ピュイズーシリーズ

ゼロでないピュイズー級数${\displaystyle f}$一意に記述できる

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

と${\displaystyle c_{k_{0}}\neq 0.}$評価​

${\displaystyle v(f)={\frac {k_{0}}{n}}}$

の${\displaystyle f}$は有理数の自然順序の最小指数であり、対応する係数は${\textstyle c_{k_{0}}}$これは初期係数または評価係数と呼ばれます。 ${\displaystyle f}$ゼロ系列の評価は${\displaystyle +\infty .}$

関数vは評価であり、プイズー系列を加法群を持つ評価体とする。${\displaystyle \mathbb {Q} }$有理数を評価群とする。

すべての評価対象フィールドについて、評価は式によって超距離を定義します。${\displaystyle d(f,g)=\exp(-v(fg)).}$この距離では、ピュイズー級数の体は距離空間である。表記法

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

ピュイズーは部分和の極限であることを示しています。ただし、ピュイズー級数の体は完全ではありません。以下の§ レヴィ・チヴィタの体を参照してください。

ニュートン・ピュイズーの定理によって得られるピュイズー級数は、収束するゼロ近傍が存在するという意味で収束する（評価値が負の場合はゼロは除く）。より正確には、

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

複素係数を持つピュイズー級数とする。収束半径と呼ばれる実数rが存在し、絶対値がrより小さい非零複素数tをTに代入すると級数は収束する。rはこの性質を持つ最大の数である。ピュイズー級数は、非零収束半径を持つ場合に収束する。

非ゼロ複素数は n 乗根を持つため、置換には注意が必要です。t の特定のn乗根、例えばxを選択する必要があります。そして、置換は を に置き換えることによって行われます。${\displaystyle T^{k/n}}$による${\displaystyle x^{k}}$すべてのkについて。

収束半径の存在は、べき級数についても同様の存在であることから生じる。${\textstyle T^{-k_{0}/n}f,}$べき級数として考えられます${\displaystyle T^{1/n}.}$

ニュートン・ピュイズーの定理の一部では、与えられたピュイズー級数は正の収束半径を持ち、したがってゼロの近傍（ゼロ自体は除外される可能性がある）で（多価の）解析関数を定義する。

ベースフィールドの場合${\displaystyle K}$が順序付けられると、プイズー級数のフィールドは${\displaystyle K}$また、自然に（「辞書式に」）次のように順序付けられます。ゼロでないピュイズー系列${\displaystyle f}$0 の評価係数がそうである限り、0 は正であると宣言されます。本質的に、これは不確定の任意の正の有理数を意味します。${\displaystyle T}$正の値をとるが、基本フィールド内のどの正の値よりも小さい。${\displaystyle K}$。

ベースフィールドの場合${\displaystyle K}$評価額が付与されている${\displaystyle w}$すると、プイズー級数の体上で異なる評価を構築することができる。${\displaystyle K}$評価を許すことによって$\displaystyle {\hat {w}}(f)}$なれ${\displaystyle \omega \cdot v+w(c_{k}),}$どこ${\displaystyle v=k/n}$以前に定義された評価額（${\displaystyle c_{k}}$は最初の非ゼロ係数であり、${\displaystyle \omega }$は無限に大きい（つまり、値群は${\displaystyle {\hat {w}}}$は$\displaystyle \mathbb {Q} \times \Gamma }$辞書順に並べると、${\displaystyle \Gamma }$値グループは${\displaystyle w}$) 基本的に、これは以前に定義された評価額が${\displaystyle v}$評価を考慮して、ごくわずかな量だけ修正されます。${\displaystyle w}$ベースフィールド上に表示されます。

させて

${\displaystyle P(y)=\sum _{a_{i}\neq 0}a_{i}(x)y^{i}}$

非ゼロ係数を持つ多項式である${\displaystyle a_{i}(x)}$は、 xに関する多項式、冪級数、あるいはピュイズー級数です。このセクションでは、評価${\displaystyle v(a_{i})}$の${\displaystyle a_{i}}$xの最小指数は${\displaystyle a_{i}.}$（以下で述べる内容のほとんどは、任意の値環における係数に一般的に適用される。）

Pの根であるピュイズー級数を計算するには、（つまり、関数方程式の解）${\displaystyle P(y)=0}$まず最初に行うべきことは、根の評価値を計算することです。これがニュートン多角形の役割です。

