ネットワーク解析（電気回路）

電気工学と電子工学において、ネットワークとは相互接続されたコンポーネントの集合です。ネットワーク解析とは、すべてのネットワーク コンポーネントにかかる電圧と、そのコンポーネントを流れる電流を求めるプロセスです。これらの値を計算する手法は数多くありますが、ほとんどの場合、これらの手法は線形コンポーネントを前提としています。特に明記されていない限り、この記事で説明する方法は線形ネットワーク解析 にのみ適用できます。

ネットワーク分析で役立つ手順は、コンポーネントの数を減らしてネットワークを簡素化することです。これは、物理的なコンポーネントを、同じ効果を持つ他の概念的なコンポーネントに置き換えることによって実行できます。特定の手法では、たとえばインピーダンスを直列に結合することによって、コンポーネントの数を直接減らすことができます。一方、単にフォームを、後の操作でコンポーネントを減らすことができる形式に変更するだけの場合もあります。たとえば、ノートンの定理を使用して電圧ジェネレータを電流ジェネレータに変換し、後でジェネレータの内部抵抗を並列インピーダンス負荷と結合できるようにする場合があります。

抵抗回路は、抵抗器、理想的な電流源、理想的な電圧源のみを含む回路です。電源が定数 ( DC ) 電源の場合、結果はDC 回路になります。回路の解析は、回路に存在する電圧と電流を解くことで構成されます。ここで概説する解析原理は、AC 回路の位相解析 にも適用されます。

1 つのネットワークの端子間の電圧と端子を流れる電流が、他のネットワークの端子の電圧と電流と同じ関係にある 場合、2 つの回路は端子のペアに関して同等であると言われます。

V ₁のすべての（実数）値に対してが成り立つ場合、端子abおよびxyに関して、回路 1 と回路 2 は同等です。 ${\displaystyle V_{2}=V_{1}}$${\displaystyle I_{2}=I_{1}}$

上記は、 1 ポートネットワークの十分な定義です。ポートが 1 つ以上ある場合は、対応するポートのすべてのペア間の電流と電圧が同じ関係にあることを定義する必要があります。たとえば、スター ネットワークとデルタ ネットワークは実質的に 3 ポート ネットワークであるため、それらの等価性を完全に指定するには 3 つの同時方程式が必要です。

インピーダンスの 2 端子ネットワークは、直列のインピーダンスまたは並列のインピーダンスを連続的に適用することで、最終的に単一のインピーダンスにまで低減できます。

• 直列インピーダンス:$${\displaystyle Z_{\mathrm {eq} }=Z_{1}+Z_{2}+\,\cdots \,+Z_{n}.}$$
• 並列インピーダンス:$${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\,\cdots \,+{\frac {1}{Z_{n}}}.}$$
  • 上記は、2 つのインピーダンスが並列になっている場合のみ簡略化されています。$${\displaystyle Z_{\mathrm {eq} }={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}.}$$

2 つ以上の端子を持つインピーダンスのネットワークは、単一のインピーダンス等価回路に縮小できません。n端子ネットワークは、せいぜいn 個のインピーダンスに縮小できます (最悪の場合)。 3 端子ネットワークの場合、3 つのインピーダンスは、3 ノードのデルタ (Δ) ネットワークまたは 4 ノードのスター (Y) ネットワークとして表すことができます。 これら 2 つのネットワークは同等であり、それらの間の変換を以下に示します。 任意の数のノードを持つ一般的なネットワークは、直列と並列の組み合わせのみを使用してインピーダンスの最小数に縮小することはできません。 一般に、Y-Δ 変換と Δ-Y 変換も使用する必要があります。 一部のネットワークでは、Y-Δ 変換をスターポリゴン変換に拡張する必要がある場合もあります。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{2}}}$

等価性のためには、任意の端末ペア間のインピーダンスが両方のネットワークで同じである必要があり、その結果、3 つの同時方程式のセットが生成されます。以下の方程式は抵抗として表現されていますが、インピーダンスの一般的なケースにも同様に適用されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{a}&={\frac {R_{\mathrm {ac} }R_{\mathrm {ab} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}\\R_{b}&={\frac {R_{\mathrm {ab} }R_{\mathrm {bc} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}\\R_{c}&={\frac {R_{\mathrm {bc} }R_{\mathrm {ac} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {ac} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{b}}}\\R_{\mathrm {ab} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}\\R_{\mathrm {bc} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{a}}}\end{aligned}}}$

