ユニタリ行列

2 × 2ユニタリ行列 の一般的な表現は次のようになります。$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,}$$

これは4つの実数パラメータ（ a の位相、 bの位相、 aとbの相対的な大きさ、および角度φ ）に依存し、*は複素共役です。この形式は、このような行列の 行列式が次のようになるように構成されています。$${\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }~.}$$

これらの要素のサブグループ${\displaystyle U}$と${\displaystyle \det(U)=1}$これは特殊ユニタリ群SU(2)と呼ばれます。

いくつかの代替形式の中で、行列Uは次の形式で表すことができます。 $${\displaystyle \ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^{-i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,}$$

どこ${\displaystyle e^{i\alpha }\cos \theta =a}$そして${\displaystyle e^{i\beta }\sin \theta =b,}$上記、および角度${\displaystyle \varphi ,\alpha ,\beta ,\theta }$任意の値を取ることができます。

紹介することで${\displaystyle \alpha =\psi +\delta }$そして${\displaystyle \beta =\psi -\delta ,}$次のような因数分解が可能である。

$${\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }&0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.}$$

この式は、2 × 2ユニタリ行列と角度θの2 × 2直交行列との間の関係を強調しています。

^{別の因数分解は[ 5 ]}です

$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.}$$

ユニタリ行列を基本行列に分解する方法は他にも多数あります。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}