デカルト座標平面において、座標の点を考えてみましょう。${\displaystyle (i,v(a_{i})).}$点Pのニュートン多角形は、これらの点の下凸包です。つまり、ニュートン多角形の辺は、これらの点のうち2点を結ぶ線分であり、これらの点はすべて、線分を支える線より下には位置しません（下とは、通常どおり、2番目の座標の値に対する相対的な位置です）。

ピュイズーシリーズが与えられた場合$\displaystyle y_{0}}$評価の${\displaystyle v_{0}}$、評価${\displaystyle P(y_{0})}$少なくとも数値の最小値である${\displaystyle iv_{0}+v(a_{i}),}$また、この最小値が 1 つのiに対してのみ達成される場合、この最小値と等しくなります。したがって、$\displaystyle y_{0}}$Pの根であるため、最小値は少なくとも2回達成されなければならない。つまり、2つの値が存在する必要がある。${\displaystyle i_{1}}$そして${\displaystyle i_{2}}$iの​${\displaystyle i_{1}v_{0}+v(a_{i_{1}})=i_{2}v_{0}+v(a_{i_{2}}),}$そして${\displaystyle iv_{0}+v(a_{i})\geq i_{1}v_{0}+v(a_{i_{1}})}$すべてのiについて。

つまり、${\displaystyle (i_{1},v(a_{i_{1}}))}$そして${\displaystyle (i_{2},v(a_{i_{2}}))}$ニュートン多角形の辺に属していなければならず、 $${\displaystyle v_{0}=-{\frac {v(a_{i_{1}})-v(a_{i_{2}})}{i_{1}-i_{2}}}}$$ この辺の傾きの反対でなければなりません。これは、すべての評価が有理数になるときに有理数になります。${\displaystyle v(a_{i})}$これらは有理数であり、これがピュイズー級数に有理指数を導入する理由である。

要約すると、Pの根の値は、ニュートン多項式の辺の傾きの逆数でなければならない。

ピュイズー級数解の初期係数${\displaystyle P(y)=0}$容易に推論できる。${\displaystyle c_{i}}$初期係数とする${\displaystyle a_{i}(x),}$つまり、係数${\displaystyle x^{v(a_{i})}}$で${\displaystyle a_{i}(x).}$させて${\displaystyle -v_{0}}$ニュートン多角形の傾斜であり、${\displaystyle \gamma x_{0}^{v_{0}}}$は、対応するピュイズー級数解の最初の項である。${\displaystyle P(y)=0.}$相殺が発生しない場合、初期係数は${\displaystyle P(y)}$だろう${\textstyle \sum _{i\in I}c_{i}\gamma ^{i},}$ ここで、Iは、以下の条件を満たすインデックスiの集合である。${\displaystyle (i,v(a_{i}))}$斜面の端に属する${\displaystyle v_{0}}$ニュートン多角形の。したがって、根を持つためには、初期係数${\displaystyle \gamma }$多項式の非零根でなければならない $${\displaystyle \chi (x)=\sum _{i\in I}c_{i}x^{i}}$$ （この表記法は次のセクションで使用します。）

要約すると、ニュートン多項式は、プイズー級数のすべての可能な初期項を簡単に計算できます。${\displaystyle P(y)=0.}$

ニュートン・ピュイズーの定理の証明は、これらの初期項から始めて、ピュイズー級数解の次の項を再帰的に計算することによって行われます。

最初の項が${\displaystyle \gamma x^{v_{0}}}$ピュイズー級数解の${\displaystyle P(y)=0}$は前節の方法により計算済みである。残りは を計算することである。${\displaystyle z=y-\gamma x^{v_{0}}.}$このため、私たちは${\displaystyle y_{0}=\gamma x^{v_{0}},}$そして、Pのテイラー展開を次のように書きます。${\displaystyle z=y-y_{0}:}$

${\displaystyle Q(z)=P(y_{0}+z)=P(y_{0})+zP'(y_{0})+\cdots +z^{j}{\frac {P^{(j)}(y_{0})}{j!}}+\cdots }$