スターからデルタへの変換と直列抵抗器への変換は、一般的な抵抗器ネットワーク ノード削除アルゴリズムの特殊なケースです。N個の抵抗器( R ₁ … R _N )によってノード1 … Nに接続されているノードは、残りのN 個のノードを相互接続する抵抗器に置き換えることができます。任意の 2 つのノードx、y間の抵抗は次のように表されます。 ${\displaystyle {\tbinom {N}{2}}}$

${\displaystyle R_{\mathrm {xy} }=R_{x}R_{y}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{R_{i}}}}$

スターデルタ（N = 3）の場合、これは次のように簡略化されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {ab} }&=R_{a}R_{b}\left({\frac {1}{R}}_{a}+{\frac {1}{R}}_{b}+{\frac {1}{R}}_{c}\right)={\frac {R_{a}R_{b}(R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c})}{R_{a}R_{b}R_{c}}}\\&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}\end{aligned}}}$

級数縮小（N = 2）の場合、これは次のように縮小されます。

${\displaystyle R_{\mathrm {ab} }=R_{a}R_{b}\left({\frac {1}{R}}_{a}+{\frac {1}{R}}_{b}\right)={\frac {R_{a}R_{b}(R_{a}+R_{b})}{R_{a}R_{b}}}=R_{a}+R_{b}}$

ぶら下がり抵抗器 ( N = 1 ) の場合、抵抗器は除去されます。 ${\displaystyle {\tbinom {1}{2}}=0}$

内部インピーダンスを持つ発電機（つまり非理想的な発電機）は、理想的な電圧発電機または理想的な電流発電機にインピーダンスを加えたものとして表すことができます。これら 2 つの形式は同等であり、変換は以下で示されます。2 つのネットワークが端子 ab に関して同等である場合、VとI は両方のネットワークで同一である必要があります。したがって、

${\displaystyle V_{\mathrm {s} }=RI_{\mathrm {s} }\,\!}$または${\displaystyle I_{\mathrm {s} }={\frac {V_{\mathrm {s} }}{R}}}$

• ノートンの定理によれば、任意の 2 端子線形ネットワークは、理想的な電流発生器と並列インピーダンスに簡略化できます。
• テブナンの定理によれば、任意の 2 端子線形ネットワークは、理想的な電圧発生器と直列インピーダンスの組み合わせに簡略化できます。

非常に単純なネットワークは、より体系的なアプローチを適用しなくても分析できます。

直列に接続されたn個のインピーダンスを考えてみましょう。任意のインピーダンスにかかる電圧は ${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle Z_{i}}$

${\displaystyle V_{i}=Z_{i}I=\left({\frac {Z_{i}}{Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}}}\right)V}$

並列に接続されたn個のアドミタンスを考える。任意のアドミタンスを流れる電流は ${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$

${\displaystyle I_{i}=Y_{i}V=\left({\frac {Y_{i}}{Y_{1}+Y_{2}+\cdots +Y_{n}}}\right)I}$

のために${\displaystyle i=1,2,...,n.}$

${\displaystyle I_{1}=\left({\frac {Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}\right)I}$

${\displaystyle I_{2}=\left({\frac {Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}}\right)I}$

ノード解析ではノード電圧の概念を使用し、ノード電圧を未知変数とみなします。^{[2] : 2-8 - 2-9}選択された基準ノードを除くすべてのノードでは、ノード電圧はノードから基準ノードまでの電圧降下として定義されます。したがって、Nノードの回路ではN-1個のノード電圧があります。^{[2] : 2-10}

原則として、ノード解析では、 N-1 ノードでキルヒホッフの電流法則(KCL) を使用して、N-1 個の独立した方程式を取得します。KCL で生成される方程式はノードに出入りする電流に基づいているため、これらの電流の値が不明な場合は、未知の変数 (ノード電圧) で表す必要があります。一部の要素 (抵抗器やコンデンサなど) では、要素電流をノード電圧で取得するのは簡単です。

これが不可能な一般的な要素については、特殊な方法が開発されています。たとえば、独立した電圧源を持つ回路にはスーパーノードと呼ばれる概念が使用されます。^{[2] : 2-12 - 2-13}

