数列の極限

実数列の極限の例は以下のとおりです。

• もし${\displaystyle x_{n}=c}$ 定数の場合${\textstyle c}$、 それから${\displaystyle x_{n}\to c}$[^{証明1 ] [ 6 ]}
• もし${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$、 それから${\displaystyle x_{n}\to 0}$[^{証明2 ] [ 6 ]}
• もし${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$いつ${\displaystyle n}$均等で、${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$いつ${\displaystyle n}$おかしいですね${\displaystyle x_{n}\to 0}$（${\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}$いつでも${\displaystyle n}$奇数かどうかは関係ありません。
• 任意の実数が与えられた場合、小数近似を用いることで、その数に収束する数列を容易に構成することができる。例えば、数列は次のようになる。${\textstyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots }$収束して$\textstyle {\frac {1}{3}}}$十進数表現${\textstyle 0.3333\dots }$は、前の数列の極限であり、次のように定義されます。$${\displaystyle 0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {3}{10^{k}}}}$$
• 数列の極限を求めることは必ずしも容易ではありません。2つの例を挙げると、$\lim_{n\to\infty}\left(1+{\tfrac{1}{n}}\right)^{n}}$（その極限は数eである）と算術平均と幾何平均。このような極限を求める際には、挟み撃ちの定理がしばしば役立つ。

私たちは呼ぶ${\displaystyle x}$数列の極限​${\displaystyle (x_{n})}$と書かれている

${\displaystyle x_{n}\to x}$、 または

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$、

以下の条件が満たされる場合：

各実数に対して${\displaystyle \varepsilon >0}$自然数が存在する${\displaystyle N}$すべての自然数に対して${\displaystyle n\geq N}$、 我々は持っています${\displaystyle |x_{n}-x|<\varepsilon }$[ ^{7 ]​}

言い換えれば、あらゆる親密さの尺度において${\displaystyle \varepsilon }$数列の項は最終的に極限値に非常に近くなる。${\displaystyle (x_{n})}$極限に収束または近づくと言われている${\displaystyle x}$。

象徴的に言うと、これは次のようになる。

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$。

シーケンス${\displaystyle (x_{n})}$ある極限値に収束する${\displaystyle x}$すると収束し、${\displaystyle x}$唯一の制限はそれだけです。そうでなければ${\displaystyle (x_{n})}$発散する。極限がゼロである数列は、零数列と呼ばれることもある。

• 
  極限に収束する数列の例${\displaystyle a}$
• 0 {\displaystyle \varepsilon >0} であっても、インデックス N 0 {\displaystyle N_{0}} が存在するため、シーケンスはその後完全に epsilon チューブ ( a − ε , a + ε ) {\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )} 内に収まります。" id="mwAQs">
  どちらでも${\displaystyle \varepsilon >0}$インデックスがあります${\displaystyle N_{0}}$そうすれば、シーケンスはその後完全にイプシロン管内に位置することになる。${\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}$。
• 0 {\displaystyle \varepsilon _{1}>0} に対しては、インデックス N 1 {\displaystyle N_{1}} が存在し、その後、シーケンスは epsilon チューブ ( a − ε 1 , a + ε 1 ) {\displaystyle (a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})} 内に入ります。" id="mwATk">
  より小さなものもある${\displaystyle \varepsilon _{1}>0}$索引${\displaystyle N_{1}}$そうすれば、シーケンスはその後イプシロンチューブ内に入る${\displaystyle (a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})}$。
• 0 {\displaystyle \varepsilon >0} に対して、イプシロンチューブの外側にあるシーケンスメンバーは有限個しか存在しない。" id="mwAXA">
  各${\displaystyle \varepsilon >0}$イプシロンチューブの外側には、有限個のシーケンスメンバーしか存在しない。

実数列の極限のその他の重要な性質には、以下のようなものがある。

• 存在する場合、数列の極限は一意である。^{[ 6 ]}
• 数列の極限は、通常の算術演算に関して良好な挙動を示します。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$そして${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}}$存在するならば、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}}$提供された${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}}$

• 任意の連続関数${\textstyle f}$、 もし${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$存在するならば、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)}$も存在する。実際、あらゆる実数値関数${\textstyle f}$連続であるのは、数列の限界を保持する場合に限る（ただし、より一般的な連続性の概念を用いる場合は必ずしもそうではない）。

• もし${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$すべての人々のために${\displaystyle n}$一部のものよりも大きい${\displaystyle N}$、 それから${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$。
• （挟み撃ちの定理）もし${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$すべての人々のために${\displaystyle n}$一部のものよりも大きい${\displaystyle N}$、 そして${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$、 それから${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$。
• （単調収束定理）もし${\displaystyle a_{n}}$すべてのに対して有界かつ単調である${\displaystyle n}$一部のものよりも大きい${\displaystyle N}$そうすれば収束する。
• 数列が収束するのは、そのすべての部分列が収束する場合に限る。
• ある数列のすべての部分列が、同じ点に収束する部分列を持つ場合、元の数列はその点に収束する。