これは、係数がxのピュイズー級数であるzの多項式です。ニュートン多角形の方法を適用し、ピュイズー級数の項を一つずつ繰り返して得ることができます。ただし、次のことを確実にするために注意が必要です。${\displaystyle v(z)>v_{0},}$そして、プイズー級数が得られること、すなわち、xの指数の分母が有界であることを示す。

yに関する微分は係数のxにおける評価値を変更しません。つまり、

${\displaystyle v\left(P^{(j)}(y_{0})z^{j}\right)\geq \min _{i}(v(a_{i})+iv_{0})+j(v(z)-v_{0}),}$

等号は、以下の場合に限り成立する。 ${\displaystyle \chi ^{(j)}(\gamma )\neq 0,}$どこ${\displaystyle \chi (x)}$は前のセクションの多項式です。m が重複度である場合、${\displaystyle \gamma }$根として${\displaystyle \chi ,}$その結果、不等式は等式となる。${\displaystyle j=m.}$条件は${\displaystyle j>m}$評価に関しては忘れられるかもしれないが、${\displaystyle v(z)>v_{0}}$そして${\displaystyle j>m}$暗示する

${\displaystyle v\left(P^{(j)}(y_{0})z^{j}\right)\geq \min _{i}(v(a_{i})+iv_{0})+j(v(z)-v_{0})>v\left(P^{(m)}(y_{0})z^{m}\right).}$

これは、ニュートン多角形の反復法を行うには、最初の座標が区間に属するニュートン多角形の部分のみを考慮すればよい、また考慮しなければならないことを意味する。${\displaystyle [0,m].}$次の節では、 m > 1の場合のいわゆる分岐ケースと、m = 1の場合の通常のケースの 2 つのケースを別々に検討する必要がある。

ニュートン多角形法を再帰的に適用する方法は既に説明した。分岐の場合、この方法を適用するたびに指数（評価値）の分母が増加する可能性があるため、有限回の反復後に正則なケースに到達することを証明する必要がある（そうでなければ、結果として得られる級数の指数の分母は有界ではなく、この級数はピュイズー級数にならない）。ちなみに、期待どおりにピュイズー級数の解が得られることも証明される。つまり、次数は期待どおりである。${\displaystyle P(y)}$yにおいて。

一般性を失うことなく、次のように推測できる。${\displaystyle P(0)\neq 0,}$つまり、${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$実際、各因子yは${\displaystyle P(y)}$これにより、ゼロプイズー級数となる解が得られ、そのような因子は因数分解できる。

特性はゼロであると想定されるため、${\displaystyle P(y)}$は平方因子を持たない多項式である。つまり、 の解は${\displaystyle P(y)=0}$これらはすべて異なります。実際、平方因子を用いない因数分解では、係数体の演算のみを使用して因数分解を行います。${\displaystyle P(y)}$個別に解ける平方因子に分解する。（特性pでは、平方因子分解によって、例えば、などの既約因子が得られるため、特性ゼロの仮定が必要である。）${\displaystyle y^{p}-x,}$代数拡大体上で複数の根を持つもの。）

この文脈では、ニュートン多角形の辺の長さは、その端点の横座標の差として定義される。多角形の長さは、その辺の長さの合計である。仮説によれば${\displaystyle P(0)\neq 0,}$Pのニュートン多角形の長さは、 yに関する次数、つまり根の数です。ニュートン多角形の辺の長さは、与えられた評価値の根の数です。この数は、先に定義した多項式の次数に等しくなります。${\displaystyle \chi (x).}$

分岐ケースは、同じ初期項を持つ 2 つ (またはそれ以上) の解に対応します。これらの解は異なる必要があるため (平方因子を持たない仮定)、有限回の反復後に区別する必要があります。つまり、最終的には多項式が得られます。${\displaystyle \chi (x)}$これは平方因子を持たないため、各根について通常のケースと同様に計算を続けることができます。${\displaystyle \chi (x).}$

通常のケースの反復では指数の分母が増加しないため、この方法はすべての解をピュイズー級数として提供することがわかります。つまり、複素数上のピュイズー級数の体は、複素係数を持つ一変数多項式環を含む代数的に閉じた体です。

ニュートン・ピュイズーの定理は、正標数の体上では成り立ちません。例えば、次の式は成り立ちません。${\displaystyle X^{2}-X=T^{-1}}$解決策があります

${\displaystyle X=T^{-1/2}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}T^{1/2}-{\frac {1}{128}}T^{3/2}+\cdots }$