1. 回路内のすべてのノードにラベルを付けます。任意のノードを参照として任意に選択します。
2. 残りのすべてのノードから基準までの電圧変数を定義します。これらの電圧変数は、基準ノードに対する電圧の上昇として定義する必要があります。
3. 参照を除くすべてのノードに対して KCL 方程式を記述します。
4. 結果として得られる連立方程式を解きます。

メッシュ - 内部ループを含まないループ。

1. 回路内の「窓ガラス」の数を数えます。各窓ガラスにメッシュ電流を割り当てます。
2. 電流が不明なメッシュごとにKVL方程式を記述します。
3. 得られた方程式を解く

この方法では、各発電機の効果が順に計算されます。検討中の発電機以外のすべての発電機は取り外され、電圧発電機の場合は短絡され、電流発電機の場合は開回路になります。特定の分岐を流れる電流の合計または分岐を横切る電圧の合計は、個々の電流または電圧をすべて合計することによって計算されます。

この方法の根底にある仮定は、全電流または全電圧はその部分の線形重ね合わせであるというものである。したがって、非線形要素が存在する場合、この方法は使用できません。^{[2] : 6–14}電力の重ね合わせは、線形回路であっても、要素によって消費される全電力を求めるために使用することはできません。電力は全電圧または全電流の2乗に応じて変化し、合計の2乗は一般に2乗の合計に等しくありません。要素の全電力は、電圧と電流に個別に重ね合わせを適用し、合計電圧と合計電流から電力を計算することで求めることができます。

方法の選択^{[3] :112–113は}ある程度好みの問題です。ネットワークが特に単純な場合、または特定の電流または電圧のみが必要な場合は、より体系的な方法に頼らずに、いくつかの単純な等価回路をアドホックに適用することで答えが得られる場合があります。

• ノード解析: 電圧変数の数、つまり解くべき同時方程式の数は、ノード数から 1 を引いた数に等しくなります。基準ノードに接続された電圧源ごとに、未知数と方程式の数が 1 つ減ります。
• メッシュ解析: 電流変数の数、つまり解くべき同時方程式の数はメッシュの数に等しい。メッシュ内の電流源ごとに未知数の数が1つ減少する。メッシュ解析は、交差する要素のない平面ネットワークとして描画できるネットワークでのみ使用できる。^{[3] : 94}
• 重ね合わせはおそらく概念的には最も単純な方法ですが、ネットワークが大きくなるにつれて、方程式の数が多くなり、インピーダンスの組み合わせが複雑になります。
• 有効媒体近似: 高密度のランダム抵抗器で構成されるネットワークの場合、個々の要素の正確な解は非現実的または不可能である可能性があります。代わりに、有効抵抗と電流分布特性は、グラフ測度とネットワークの幾何学的特性の観点からモデル化できます。^[4]

伝達関数は、ネットワークの入力と出力の関係を表します。抵抗ネットワークの場合、これは常に単純な実数または実数になる式になります。抵抗ネットワークは、連立代数方程式で表されます。ただし、一般的な線形ネットワークの場合、ネットワークは連立線形微分方程式で表されます。ネットワーク分析では、微分方程式を直接使用するのではなく、まずそれらに対してラプラス変換を実行し、次にその結果を一般に複素数であるラプラスパラメータ s で表すのが通常の方法です。これは、s 領域で作業していると説明されます。方程式を直接操作する場合は、結果が時間とともに変化する量として表されるため、時間 (または t) 領域で作業していると説明されます。ラプラス変換は、s 領域と t 領域間で変換する数学的方法です。

このアプローチは制御理論の標準であり、たとえばフィードバック付きのアンプなどのシステムの 安定性を判断するのに役立ちます。

2 つの端子コンポーネントの場合、伝達関数、またはより一般的には非線形要素の場合の構成方程式は、デバイスへの電流入力と、その結果生じる電圧との関係です。したがって、伝達関数 Z(s) の単位はインピーダンス (オーム) になります。電気ネットワークにある 3 つの受動コンポーネントの場合、伝達関数は次のようになります。

