複素対数

ゼロでない各複素数について${\displaystyle z}$元本価値${\displaystyle \operatorname {ログ} z}$は、虚部が区間内にある対数です。${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$[ ^{2 ]}表現^​${\displaystyle \operatorname {Log} 0}$複素数が存在しないため、未定義のままです。${\displaystyle w}$満足${\displaystyle e^{w}=0}$[ ^{1 ]​}

表記法が${\displaystyle \log z}$特定の対数が指定されていないにもかかわらず表示される場合、一般的には元値を想定していると考えるのが最善です。特に、これは実際の値と一致する値を与えます。${\displaystyle \ln z}$いつ${\displaystyle z}$は正の実数です。表記では大文字で表記します。${\displaystyle {\text{ログ}}}$一部の著者^{[ 2 ]}は、主値を他の対数と区別するためにこれを使用している。${\displaystyle z.}$

ゼロでない複素数の極形式${\displaystyle z=x+yi}$は ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$、 どこ${\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$は絶対値です${\displaystyle z}$、 そして${\displaystyle \theta }$は引数です。絶対値は実数で正です。引数は 2πの整数倍を加えるまで定義されます。主値は区間に属する値です。${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$これは次のように表現されます。${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$。

これにより、複素対数の主値に関する以下の公式が得られます。

${\displaystyle \operatorname {Log} z=\ln r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z=\ln {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\operatorname {atan2} (y,x).}$

例えば、${\displaystyle \operatorname {Log} (-3i)=\ln 3-\pi i/2}$、 そして${\displaystyle \operatorname {Log} (-3)=\ln 3+\pi i}$。

別の言い方をすれば${\displaystyle \operatorname {ログ} z}$これは、前の節で述べたように、複素指数関数の制限の逆関数です。水平帯${\displaystyle S}$複素数から構成される${\displaystyle w=x+yi}$そのため${\displaystyle -\pi <y\leq \pi }$は、 の整数倍だけ異なる 2 つの数値を含まない領域の例です。${\displaystyle 2\pi i}$指数関数の制限は${\displaystyle S}$逆関数を持つ。実際、指数関数は${\displaystyle S}$穴の開いた複素平面に一対一に対応する${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$、そしてこの制約の逆は${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to S}$以下の等角写像のセクションでは、この写像の幾何学的性質についてより詳しく説明します。

その地域で$\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$負の実数または 0 ではない複素数で構成される関数${\displaystyle \operatorname {ログ} z}$これは自然対数の解析接続です。負の実数直線上の値は、正の虚数部を持つ近傍の複素数における値の極限として得られます。

すべてのアイデンティティが満たされるわけではない${\displaystyle \ln }$複素数に拡張する。${\displaystyle e^{\operatorname {ログ} z}=z}$すべての人々のために${\displaystyle z\neq 0}$これは、${\displaystyle \operatorname {ログ} z}$の対数である${\displaystyle z}$)、しかしアイデンティティ${\displaystyle \operatorname {ログ} (e^{z})=z}$失敗する${\displaystyle z}$ストリップ地区の外側${\displaystyle S}$このため、常に適用できるとは限りません${\displaystyle {\text{ログ}}}$アイデンティティの両側面へ${\displaystyle e^{z}=e^{w}}$推論する${\displaystyle z=w}$また、アイデンティティ${\displaystyle \operatorname {ログ} (z_{1}z_{2})=\operatorname {ログ} z_{1}+\operatorname {ログ} z_{2}}$失敗する可能性がある: 両側は整数倍だけ異なる可能性がある${\displaystyle 2\pi i}$; ^{[ 1 ]}例えば、

${\displaystyle \operatorname {Log} ((-1)i)=\operatorname {Log} (-i)=\ln(1)-{\frac {\pi i}{2}}=-{\frac {\pi i}{2}},}$

しかし

${\displaystyle \operatorname {Log} (-1)+\operatorname {Log} (i)=\left(\ln(1)+\pi i\right)+\left(\ln(1)+{\frac {\pi i}{2}}\right)={\frac {3\pi i}{2}}\neq -{\frac {\pi i}{2}}.}$