これらの性質は、煩雑な形式的な定義を直接使用することなく、極限を証明するために広く利用されています。たとえば、次のことが証明されると、${\displaystyle 1/n\to 0}$上記の性質を用いると、次のことが容易に示される。${\displaystyle {\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}}$（${\displaystyle b\neq 0}$)

シーケンス${\displaystyle (x_{n})}$無限大に近づくと言われ、

${\displaystyle x_{n}\to \infty }$、 または

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$、

以下の条件が満たされる場合：

すべての実数に対して${\displaystyle K}$自然数が存在する${\displaystyle N}$すべての自然数に対して${\displaystyle n\geq N}$、 我々は持っています${\displaystyle x_{n}>K}$つまり、数列の項は最終的に任意の固定値よりも大きくなる。${\displaystyle K}$。

象徴的に言うと、これは次のようになる。

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}>K\right)\right)\right)}$。

同様に、数列がマイナス無限大に収束すると言い、

${\displaystyle x_{n}\to -\infty }$、 または

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty }$、

以下の条件が満たされる場合：

すべての実数に対して${\displaystyle K}$自然数が存在する${\displaystyle N}$すべての自然数に対して${\displaystyle n\geq N}$、 我々は持っています${\displaystyle x_{n}<K}$つまり、数列の項は最終的に任意の固定値よりも小さくなる。${\displaystyle K}$。

象徴的に言うと、これは次のようになる。

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}<K\right)\right)\right)}$。

数列が無限大またはマイナス無限大に発散する場合、それは発散数列である。ただし、発散数列は必ずしもプラスまたはマイナス無限大に発散するとは限らず、数列は${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}$その一例を挙げる。

ある点${\displaystyle x}$距離空間の${\displaystyle (X,d)}$数列の極限は${\displaystyle (x_{n})}$もし：

各実数に対して${\displaystyle \varepsilon >0}$自然数が存在する${\displaystyle N}$すべての自然数に対して${\displaystyle n\geq N}$、 我々は持っています${\displaystyle d(x_{n},x)<\varepsilon }$。

象徴的に言うと、これは次のようになる。

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies d(x_{n},x)<\varepsilon \right)\right)\right)}$。

これは、実数の定義と一致します。${\displaystyle X=\mathbb {R} }$そして${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$。

• 存在する場合、数列の極限は一意であり、異なる点は正の距離で分離されているため、${\displaystyle \varepsilon }$この距離の半分未満では、数列の項は距離内に存在できません。${\displaystyle \varepsilon }$両方の点について。

• 任意の連続関数fに対して、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$存在するならば、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)}$実際、関数fが連続であるのは、それが数列の極限を保持する場合に限る。

コーシー列とは、初期項を十分に多く削除した後、最終的に項同士が限りなく近づく列のことである。コーシー列の概念は、距離空間における数列の研究、特に実解析において重要である。実解析における特に重要な結果の一つに、数列の収束に関するコーシー判定条件がある。すなわち、実数列が収束するのは、それがコーシー列である場合に限る。このことは、他の完備距離空間においても成り立つ。

ある点${\displaystyle x\in X}$位相空間の${\displaystyle (X,\tau )}$は制限または数列の極限点^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$もし：

すべての地域のために${\displaystyle U}$の${\displaystyle x}$いくつか存在する${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$すべての${\displaystyle n\geq N}$、 我々は持っています${\displaystyle x_{n}\in U}$[ ^{10 ]​}

これは、距離空間の定義と一致する。${\displaystyle (X,d)}$は距離空間であり、${\displaystyle \tau }$は、によって生成されるトポロジーです。${\displaystyle d}$。

点列の極限${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$位相空間において${\displaystyle T}$は関数の極限の特殊なケースです。定義域は${\displaystyle \mathbb {N} }$宇宙空間で${\displaystyle \mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$アフィン拡張実数系の誘導位相により、範囲は${\displaystyle T}$、および関数引数${\displaystyle n}$傾向${\displaystyle +\infty }$この空間では、それは限界点である${\displaystyle \mathbb {N} }$。

ハウスドルフ空間では、数列の極限は存在する限り一意である。非ハウスドルフ空間では必ずしもそうではない。特に、2点が${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$位相的に区別できないならば、 に収束する任意の数列は${\displaystyle x}$収束しなければならない${\displaystyle y}$そしてその逆もまた然り。

• もし${\displaystyle x_{n,m}=c}$ 定数の場合${\textstyle c}$、 それから${\displaystyle x_{n,m}\to c}$。
• もし${\displaystyle x_{n,m}={\frac {1}{n+m}}}$、 それから${\displaystyle x_{n,m}\to 0}$。
• もし${\displaystyle x_{n,m}={\frac {n}{n+m}}}$すると、限界は存在しない。${\textstyle n}$そして${\textstyle m}$この数列は、${\textstyle 0}$そして${\textstyle 1}$。

私たちは呼ぶ${\displaystyle x}$数列の二重極限${\displaystyle (x_{n,m})}$書かれた

${\displaystyle x_{n,m}\to x}$、 または

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=x}$、

以下の条件が満たされる場合：

各実数に対して${\displaystyle \varepsilon >0}$自然数が存在する${\displaystyle N}$すべての自然数の組に対して${\displaystyle n,m\geq N}$、 我々は持っています${\displaystyle |x_{n,m}-x|<\varepsilon }$[ ^{11 ]​}