安定した AC 信号のみが適用されるネットワークの場合、s はjωに置き換えられ、AC ネットワーク理論からのより一般的な値が得られます。

最後に、安定した直流のみが適用されるネットワークの場合、s はゼロに置き換えられ、直流ネットワーク理論が適用されます。

一般に、制御理論における伝達関数には記号 H(s) が与えられます。電子工学で最も一般的には、伝達関数は出力電圧と入力電圧の比として定義され、記号 A(s) が与えられます。または、より一般的には (解析は常に正弦波応答で行われるため) A ( jω ) が与えられます。 $${\displaystyle A(j\omega )={\frac {V_{o}}{V_{i}}}}$$

Aは、文脈に応じて減衰または増幅を表します。一般的に、これはjωの複素関数であり、ネットワーク内のインピーダンスと個々の伝達関数の分析から導き出すことができます。分析者は、ゲインの大きさのみに興味があり、位相角には興味がない場合があります。この場合、伝達関数から複素数を削除して、次のように記述できます。 $${\displaystyle A(\omega )=\left|{\frac {V_{o}}{V_{i}}}\right|}$$

2 ポート ネットワークの概念は、ネットワーク分析においてブラック ボックスアプローチとして役立ちます。2 ポート ネットワークの大規模なネットワーク内での動作は、必ずしも内部構造について何も述べなくても、完全に特徴付けることができます。ただし、これを行うには、上記の A(jω) 以外の情報も必要です。2 ポート ネットワークを完全に特徴付けるには、4 つのパラメーターが必要であることがわかります。これらは、順方向伝達関数、入力インピーダンス、逆方向伝達関数 (つまり、出力に電圧が適用されたときに入力に現れる電圧)、および出力インピーダンスです。他にも多数ありますが (完全なリストについてはメインの記事を参照)、そのうちの 1 つは、4 つのパラメーターすべてをインピーダンスとして表します。4 つのパラメーターは通常、行列として表されます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z(j\omega )_{11}&z(j\omega )_{12}\\z(j\omega )_{21}&z(j\omega )_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{0}\end{bmatrix}}}$$

マトリックスは代表的な要素に省略される場合があります。

${\displaystyle \left[z(j\omega )\right]}$あるいは単に${\displaystyle \left[z\right]}$

これらの概念は、2 つ以上のポートを持つネットワークに拡張できます。ただし、多くの実用ケースではポートは純粋に入力か純粋に出力のいずれかと見なされるため、実際にはこれが行われることはほとんどありません。逆方向の伝達関数を無視すると、マルチポート ネットワークは常に複数の 2 ポート ネットワークに分解できます。

ネットワークが個別のコンポーネントで構成されている場合、2 ポート ネットワークを使用した解析は選択の問題であり、必須ではありません。ネットワークは、個々のコンポーネントの伝達関数の観点から常に代替的に解析できます。ただし、伝送線路の場合のように、ネットワークに分散コンポーネントが含まれている場合は、個々のコンポーネントが存在しないため、それらの観点から解析することはできません。これに対する最も一般的なアプローチは、線路を 2 ポート ネットワークとしてモデル化し、2 ポート パラメーター (またはそれと同等のもの) を使用して特性評価することです。この手法の別の例として、高周波トランジスタのベース領域を横切るキャリアのモデル化が挙げられます。ベース領域は、集中コンポーネントではなく、分布抵抗と分布容量としてモデル化する必要があります。

伝送線路や特定のタイプのフィルタ設計では、イメージ法を使用して転送パラメータを決定します。この方法では、同一ネットワークの無限に長いカスケード接続されたチェーンの動作が考慮されます。次に、この無限に長いチェーンの入力インピーダンスと出力インピーダンス、および順方向と逆方向の伝送関数を計算します。このようにして得られた理論値は、実際には正確に実現することはできませんが、多くの場合、短すぎない限り、有限チェーンの動作の非常に優れた近似値として機能します。

ほとんどの解析手法は、メモリのないコンポーネントのみで構成される回路である静的ネットワークの電圧と電流の値を計算しますが、複雑な動的ネットワークでは困難があります。一般に、動的回路の動作を記述する方程式は、微分代数方程式系(DAE) の形式です。DAE を解くのは難しく、そのための方法はまだ完全には理解されておらず、開発されていません (2010 年現在)。また、DAE の解が存在し、一意であることを保証する一般的な定理はありません。^{[5] : 204–205}特殊なケースでは、動的回路の方程式は常微分方程式(ODE)の形式になります。これは、ODE を解くための数値的手法には 1800 年代後半にまで遡る豊かな歴史があるため、より簡単に解くことができます。ODE 解法を DAE に適応させる 1 つの戦略は直接離散化と呼ばれ、回路シミュレーションで選択される方法です。^{[5] : 204-205}