そして

${\displaystyle X=-T^{-1/2}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}T^{1/2}+{\frac {1}{128}}T^{3/2}+\cdots }$

（最初の数項で、これら 2 つの級数の和と積が 1 と 1 になることが容易に確認できる。）${\displaystyle -T^{-1}}$それぞれ。これは、基底体Kの特性が 2と異なる場合に有効である。

前の例の係数の分母に2のべき乗があることからそう思われるかもしれないが、定理の記述は正標数では成り立たない。アルティン・シュライアー方程式の例${\displaystyle X^{p}-X=T^{-1}}$これは、評価による推論によって、X には評価が必要であることが示されることを示しています。${\textstyle -{\frac {1}{p}}}$、そしてそれを次のように書き換えると${\displaystyle X=T^{-1/p}+X_{1}}$それから

${\displaystyle X^{p}=T^{-1}+{X_{1}}^{p},{\text{ so }}{X_{1}}^{p}-X_{1}=T^{-1/p}}$

そして、同様に次のことが示される。${\displaystyle X_{1}}$評価すべき${\textstyle -{\frac {1}{p^{2}}}}$そしてそのように進めると、次の数列が得られる。

${\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots$ ;}

この級数は指数の分母が無限大であるため、ピュイズー級数としては意味をなさないので、元の式には解がありません。しかし、このようなアイゼンシュタイン方程式は、本質的に解を持たない唯一の方程式です。なぜなら、${\displaystyle K}$代数的に閉じた特性を持つ${\displaystyle p>0}$すると、ピュイズー系列の領域は${\displaystyle K}$は、最大限穏やかに分岐した拡張の完全な閉鎖である。${\displaystyle K(\!(T)\!)}$[ ^{4 ]​}

代数閉包の場合と同様に、実閉包についても同様の定理が存在する。${\displaystyle K}$が実数閉体である場合、ピュイズー級数の体は次のようになります。${\displaystyle K}$形式的ローラン級数の領域の真の閉鎖は${\displaystyle K}$^{[ 5 ]} (これは、標数ゼロの任意の代数的閉体は、ある実閉体の唯一の二次拡大であるため、前述の定理を意味する。)

p進閉包についても同様の結果が得られる。${\displaystyle K}$は${\displaystyle p}$評価に関して根本的に閉じたフィールド${\displaystyle w}$すると、ピュイズー系列の領域は${\displaystyle K}$また${\displaystyle p}$- 論理的に閉じている。^{[ 6 ]}

させて${\displaystyle X}$アフィン方程式で与えられる代数曲線^{[ 7 ]}である${\displaystyle F(x,y)=0}$代数的に閉じた体上${\displaystyle K}$特性がゼロの点を考え、${\displaystyle p}$の上${\displaystyle X}$これは、${\displaystyle (0,0)}$また、我々は以下のことを想定する。${\displaystyle X}$座標軸ではありません${\displaystyle x=0}$。次に、 (${\displaystyle y}$座標)${\displaystyle X}$で${\displaystyle p}$ピュイズーシリーズ${\displaystyle f}$正の評価値を持つため、${\displaystyle F(x,f(x))=0}$。

より正確には、${\displaystyle X}$で${\displaystyle p}$ポイントになる${\displaystyle q}$正規化の${\displaystyle Y}$の${\displaystyle X}$マッピング先${\displaystyle p}$。そのような各項目について${\displaystyle q}$ローカル座標があります${\displaystyle t}$の${\displaystyle Y}$で${\displaystyle q}$（滑らかな点）座標が${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$形式的べき級数として表現できる${\displaystyle t}$、 言う${\displaystyle x=t^{n}+\cdots }$（以来${\displaystyle K}$代数的に閉じているので、評価係数は 1) と仮定できます。${\displaystyle y=ct^{k}+\cdots }$: 次に、独特なピュイズーシリーズがあります。${\displaystyle f=cT^{k/n}+\cdots }$（${\displaystyle T^{1/n}}$)、${\displaystyle y(t)=f(x(t))}$（後者の表現は意味があります。${\displaystyle x(t)^{1/n}=t+\cdots }$は明確に定義されたべき級数である${\displaystyle t}$これはピュイズー展開である。${\displaystyle X}$で${\displaystyle p}$これは、${\displaystyle q}$（あるいは単に、その枝のピュイズー拡張${\displaystyle X}$）と、各ピュイズー展開${\displaystyle X}$で${\displaystyle p}$は、${\displaystyle X}$で${\displaystyle p}$[ ^{8 ] [ 9 ]​}

