共役転置

数学では、共役転置（エルミート転置とも呼ばれる）は、${\displaystyle m\times n}$複雑な行列${\displaystyle \mathbf {A} }$は${\displaystyle n\times m}$転置によって得られた行列${\displaystyle \mathbf {A} }$そして各エントリに複素共役を適用する（${\displaystyle a+ib}$いる${\displaystyle a-ib}$実数の場合${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$) 表記法はいくつかあります。${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$または$\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$[ ^{1 ]​}${\displaystyle \mathbf {A} '}$[ ^{2 ]または（物理学ではよく使われる}）$\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$。

実数行列の場合、共役転置は転置に等しい。$\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$。

の共役転置${\displaystyle m\times n}$マトリックス${\displaystyle \mathbf {A} }$正式には次のように定義される

添え字は${\displaystyle ij}$は${\displaystyle (i,j)}$- 番目のエントリ（行列要素）の場合${\displaystyle 1\leq i\leq n}$そして${\displaystyle 1\leq j\leq m}$、上付きバーはスカラー複素共役を表します。

この定義は次のように書くこともできます。

$\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}}}$

どこ$\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$転置を表し、${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}$は複素共役成分を持つ行列を表します。

行列の共役転置の別名には、エルミート転置、エルミート共役、随伴行列、またはトランスジュゲートがあります。${\displaystyle \mathbf {A} }$次のいずれかの記号で表すことができます。

• $\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$線形代数でよく使われる
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$線形代数でよく使われる
• $\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$（時として「ア・ダガー」と発音される）量子力学で一般的に用いられる
• $\displaystyle \mathbf {A} ^{+}}$ただし、この記号はムーア・ペンローズ擬似逆行列を表すのに一般的に使われる。

状況によっては、$\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$これは、複素共役成分のみを持ち、転置のない行列を表します。

次の行列の共役転置を計算したいとします。${\displaystyle \mathbf {A} }$。

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}}$

まず、行列を転置します。

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}}$

次に、行列の各要素を共役します。

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}}$

正方行列${\displaystyle \mathbf {A} }$エントリー付き${\displaystyle a_{ij}}$と呼ばれる

• エルミート行列または自己共役行列の場合${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$; つまり、${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$。
• 歪んだエルミートまたは反エルミートの場合${\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$; つまり、${\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$。
• 正常であれば${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$。
• ユニタリーの場合${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{-1}}$同様に${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}}$同様に${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ={\boldsymbol {I}}}$。

たとえ${\displaystyle \mathbf {A} }$は正方行列ではないので、2 つの行列は${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} }$そして${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$これらは両方ともエルミート行列であり、実際には正半定値行列です。

共役転置「随伴」行列${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$接辞と混同してはならない。${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )}$これは、随伴とも呼ばれることがあります。

共役転置は、複素数が次のように便利に表現できることに注目することで動機付けられます。${\displaystyle 2\times 2}$実数行列（行列の加算と乗算に従う）： $${\displaystyle a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.}$$

つまり、各複素数を${\displaystyle z}$本物の${\displaystyle 2\times 2}$アルガンド図上の線形変換の行列（実ベクトル空間として見た場合）${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$複雑な要因の影響を受ける${\displaystyle z}$-乗算${\displaystyle \mathbb {C} }$。

したがって、${\displaystyle m\times n}$複素数の行列は次のようにうまく表現できる${\displaystyle 2m\times 2n}$実数の行列。したがって、共役転置は、このような行列を単純に転置することによって非常に自然に生じます。${\displaystyle n\times m}$複素数で構成される行列。

ここで使用されている表記法の説明として、まず複素数を表すことから始めます。${\displaystyle e^{i\theta }}$回転行列として、つまり、 $${\displaystyle e^{i\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}=\cos \theta {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+\sin \theta {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$ 以来${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$単位数の行列表現は次のようになります。 $${\displaystyle 1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

一般複素数${\displaystyle z=x+iy}$は次のように表される。${\displaystyle z={\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}.}$ 複素共役演算（${\displaystyle a+bi}$に${\displaystyle a-bi}$実際に${\displaystyle a,b}$）は行列の転置としてエンコードされます。^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle (\mathbf {A} +{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }}$任意の2つの行列に対して${\displaystyle \mathbf {A} }$そして${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$同じ寸法のもの。
• ${\displaystyle (z\mathbf {A} )^{\mathrm {H} }={\overline {z}}\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$任意の複素数に対して${\displaystyle z}$そしてどんな${\displaystyle m\times n}$マトリックス${\displaystyle \mathbf {A} }$。
• ${\displaystyle (\mathbf {A} {\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$いかなる場合でも${\displaystyle m\times n}$マトリックス${\displaystyle \mathbf {A} }$そしてどんな${\displaystyle n\times p}$マトリックス${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$因子の順序が逆になっていることに注意してください。^{[ 1 ]}
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} }$いかなる場合でも${\displaystyle m\times n}$マトリックス${\displaystyle \mathbf {A} }$つまり、エルミート転置は対合である。
• もし${\displaystyle \mathbf {A} }$正方行列である場合、${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\det \left(\mathbf {A} \right)}}}$どこ${\displaystyle \operatorname {det} (A)}$は、​${\displaystyle \mathbf {A} }$。
• もし${\displaystyle \mathbf {A} }$正方行列である場合、${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\operatorname {tr} (\mathbf {A} )}}}$どこ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$トレースを表す${\displaystyle \mathbf {A} }$。
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$可逆で あるのは、${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$可逆であり、その場合${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\mathrm {H} }}$。
• の固有値​${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$は、の固有値の複素共役である。${\displaystyle \mathbf {A} }$。
• ${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}}$いかなる場合でも${\displaystyle m\times n}$マトリックス${\displaystyle \mathbf {A} }$、任意のベクトル${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$および任意のベクトル${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$。 ここ、${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}}$は、標準的な複素内積を表します。${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$、同様に${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}}$。

上記の最後の特性は、${\displaystyle \mathbf {A} }$ヒルベルト空間からの線形変換として${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$に${\displaystyle \mathbb {C} ^{m},}$次に行列${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$の随伴演算子に対応する${\displaystyle \mathbf {A} }$ヒルベルト空間間の随伴作用素の概念は、正規直交基底に関する行列の共役転置の一般化と見なすことができる。

別の一般化も可能だ。${\displaystyle A}$複素ベクトル空間からの線形写像${\displaystyle V}$別の人へ、${\displaystyle W}$すると、複素共役線形写像と転置線形写像が定義され、したがって、の共役転置を取ることができる。${\displaystyle A}$転置の複素共役である${\displaystyle A}$これは、の共役双対を写像します。${\displaystyle W}$共役双対へ${\displaystyle V}$。

• 複素ドット積
• エルミート随伴
• 行列を補助する

• 「随伴行列」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]