時間ベースのネットワーク解析のためのシミュレーションベースの方法は、初期値問題(IVP) として提示された回路を解きます。つまり、メモリを持つコンポーネントの値 (たとえば、コンデンサの電圧やインダクタを流れる電流) が初期時点t ₀で与えられ、解析は時間 に対して行われます。^{[5] : 206-207} t ₀からt _fまでの無限の数の時点について数値結果を見つけることは不可能であるため、この期間は離散的な時間インスタンスに離散化され、数値解はインスタンスごとに見つかります。時間インスタンス間の時間はタイムステップと呼ばれ、シミュレーション全体を通して固定することも、適応的に変更することもできます。 ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{f}}$

IVPでは、時刻t _n+1の解を求める際に、時刻t _nの解は既に分かっている。次に、時間的離散化を使用して、微分を差分に置き換えます。たとえば、後方オイラー法では、h _n+1が時間ステップです。^{[5] ：266}$${\displaystyle x'(t_{n+1})\approx {\frac {x_{n+1}-x_{n}}{h_{n+1}}}}$$

すべての回路コンポーネントが線形であるか、回路が事前に線形化されている場合、この時点での方程式系は線形方程式系であり、数値線形代数法で解かれます。それ以外の場合は、非線形代数方程式系であり、根探索アルゴリズムなどの非線形数値法で解かれます。

シミュレーション方法は、コンデンサとインダクタを含む単純な動的ネットワークにのみ機能する伝達関数などのラプラス変換ベースの方法よりもはるかに適用可能です。また、ラプラス変換ベースの方法では、ネットワークへの入力信号を任意に定義することはできません。

実際のところ、ほとんどの電子設計は非線形です。半導体デバイスを含まないものはほとんどありません。これらは常に非線形であり、理想的な半導体pn 接合の伝達関数は、非常に非線形な関係によって与えられます。

${\displaystyle i=I_{o}\left(e^{{v}/{V_{T}}}-1\right)}$

どこ;

• iとv は瞬間電流と電圧です。
• I _{o は}逆漏れ電流と呼ばれる任意のパラメータであり、その値はデバイスの構造によって異なります。
• V _{T は}熱電圧と呼ばれる温度に比例するパラメータであり、室温では約 25mV に等しくなります。

ネットワークに非線形性が生じる方法は他にもたくさんあります。線形重ね合わせを利用するすべての方法は、非線形コンポーネントが存在すると失敗します。回路の種類とアナリストが取得したい情報に応じて、非線形性に対処するためのオプションがいくつかあります。

上記のダイオード方程式は、一般的な形式の 要素構成方程式の例です。

${\displaystyle f(v,i)=0}$

これは非線形抵抗器と考えることができます。非線形インダクタとコンデンサに対応する構成方程式はそれぞれ次のようになります。

${\displaystyle f(v,\varphi )=0}$

${\displaystyle f(v,q)=0}$

ここで、fは任意の関数、φは蓄積された磁束、q は蓄積された電荷です。

非線形解析において重要な考慮事項は、一意性の問題です。線形コンポーネントで構成されたネットワークの場合、与えられた境界条件のセットに対して、常に 1 つの一意の解が存在します。これは、非線形回路では必ずしも当てはまりません。たとえば、固定電流が印加された線形抵抗器では、抵抗器にかかる電圧の解は 1 つしかありません。一方、非線形トンネル ダイオードでは、与えられた電流に対する電圧の解が最大 3 つあります。つまり、ダイオードを流れる電流の特定の解は一意ではなく、同様に有効な他の解が存在する可能性があります。場合によっては、解がまったく存在しないことがあります。その場合は、解の存在の問題を考慮する必要があります。

もう一つの重要な考慮事項は安定性の問題です。特定の解が存在するかもしれませんが、それは安定しておらず、わずかな刺激でその点から急速に離れてしまう可能性があります。すべての条件に対して絶対的に安定したネットワークは、各条件セットに対して1つの、そして唯一の解を持つ必要があることが示されています。^[6]