機能${\displaystyle \operatorname {ログ} z}$は各負の実数で不連続ですが、それ以外の場所では連続です。${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$不連続性を説明するために、何が起こるかを考えてみましょう。${\displaystyle \arg z}$として${\displaystyle z}$負の実数に近づく${\displaystyle a}$。 もし${\displaystyle z}$アプローチ${\displaystyle a}$上から、それから${\displaystyle \arg z}$アプローチ${\displaystyle \pi ,}$これはまた、${\displaystyle \arg a}$それ自体。しかし、もし${\displaystyle z}$アプローチ${\displaystyle a}$下から、それから${\displaystyle \arg z}$アプローチ${\displaystyle -\pi .}$それで${\displaystyle \arg z}$「ジャンプ」$2π$として${\displaystyle z}$負の実軸を横切り、同様に${\displaystyle \operatorname {ログ} z}$ジャンプする${\displaystyle 2\pi i.}$

単位円に関する上記の議論は、${\displaystyle \log z}$開集合上に存在する${\displaystyle U}$0の周りをぐるぐる回る閉曲線を含む。${\displaystyle \log z}$0 に分岐点があります。0 の周りを巻き込む閉曲線を含まないようにするため、${\displaystyle U}$は通常、複素平面上で0（0を含む）から無限大まである方向に伸びる半直線または曲線の補直線として選ばれます。この場合、曲線は分岐切断と呼ばれます。例えば、主分岐は負の実軸に沿って分岐切断を持ちます。

関数が${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$が枝の切断点で定義されるように拡張されると、必然的にそこで不連続になります。せいぜい「片側」で連続になります。${\displaystyle \operatorname {Log} z}$負の実数において。

すべての正則関数と同様に、複素対数はその定義域内の任意の点の近傍で冪級数を用いて局所的に表現できます。つまり、解析的でもあります。対数は の積分であるため、${\displaystyle 1/z}$、そのべき級数は、べき級数を項ごとに積分することによって求めることができる。${\displaystyle z\mapsto 1/z}$パワーシリーズ${\displaystyle z\mapsto 1/z}$ 任意の点を中心とする${\displaystyle z_{0}\neq 0}$それ自体は、考慮することによって見つけることができる${\displaystyle 1/z}$初項が等比級数の和として${\displaystyle 1/z_{0}}$公比${\displaystyle (z-z_{0})/(-z_{0})}$。$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{z_{0}}}\cdot {\frac {1}{1-{\dfrac {z-z_{0}}{-z_{0}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{z_{0}}}\left({\frac {z-z_{0}}{-z_{0}}}\right)^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z_{0}^{n+1}}}(z-z_{0})^{n}.}$$ この級数は円盤内で収束する${\displaystyle |z-z_{0}|<|z_{0}|}$、原点（極が存在する場所）を含まない最大の円盤。項ごとの積分後： $${\displaystyle \log z=\log z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{nz_{0}^{n}}}(z-z_{0})^{n}.}$$

の表現${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$中心のべき級数によって${\displaystyle z_{0}\not =0}$対数の分岐のテイラー級数表現を提供する${\displaystyle {\overline {D_{r}(z_{0})}}}$と${\displaystyle r<|z_{0}|}$そして${\displaystyle c=\ln(|z_{0}|)+i\cdot t}$メルカトル図法シリーズに似ているが、中心は任意である${\displaystyle z_{0}=|z_{0}|\cdot e^{it}\not =0}$:

${\displaystyle F(z)=c+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z_{0}^{n+1}\cdot (n+1)}}\cdot (z-z_{0})^{n+1}}$

対数の対応する枝は${\displaystyle F}$ドメイン上で定義されています${\displaystyle U:=\mathbb {C} \setminus \{z\in \mathbb {C} \,:\,z=\lambda \cdot z_{0}{\mbox{ with }}0\geq \lambda \in \mathbb {R} \}}$。

対数の枝の定義域から負の虚軸を取り除くことによって

${\displaystyle U_{i}:=\mathbb {C} \setminus \{z\in \mathbb {C} \,:\,z=\lambda \cdot i{\mbox{ with }}0\geq \lambda \in \mathbb {R} \}}$

対数の分岐は、すべてのに対して定義できます。${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$と：

${\displaystyle \ln(-x)=\ln(x)+i\cdot \pi }$と${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$そして${\displaystyle x<0}$。

対数の分岐${\displaystyle U_{i}}$標準対数を提供します${\displaystyle \ln(x)}$のために${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$そして${\displaystyle x>0}$。

