標準基準

数学では、座標ベクトル空間（例えば、​$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$または${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$）は、1つの成分を除いてすべての成分がゼロであるベクトルの集合です。^{[ 1 ]}例えば、ユークリッド平面の場合$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$実数のペア( x , y )によって形成される標準基底は、ベクトルによって形成されます。 $${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1)。}$$同様に、 3次元空間 の標準基底$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ベクトルによって形成される $${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1)。}$$ ここで、ベクトルe _xはx方向を指し、ベクトルe _yはy方向を指し、ベクトルe _zはz方向を指します。標準基底ベクトルには、{ e _x , e _y , e _z }、{ e ₁ , e ₂ , e ₃ }、{ i , j , k }、{ x , y , z }など、いくつかの一般的な表記法があります。これらのベクトルは、単位ベクトル(標準単位ベクトル)であることを強調するために、ハット記号を付けて表記されることがあります。

これらのベクトルは、他の任意のベクトルがこれらの線形結合として一意に表現できるという意味で基底である。 ^{[ 2 ]}例えば、3次元空間のすべてのベクトルvは、次のように一意に記述できる。 $${\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}$$ スカラーv _x、v _y、v _zは ベクトルvのスカラー成分である。

n次元ユークリッド空間において$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$標準基底はn個の異なるベクトル から構成される$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},}$$ ここで、e _{i は}i番目の座標に 1 があり、それ以外の座標に 0 があるベクトルを表します。

標準基底は、係数を含む他のベクトル空間（多項式や行列など）についても定義できます。どちらの場合も、標準基底は、係数のうち 1 つを除いてすべて 0 であり、非ゼロの係数が 1 であるような空間の要素で構成されます。多項式の場合、標準基底は単項式で構成され、一般に単項式基底と呼ばれます。行列M _{m × n}の場合、標準基底は、ちょうど 1 つの非ゼロ要素 (1) を持つm × n行列で構成されます。たとえば、2 × 2 行列の標準基底は、4 つの行列で構成されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{11}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {e} _{12}&={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\\\mathbf {e} _{21}&={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},&\mathbf {e} _{22}&={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

定義によれば、標準基底とは直交する単位ベクトルの列である。言い換えれば、それは順序付けられた正規直交基底である。

しかし、順序付けられた正規直交基底は必ずしも標準基底ではありません。たとえば、上記の 2D 標準基底の 30° 回転を表す 2 つのベクトル、つまり、 $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=\left({{\sqrt {3}} \over 2},{1 \over 2}\right)\\v_{2}&=\left({1 \over 2},{-{\sqrt {3}} \over 2}\right)\end{aligned}}}$$これらも直交単位ベクトルですが、デカルト座標系 の軸と一致していないため、これらのベクトルを用いた基底は標準基底の定義を満たしません。

体上のn 個の不定元に関する多項式の環にも標準的な基底があり、それは単項式である。

上記すべては、索引ファミリーの特殊なケースである。$${\displaystyle {(e_{i})}_{i\in I}=((\delta _{ij})_{j\in I})_{i\in I}}$$ ここで、 Iは任意の集合であり、δ _ijはクロネッカーのデルタであり、 i ≠ jの場合は 0 、 i = jの場合は 1 となる。この族はR加群 (自由加群) の標準基底である。$${\displaystyle R^{(I)}}$$ すべての家族 $${\displaystyle f=(f_{i})}$$I から環Rへ、有限個のインデックスを除いてゼロとなる。1 をRの単位元である1 _Rと解釈する場合。^{[ 3 ]}

他の「標準」基底の存在は、1943年のホッジによるグラスマン多様体に関する研究を皮切りに、代数幾何学において関心を集めてきたテーマである。現在では、標準単項式理論と呼ばれる表現論の一部となっている。リー代数の普遍包絡代数における標準基底の概念は、ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理によって確立されている。

グロブナー基底は、標準基底とも呼ばれることがあります。

物理学において、与えられたユークリッド空間の標準基底ベクトルは、対応するデカルト座標系の軸のベクトルと呼ばれることがある。

• 正統的な単位
• ベクトル空間の例 § 一般化座標空間