スイッチング デバイスとは、非線形性を利用して 2 つの反対の状態を生成するデバイスのことです。たとえば、デジタル回路の CMOS デバイスは、出力が正または負の電源レールに接続されており、デバイスがスイッチングしている過渡期間を除いて、その中間の状態になることはありません。ここでは、非線形性が極端になるように設計されており、アナリストはその事実を利用できます。これらの種類のネットワークは、2 つの状態 (「オン」/「オフ」、「正」/「負」、または使用されている状態) をブール定数「0」と「1」に割り当てることで、ブール代数を使用して分析できます。

この分析では、過渡現象は無視され、デバイスの状態とブール値に割り当てられた公称状態との間のわずかな相違も無視されます。たとえば、ブール値「1」は +5V の状態に割り当てられる場合があります。デバイスの出力は +4.5V である可能性がありますが、アナリストはこれをブール値「1」と見なします。デバイスの製造元は通常、データシートで未定義と見なされる値の範囲を指定します (つまり、結果は予測できません)。

過渡現象は、アナリストにとってまったく興味のないものではありません。スイッチングの最大速度は、ある状態から別の状態への遷移の速度によって決まります。アナリストにとって幸いなことに、多くのデバイスでは、遷移の大部分はデバイスの伝達関数の線形部分で発生するため、線形解析を適用して少なくともおおよその答えを得ることができます。

2 つ以上の状態を持つブール代数を数学的に導くことは可能です。3 状態デバイスはごく一般的に使用されていますが、電子機器ではあまり使用されていません。

この手法は、回路の動作が本質的に線形であるが、それを実装するために使用されるデバイスが非線形である場合に使用されます。トランジスタ アンプは、この種のネットワークの例です。この手法の本質は、分析を 2 つの部分に分けることです。まず、DCバイアスが何らかの非線形方法を使用して分析されます。これにより、回路の静止動作点が確立されます。次に、回路の小信号特性が線形ネットワーク分析を使用して分析されます。これら 2 つの段階で使用できる方法の例を以下に示します。

非常に多くの回路設計では、DC バイアスは抵抗器 (または抵抗器のネットワーク) を介して非線形コンポーネントに供給されます。抵抗器は線形コンポーネントであるため、伝達関数のグラフから非線形デバイスの静止動作点を決定することは特に簡単です。方法は次のとおりです。線形ネットワーク解析から、抵抗器のネットワークとそれらを駆動するジェネレータの出力伝達関数 (つまり、出力電流に対する出力電圧) を計算します。これは直線 (負荷線と呼ばれる) になり、非線形デバイスの伝達関数プロットに簡単に重ね合わせることができます。線が交差する点が静止動作点です。

おそらく最も簡単な実用的な方法は、(線形) ネットワークの開回路電圧と短絡電流を計算し、これを非線形デバイスの伝達関数にプロットすることです。この 2 つの点を結ぶ直線が、ネットワークの伝達関数です。

実際には、回路の設計者は、説明した方向とは逆の方向に進みます。非線形デバイスのメーカーのデータシートに記載されているプロットから始めて、設計者は目的の動作点を選択し、それを達成するために必要な線形コンポーネントの値を計算します。

バイアスをかけられるデバイスに、ダイオードなどそれ自体が非線形である別のデバイスを介してバイアスが供給される場合でも、この方法を使用できます。ただし、この場合、バイアスをかけられるデバイスへのネットワーク伝達関数のプロットは直線ではなくなり、結果的に作業が面倒になります。

この方法は、ネットワーク内の入力信号と出力信号の偏差が非線形デバイスの伝達関数の実質的に線形な部分内に留まるか、または伝達関数の曲線が線形であると見なせるほど小さい場合に使用できます。これらの特定の条件のセットでは、非線形デバイスは等価な線形ネットワークで表すことができます。この等価回路は完全に概念的なものであり、小さな信号偏差に対してのみ有効であることを覚えておく必要があります。デバイスの DC バイアスにはまったく適用できません。

単純な 2 端子デバイスの場合、小信号等価回路は 2 つのコンポーネントのみで構成される場合があります。動作点における v/i 曲線の傾きに等しい抵抗 (動的抵抗と呼ばれる) と、曲線の接線。この接線は一般に原点を通らないため、ジェネレーターを使用します。端子の数が増えると、より複雑な等価回路が必要になります。