代数曲線または関数の枝の形式的なパラメーター化の存在は、ピュイズーの定理とも呼ばれます。これは、ピュイズー級数の体が代数的に閉じているという事実とほぼ同じ数学的内容を持ち、元の著者の主張を歴史的に正確に記述したものです。^{[ 10 ]}

例えば、曲線${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$（その正規化は座標を持つ直線である）${\displaystyle t}$そして地図${\displaystyle t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$）は、2 点 (0,0) で 2 つの分岐を持ち、${\displaystyle t=+1}$そして${\displaystyle t=-1}$正規化において、そのピュイズー展開は${\textstyle y=x+{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{8}}x^{3}+\cdots }$そして${\textstyle y=-x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{8}}x^{3}+\cdots }$それぞれ（ここでは両方ともべき級数です。${\displaystyle x}$座標は正規化における対応する点でエタールである。滑らかな点では${\displaystyle (-1,0)}$（それは${\displaystyle t=0}$正規化において）単一の分岐を持ち、ピュイズー展開によって与えられる。${\displaystyle y=-(x+1)^{1/2}+(x+1)^{3/2}}$（${\displaystyle x}$座標はこの時点で分岐するため、べき級数ではありません。

曲線${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$（その正規化は再び座標を持つ線である）${\displaystyle t}$そして地図${\displaystyle t\mapsto (t^{2},t^{3})}$一方、 は尖点に単一の枝を持つ。${\displaystyle (0,0)}$ピュイズー拡張は${\displaystyle y=x^{3/2}}$。

いつ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$は複素数の体であり、代数曲線のピュイズー展開（上記で定義）は、与えられた選択に対して収束するという意味で収束する。${\displaystyle n}$の の根${\displaystyle x}$十分に小さい場合、それらは収束する。${\displaystyle |x|}$したがって、各ブランチの解析的パラメータ化を定義する${\displaystyle X}$近隣では${\displaystyle p}$（より正確には、パラメータ化は${\displaystyle n}$の の根${\displaystyle x}$)

ピュイズー級数の体は距離空間としては完備ではありません。その完備化であるレヴィ・チヴィタ体は、次のように記述できます。それは、次の形式の形式表現の体です。${\textstyle f=\sum _{e}c_{e}T^{e},}$ここで、係数のサポート（つまり、eの集合）は、${\displaystyle c_{e}\neq 0}$) は、有限であるか、または に近づく有理数の増加列の範囲です。${\displaystyle +\infty }$言い換えれば、このような級数は、指数が有限個で、かつ指数が 未満である限り、無限の分母の指数を持つことができる。${\displaystyle A}$任意の境界に対して${\displaystyle A}$。 例えば、${\textstyle \sum _{k=1}^{+\infty }T^{k+{\frac {1}{k}}}}$これはピュイズー級数ではありませんが、ピュイズー級数のコーシー列の極限です。特に、これは次の極限です。${\textstyle \sum _{k=1}^{N}T^{k+{\frac {1}{k}}}}$として${\displaystyle N\to +\infty }$しかし、この完全性でさえ、同じ値群と剰余体を持つ値付き体である非自明な拡張を許容するという意味では、まだ「最大限に完全」ではありません。^{[ 11 ] [ 12 ]}したがって、さらに完全化する機会があります。

ハーン級数は、1907年にハンス・ハーンが埋め込み定理の証明の過程で導入し、その後ヒルベルトの第17問題へのアプローチで研究したピュイズー級数のさらなる（より大きな）一般化です。ハーン級数では、指数が有界な分母を持つ必要はなく、値群の整列部分集合を形成する必要があります（通常は、${\displaystyle \mathbb {Q} }$または${\displaystyle \mathbb {R} }$これらは後にアナトリー・マルツェフとベルンハルト・ノイマンによって非可換設定にさらに一般化されました（そのため、ハーン・マルツェフ・ノイマン級数と呼ばれることもあります）。ハーン級数を使用すると、正標数における冪級数体の代数的閉包を記述することが可能で、これはピュイズー級数体にいくらか類似しています。^{[ 13 ]}