アルス・マグナ（カルダノの本）

Artis Magnae、Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus

アルス・マグナの表紙
著者	ジローラモ・カルダーノ
言語	ラテン
主題	数学
発行日	1545 （1545）

『アルス・マグナ』（大芸術、1545年）は、ジェロラモ・カルダーノによって書かれたラテン語の代数学に関する重要な本である。1545年に『アルス・マグナ、大芸術、代数学の規則に関する第一巻』という題名で初版が出版された。カルダーノの存命中に第2版が出版され、1570年に出版された。これは、コペルニクスの『天体回転について』、ヴェサリウスの『人体製作論』とともに、初期ルネサンスの三大科学論文の1つとみなされている^[1]。これら3冊の初版は、2年間（1543年 - 1545年）以内に出版された。

1535年、ニッコロ・フォンターナ・タルタリアは、x ³  +  ax  =  b（a、b > 0）の形の三次方程式を解いたことで有名になりました 。しかし、彼は自分の方法を秘密にしておくことを選択しました。1539年、当時ミラノのピアッティ財団の数学講師であったカルダーノは、最初の数学書である『算術と簡単な測量の実践』を出版しました。同年、彼はタルタリアに三次方程式を解く方法を説明するよう求めました。タルタリアは少しためらいましたが、説明しましたが、出版するまではカルダーノに情報を共有しないよう頼みました。カルダーノはその後数年間、タルタリアの公式を他のタイプの三次方程式に拡張する方法を研究しながら、数学に没頭しました。さらに、彼の弟子のルドヴィコ・フェラーリは四次方程式を解く方法を発見したが、フェラーリの方法は補助三次方程式を使用するためタルタリアの方法に依存していた。その後、カルダノはシピオーネ・デル・フェロがタルタリアよりも先にタルタリアの公式を発見していたという事実に気づき、この発見が彼にこれらの結果を発表するきっかけを与えた。

40章からなるこの本には、三次方程式と四次方程式の代数的解法が初めて公開されている。カルダーノは、タルタリアがある種の三次方程式を解く公式を彼に与えたこと、そして同じ公式がシピオーネ・デル・フェロによって発見されたことを認めている。また、四次方程式を解く方法を発見したのはフェラーリであったことも認めている。

当時は負の数は一般に認められていなかったため、たとえばx ³  +  ax  =  b の形の三次方程式を解く方法を知っていることは、 x ³  =  ax  +  b の形の三次方程式( a、b  > 0) を解く方法を知っていることを意味しませんでした。さらに、カルダノはx ³  +  ax ²  +  bx  +  c  = 0 の形の方程式を二次項のない三次方程式に簡約する方法も説明していますが、この場合も複数のケースを考慮する必要があります。結局、カルダノは 13 種類の三次方程式の研究に駆り立てられました (第 XI 章から第 XXIII 章)。

アルス・マグナでは、多重根の概念が初めて登場します（第 1 章）。カルダノが多重根を持つ多項式方程式として最初に挙げた例はx ³  = 12 x  + 16 で、そのうち -2 は二重根です。

アルス・マグナには、複素数が初めて登場する箇所もあります(第 37 章)。カルダノが挙げた負の数の平方根につながる問題は、合計が 10 で積が 40 になる 2 つの数を見つけることです。答えは 5 + √ −15と 5 − √ −15です。カルダノは、物理的な意味が見いだせなかったため、これを「詭弁」と呼びましたが、大胆に「それでも計算する」と書き、それらの積が実際に 40 になることを正式に計算しました。カルダノは、この答えは「役に立たないだけでなく、微妙でもある」と述べています。

カルダノが三次方程式を解くのに複素数を導入したというのはよくある誤解である。カルダノの多項式x ³  +  px  +  qの根の公式  は （現代の記法では）

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}},}$

この文脈では負の数の平方根が自然に現れます。しかし、カルダノがこの式を適用した特定のケースでは、q ² /4 +  p ^{3 /27 が負になることはありません。 [2]}

• カリンジャー、ロナルド（1999）、数学の文脈的歴史、プレンティス・ホール、ISBN 0-02-318285-7
• カルダーノ、ジェロラモ（1545）、アルス・マグナまたは代数の規則、ドーバー（1993年出版）、ISBN 0-486-67811-3
• ギンディキン、シモン（1988）、物理学者と数学者の物語、ビルクハウザー、ISBN 3-7643-3317-0

• Ars Magna の PDF (ラテン語)
• カルダノの経歴