トランジスタ製造業者の間で小信号等価回路を指定する一般的な形式は、[h] パラメータと呼ばれる 2 ポート ネットワーク パラメータを使用することです。これらは [z] パラメータと同様に 4 つのパラメータのマトリックスですが、[h] パラメータの場合はインピーダンス、アドミタンス、電流ゲイン、電圧ゲインのハイブリッド混合です。このモデルでは、3 端子トランジスタは 2 ポート ネットワークであると見なされ、その端子の 1 つは両方のポートに共通です。[h] パラメータは、どの端子が共通端子として選択されるかによって大きく異なります。トランジスタにとって最も重要なパラメータは通常、共通エミッタ構成での順方向電流ゲイン h ₂₁です。これはデータシートでは h _feと指定されています。

2 ポート パラメータによる小信号等価回路は、従属ジェネレータの概念につながります。つまり、電圧ジェネレータまたは電流ジェネレータの値は、回路内の他の場所の電圧または電流に線形に依存します。たとえば、[z] パラメータ モデルは、この図に示すように従属電圧ジェネレータにつながります。

2 ポート パラメータ等価回路には、常に従属ジェネレータが存在します。これは、[h] パラメータだけでなく、[z] やその他の種類にも当てはまります。これらの依存関係は、より大規模な線形ネットワーク解析で方程式を作成するときに保持する必要があります。

この方法では、非線形デバイスの伝達関数が領域に分割されます。これらの各領域は直線で近似されます。したがって、伝達関数は、不連続性が生じる特定のポイントまでは線形になります。このポイントを超えると、伝達関数は再び線形になりますが、傾斜が異なります。

この方法のよく知られた応用は、pn 接合ダイオードの伝達関数の近似です。理想ダイオードの伝達関数は、この (非線形) セクションの冒頭で示されています。ただし、この式はネットワーク解析ではほとんど使用されず、代わりに区分近似が使用されます。電圧が低下すると、ダイオード電流が -I _oまで急速に減少することがわかります。この電流は、ほとんどの目的において非常に小さいため無視できます。電圧が増加すると、電流は指数的に増加します。ダイオードは、指数曲線の屈曲点までは開回路としてモデル化され、この点を超えると半導体材料のバルク抵抗に等しい抵抗としてモデル化されます。

遷移点電圧の一般的な値は、シリコン デバイスの場合は 0.7V、ゲルマニウム デバイスの場合は 0.3V です。スイッチング アプリケーションで使用されることがある、ダイオードのさらに単純なモデルは、順方向電圧の場合は短絡、逆方向電圧の場合は開回路です。

ほぼ一定の 0.7V を持つ順方向バイアスされた pn 接合のモデルは、増幅器設計におけるトランジスタのベース-エミッタ接合電圧の近似値としてもよく使用されます。

区分法は、信号が特定の範囲内に収まっている場合にのみ線形ネットワーク解析手法を適用できるという点で、小信号法に似ています。信号が不連続点を横切ると、モデルは線形解析の目的には有効ではなくなります。ただし、このモデルは小信号法よりも、信号と DC バイアスに等しく適用できるという利点があります。したがって、これらは同じ操作で解析でき、線形に重ね合わせることができます。

線形解析では、ネットワークのコンポーネントは不変であると想定されますが、スイープ発振器、電圧制御増幅器、可変イコライザーなどの一部の回路ではこれは当てはまりません。多くの場合、コンポーネント値の変化は周期的です。たとえば、周期信号で励起された非線形コンポーネントは、周期的に変化する線形コンポーネントとして表すことができます。シドニー・ダーリントンは、このような周期的な時間変化回路を解析する方法を公開しました。彼は、線形回路の解析に使用されるロナルド・M・フォスターとヴィルヘルム・カウアーの標準形に類似した標準回路形式を開発しました。^[7]

スカラー量に基づく回路理論をベクトル電流に一般化することは、スピン回路などの新しく進化する回路にとって不可欠です。^{[説明が必要]} 一般化された回路変数は、x、y、z 方向のスカラー電流とベクトルスピン電流の 4 つの要素で構成されます。電圧と電流はそれぞれ、4x4 スピン伝導行列として記述される伝導性を持つベクトル量になります。^{[引用が必要]}

• バートレットの二分定理
• キルヒホッフの回路法則
• ミルマンの定理
• 修正節点解析
• オームの法則
• 相互性（電気ネットワーク）
• テルゲンの定理
• シンボリック回路解析

• ファインマン物理学講義第2巻第22章: 交流回路