各支店${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$の${\displaystyle \log z}$オープンセットで${\displaystyle U}$は指数関数の制限の逆であり、具体的にはイメージへの制限である。${\displaystyle \operatorname {L} (U)}$指数関数は正則（つまり複素微分可能）であり、導関数がゼロにならないため、逆関数定理の複素版が適用されます。これは、${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$は正則である${\displaystyle U}$、 そして${\displaystyle \operatorname {L} '(z)=1/z}$各${\displaystyle z}$で${\displaystyle U}$[ ^{2 ]これを証明する別の方法は、}極座標でコーシー・リーマン方程式を調べることです。^{[ 2 ]}

機能${\displaystyle \ln(x)}$実際に${\displaystyle x>0}$式によって構築できる $${\displaystyle \ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {du}{u}}.}$$ 積分範囲が正の数から始まった場合${\displaystyle a}$1以外の場合、式は次のようになる必要がある。 $${\displaystyle \ln(x)=\ln(a)+\int _{a}^{x}{\frac {du}{u}}}$$ その代わり。

複素対数の類似物を開発する際には、さらに複雑な問題が生じます。複素積分の定義には経路の選択が必要となるからです。幸いなことに、被積分関数が正則関数であれば、経路を変形しても（端点を固定したまま）積分の値は変化しません。また、単連結領域では、${\displaystyle U}$（穴のない領域）から任意の経路${\displaystyle a}$に${\displaystyle z}$内部${\displaystyle U}$内部で連続的に変形することができる${\displaystyle U}$他のものへ。これらすべては、以下のことにつながります。

もし${\displaystyle U}$は、${\displaystyle \mathbb {C} }$0を含まない場合、${\displaystyle \log z}$定義済み${\displaystyle U}$開始点を選択することで構築できます${\displaystyle a}$で${\displaystyle U}$対数を選択する${\displaystyle b}$の${\displaystyle a}$定義する$${\displaystyle L(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {dw}{w}}}$$各${\displaystyle z}$で${\displaystyle U}$[ ^{7 ]​}

さまざまな部門${\displaystyle \log z}$単一の連続関数を与えるように接着することはできない${\displaystyle \log \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} }$なぜなら、2つの分岐は、両方とも定義されている点において異なる値を与える可能性があるからです。例えば、主分岐を比較してみましょう。${\displaystyle \operatorname {Log} z}$の上${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$想像上の部分を含む${\displaystyle \theta }$で${\displaystyle (-\pi ,\pi )}$そしてその枝${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$の上${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\geq 0}}$その想像上の部分${\displaystyle \theta }$横たわる${\displaystyle (0,2\pi )}$これらは上半平面では一致しますが、下半平面では一致しません。したがって、これらの分岐の領域を上半平面のコピーに沿ってのみ接着するのが理にかなっています。結果として得られる接着された領域は連結していますが、下半平面のコピーが 2 つあります。これらの 2 つのコピーは駐車場の 2 つのレベルとして視覚化でき、そこから次のことが得られます。${\displaystyle {\text{Log}}}$下半分の平面のレベルまで${\displaystyle {\text{L}}}$下半分の平面のレベルは、${\displaystyle 2\pi }$0を中心として反時計回りにラジアン回転し、最初に正の実軸 (${\displaystyle {\text{Log}}}$レベル）を上半平面の共有コピーに挿入し、負の実軸（${\displaystyle {\text{L}}}$レベル）へ${\displaystyle {\text{L}}}$下半平面のレベル。

想像上の部分で枝を接着して続けることができます${\displaystyle \theta }$で${\displaystyle (\pi ,3\pi )}$、 で${\displaystyle (2\pi ,4\pi )}$などなど、反対方向には、仮想部分を持つ枝が${\displaystyle \theta }$で${\displaystyle (-2\pi ,0)}$、 で${\displaystyle (-3\pi ,-\pi )}$などなど。最終的に得られるのは、上方向にも下方向にも無限に伸びる螺旋状の駐車場と見なせる連結面です。これがリーマン面です。${\displaystyle R}$関連${\displaystyle \log z}$[ ^{9 ]​}

1点${\displaystyle R}$ペアと考えることができる${\displaystyle (z,\theta )}$どこ${\displaystyle \theta }$は引数の可能な値です${\displaystyle z}$このようにして、Rを埋め込むことができます。${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} \approx \mathbb {R} ^{3}}$。