言い換えれば、あらゆる親密さの尺度において${\displaystyle \varepsilon }$数列の項は最終的に極限値に非常に近くなる。${\displaystyle (x_{n,m})}$極限に収束または近づくと言われている${\displaystyle x}$。

象徴的に言うと、これは次のようになる。

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies |x_{n,m}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$。

二重極限は、まずnについて極限を取り、次にmについて極限を取る方法とは異なります。後者は反復極限と呼ばれます。二重極限と反復極限の両方が存在する場合、それらは同じ値になります。ただし、どちらか一方のみが存在し、もう一方は存在しない場合もあります。

シーケンス${\displaystyle (x_{n,m})}$無限大に近づくと言われ、

${\displaystyle x_{n,m}\to \infty }$、 または

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=\infty }$、

以下の条件が満たされる場合：

すべての実数に対して${\displaystyle K}$自然数が存在する${\displaystyle N}$すべての自然数の組に対して${\displaystyle n,m\geq N}$、 我々は持っています${\displaystyle x_{n,m}>K}$つまり、数列の項は最終的に任意の固定値よりも大きくなる。${\displaystyle K}$。

象徴的に言うと、これは次のようになる。

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}>K\right)\right)\right)}$。

同様に、シーケンス${\displaystyle (x_{n,m})}$マイナス無限大に近づく、

${\displaystyle x_{n,m}\to -\infty }$、 または

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=-\infty }$、

以下の条件が満たされる場合：

すべての実数に対して${\displaystyle K}$自然数が存在する${\displaystyle N}$すべての自然数の組に対して${\displaystyle n,m\geq N}$、 我々は持っています${\displaystyle x_{n,m}<K}$つまり、数列の項は最終的に任意の固定値よりも小さくなる。${\displaystyle K}$。

象徴的に言うと、これは次のようになる。

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}<K\right)\right)\right)}$。

数列が無限大またはマイナス無限大に発散する場合、それは発散数列である。ただし、発散数列は必ずしもプラスまたはマイナス無限大に発散するとは限らず、数列は${\displaystyle x_{n,m}=(-1)^{n+m}}$その一例を挙げる。

二重シーケンスの場合${\displaystyle (x_{n,m})}$例えば、いずれかのインデックスで極限を取ると、${\displaystyle n\to \infty }$単一の配列を取得する${\displaystyle (y_{m})}$実際、この極限を取る場合、2 つの意味があります。1 つ目は点ごとの極限と呼ばれ、次のように表されます。

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$、 または

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$、

つまり、次のようになります。

各実数に対して${\displaystyle \varepsilon >0}$そして各固定自然数${\displaystyle m}$自然数が存在する${\displaystyle N(\varepsilon ,m)>0}$すべての自然数に対して${\displaystyle n\geq N}$、 我々は持っています${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$[ ^{12 ]​}

象徴的に言うと、これは次のようになる。

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$。

このような極限が存在する場合、数列は${\displaystyle (x_{n,m})}$点ごとに収束して${\displaystyle (y_{m})}$。

2 番目は一様極限と呼ばれ、次のように表されます。

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$、

${\displaystyle x_{n,m}\rightrightarrows y_{m}}$、 または

${\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif} \lim }}\;x_{n,m}=y_{m}}$、

つまり、次のようになります。

各実数に対して${\displaystyle \varepsilon >0}$自然数が存在する${\displaystyle N(\varepsilon )>0}$すべての自然数に対して${\displaystyle m}$そしてすべての自然数に対して${\displaystyle n\geq N}$、 我々は持っています${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$[ ^{12 ]​}

象徴的に言うと、これは次のようになる。

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$。

この定義では、${\displaystyle N}$独立している${\displaystyle m}$言い換えれば、${\displaystyle N}$すべての自然数に一律に適用可能${\displaystyle m}$したがって、一様収束は点ごとの収束よりも強い性質であることが容易にわかる。一様極限の存在は、点ごとの極限の存在と等しさを意味する。

もし${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$均一に、そして${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$ポイントごとに。

このような極限が存在する場合、数列は${\displaystyle (x_{n,m})}$一様に収束して${\displaystyle (y_{m})}$。

二重シーケンスの場合${\displaystyle (x_{n,m})}$例えば、いずれかのインデックスで極限を取ると、${\displaystyle n\to \infty }$単一の配列を取得する${\displaystyle (y_{m})}$そして、もう一方のインデックスで極限を取る、つまり${\displaystyle m\to \infty }$数値を取得する${\displaystyle y}$象徴的に言えば、

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}=y}$。

この極限は、二重数列の反復極限として知られています。極限を取る順序によって結果が変わる可能性があります。

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}\neq \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }x_{n,m}}$一般的に。

等号の十分条件はムーア・オズグッドの定理によって与えられ、極限値を要求する。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}}$均一である${\textstyle m}$[ ^{11 ]​}