最小位相システム向け線形並列フィードフォワード補償器の解析的統計研究".非最小位相システム向け線形並列フィードフォワード補償器の解析的統計研究. doi : 10.1115/DSCC2019-9126 . ISBN 978-0-7918-5914-8. S2CID 214446227 .
↑モラリ、マンフレッド (2002).ロバストプロセス制御. PTR プレンティスホール. ISBN 0137821530OCLC 263718708。
↑ Ramanathan, S.; Curl, RL; Kravaris, C. (1989). "準有理系のダイナミクスと制御". AIChE Journal . 35 (6): 1017– 1028. Bibcode : 1989AIChE..35.1017R . doi : 10.1002/aic.690350615 . hdl : 2027.42/37408 . ISSN 1547-5905 . S2CID 20116797 .
↑ Noury, K. (2019). "非最小位相システムのための安定化並列フィードフォワード補償器のクラス".非最小位相システムのための安定化並列フィードフォワード補償器のクラス. doi : 10.1115/DSCC2019-9240 . ISBN 978-0-7918-5914-8. S2CID 214440404 .

さらに読む

ディミトリス・G・マノラキス、ヴィナイ・K・イングル、スティーブン・M・コゴン：統計的および適応的信号処理、pp. 54–56、マグロウヒル、ISBN 0-07-040051-2
ボアズ・ポラット著『デジタル信号処理入門』、261～263ページ、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、ISBN 0-471-14961-6

[1] Hassibi, Babak; Kailath, Thomas; Sayed, Ali H. (2000).線形推定. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. p. 193. ISBN 0-13-022464-2。

[2] JO スミス III、「オーディオアプリケーションを用いたデジタルフィルタ入門」（2007 年 9 月版）。

[3] Noury, K. (2019). "非最小位相システム向け線形並列フィードフォワード補償器の解析的統計研究".非最小位相システム向け線形並列フィードフォワード補償器の解析的統計研究. doi : 10.1115/DSCC2019-9126 . ISBN 978-0-7918-5914-8. S2CID 214446227 .

[4] モラリ、マンフレッド (2002).ロバストプロセス制御. PTR プレンティスホール. ISBN 0137821530OCLC 263718708。

[5] Ramanathan, S.; Curl, RL; Kravaris, C. (1989). "準有理系のダイナミクスと制御". AIChE Journal . 35 (6): 1017– 1028. Bibcode : 1989AIChE..35.1017R . doi : 10.1002/aic.690350615 . hdl : 2027.42/37408 . ISSN 1547-5905 . S2CID 20116797 .

[6] Noury, K. (2019). "非最小位相システムのための安定化並列フィードフォワード補償器のクラス".非最小位相システムのための安定化並列フィードフォワード補償器のクラス. doi : 10.1115/DSCC2019-9240 . ISBN 978-0-7918-5914-8. S2CID 214440404 .

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