分岐の定義域は値が一致する開集合に沿ってのみ結合されているため、分岐は結合されて単一の明確に定義された関数となる。${\displaystyle \log _{R}\colon R\to \mathbb {C} }$[ ^{10 ]}各点をマッピングし^ます${\displaystyle (z,\theta )}$の上${\displaystyle R}$に${\displaystyle \ln |z|+i\theta }$元のブランチを拡張するこのプロセス${\displaystyle {\text{Log}}}$互換性のある正則関数を貼り合わせることは、解析接続として知られています。

「投影図」があります${\displaystyle R}$まで${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$螺旋を「平坦化」し、${\displaystyle (z,\theta )}$に${\displaystyle z}$どのような場合でも${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$すべてのポイントを考慮すると${\displaystyle (z,\theta )}$の${\displaystyle R}$「真上」に位置する${\displaystyle z}$そして評価する${\displaystyle \log _{R}}$これらのすべての点で、すべての対数が得られます。${\displaystyle z}$。

上記で選んだ枝だけを接着する代わりに、すべての枝から始めることができます。${\displaystyle \log z}$そして同時に枝のペアごとに接着する${\displaystyle L_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {C} }$そして${\displaystyle L_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {C} }$最大のオープンサブセットに沿って${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$で${\displaystyle L_{1}}$そして${\displaystyle L_{2}}$同意します。これは同じリーマン面を生成します。${\displaystyle R}$機能${\displaystyle \log _{R}}$以前と同様です。この方法は、視覚化するのはやや難しいものの、特定の分岐を選択する必要がないため、より自然なアプローチと言えます。

もし${\displaystyle U'}$は、の開部分集合である。${\displaystyle R}$その像に一対一に投影する${\displaystyle U}$で${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$すると、${\displaystyle \log _{R}}$に${\displaystyle U'}$のブランチに対応します${\displaystyle \log z}$定義済み${\displaystyle U}$. すべての支店${\displaystyle \log z}$このようにして発生する。

投影図${\displaystyle R\to \mathbb {C} ^{*}}$気づく${\displaystyle R}$覆いスペースとして${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$実際、それはデッキ変換群が同型であるガロア被覆である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$同相写像によって生成された${\displaystyle (z,\theta )}$に${\displaystyle (z,\theta +2\pi )}$。

複素多様体として、${\displaystyle R}$双正則で${\displaystyle \mathbb {C} }$経由${\displaystyle \log _{R}}$（逆マップは${\displaystyle z}$に${\displaystyle \left(e^{z},\operatorname {Im} (z)\right)}$）これは、${\displaystyle R}$単純に接続されているので${\displaystyle R}$は、​${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$。

実数の場合と同様に、複素数についても定義することができる。${\displaystyle b}$そして${\displaystyle x}$

${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log x}{\log b}},}$

ただし、その値は、で定義されたログの分岐の選択に依存するという注意点があります。${\displaystyle b}$そして${\displaystyle x}$（と${\displaystyle \log b\not =0}$) 例えば、元本値を使用すると

${\displaystyle \log _{i}e={\frac {\operatorname {Log} e}{\operatorname {Log} i}}={\frac {1}{\pi i/2}}=-{\frac {2i}{\pi }}.}$

fが連結開集合上の正則関数である場合${\displaystyle U}$の${\displaystyle \mathbb {C} }$、次に${\displaystyle \log f}$の上${\displaystyle U}$連続関数である${\displaystyle g}$の上${\displaystyle U}$そのため${\displaystyle e^{g(z)}=f(z)}$すべての人々のために${\displaystyle z}$で${\displaystyle U}$このような関数${\displaystyle g}$は必然的に正則であり、${\displaystyle g'(z)=f'(z)/f(z)}$すべての人々のために${\displaystyle z}$で${\displaystyle U}$。

もし${\displaystyle U}$は、${\displaystyle \mathbb {C} }$、 そして${\displaystyle f}$は、 上のどこにも消滅しない正則関数である。${\displaystyle U}$、次に${\displaystyle \log f}$定義済み${\displaystyle U}$開始点a を選択することによって構築できます${\displaystyle U}$対数を選択する${\displaystyle b}$の${\displaystyle f(a)}$定義する

${\displaystyle g(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {f'(w)}{f(w)}}\,dw}$

各${\displaystyle z}$で${\displaystyle U}$[ ^{2 ]​}