環準同型

数学において、環準同型とは、 2つの環の間の構造を保存する関数である。より明確に言えば、RとSが環である場合、環準同型は加算、乗算、乗法単位元を保存する関数である。つまり、^{[1] [2] [3] [4] [5]}${\displaystyle f:R\to S}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(a+b)&=f(a)+f(b),\\f(ab)&=f(a)f(b),\\f(1_{R})&=1_{S},\end{aligned}}}$

全員で${\displaystyle a,b}$${\displaystyle R.}$

これらの条件は、加法的な逆元と加法的な恒等式も保存されることを意味します。

さらにf が全単射ならば、その逆 f ⁻¹も環準同型である。この場合、f は環同型と呼ばれ、環RとS は同型であると呼ばれる。環論の観点からは、同型環はまったく同じ性質を持つ。

RとSがrngの場合、対応する概念はrng 準同型であり、^{[a] は}3 番目の条件f (1 _R ) = 1 _Sを除いて上記と同じように定義されます。(単位) 環間の rng 準同型は、環準同型である必要はありません。

2 つの環準同型の合成は環準同型である。従って、環は環準同型を射として持つカテゴリを形成する(環のカテゴリを参照)。特に、環自己同型、環同型、環自己同型の概念が得られる。

f  : R → Sを環準同型と する。すると、これらの定義から直接次のことが導かれる。

• f (0 _R ) = 0 _Sです。
• Rのすべてのaに対してf (− a ) = − f ( a )です。
• Rの任意の単位元 aに対して、f ( a ) は単位元であり、f ( a ) ⁻¹ = f ( a ⁻¹ )が成り立つ。特に、f はRの（乗法）単位元群からS（または im( f )）の（乗法）単位元群への群準同型性を誘導する。
• fの像はim( f ) と表され、 Sの部分環となる。
• fの核は、ker( f ) = { a in R | f ( a ) = 0 _S }と定義され、 Rの両側イデアルです。環Rのすべての両側イデアルは、何らかの環準同型の核です。
• 準同型は、核が零イデアルである場合に限り、単射である。
• Sの特性はRの特性を割り切ります。これは、特定の環RとSの間に環準同型R → Sが存在しないことを示すために使用されることがあります。
• R _{p が}Rに含まれる最小の部分環であり、S _{p が}Sに含まれる最小の部分環である場合、すべての環準同型f  : R → S は環準同型f _p  : R _p → S _pを誘導します。
• Rが体（またはより一般的には歪体）であり、 S が零環でない場合、fは単射です。
• RとS の両方が体である場合、 im( f ) はSのサブ体なので、S はRの体拡張と見なすことができます。
• I がSのイデアルであれば、f ⁻¹ ( I ) はRのイデアルです。
• RとSが可換であり、P がSの素イデアルである場合、f ⁻¹ ( P ) はRの素イデアルです。
• RとSが可換で、 M がSの極大イデアルであり、fが射影的である場合、f ⁻¹ ( M ) はRの極大イデアルです。
• RとSが可換であり、Sが整域である場合、 ker( f ) はRの素イデアルです。
• RとSが可換で、S が体であり、f が全射である場合、 ker( f ) はRの最大イデアルです。
• fが全射で、P がRの素数（最大）イデアルであり、ker( f ) ⊆ Pである場合、f ( P ) はSの素数（最大）イデアルです。

さらに、

• 環準同型S → TとR → Sの合成は環準同型R → Tである。
• 各環Rに対して、恒等写像R → Rは環準同型である。
• したがって、環全体のクラスと環準同型は、環のカテゴリというカテゴリを形成します。
• Rのすべての要素を 0 に送るゼロ写像R → Sは、 S がゼロ環(唯一の要素がゼロである環)である場合にのみ、環準同型です。
• すべての環Rに対して、一意の環準同型Z → Rが存在します。これは、整数環が環のカテゴリにおける初期オブジェクトであることを示しています。
• すべての環Rに対して、 Rから零環への唯一の環準同型が存在する。これは、零環が環のカテゴリにおける終端オブジェクトであることを意味する。
• 始オブジェクトは終オブジェクトと同型ではないため、環のカテゴリにはゼロ オブジェクトは存在しません。特に、ゼロ リングは環のカテゴリではゼロ オブジェクトではありません。

• f ( a ) = [ a ] _n = a mod nで定義される関数f  : Z → Z / n Z は、核がn Zである射影環準同型です（モジュラー算術を参照）。
• 複素共役 C → Cは環準同型です (これは環自己同型の例です)。
• 素数特性pの環Rに対して、R → R、x → x ^{p は}フロベニウス自己準同型と呼ばれる環自己準同型である。
• RとS が環である場合、 RからSへのゼロ関数は、 S がゼロ環である場合にのみ環準同型になります(そうでない場合は、 1 _Rを 1 _Sに 写像できません)。一方、ゼロ関数は常に rng 準同型です。
• R [ X ] が実数R を係数とする変数Xのすべての多項式の環を表し、C が複素数を表す場合、f ( p ) = p ( i ) （多項式pの変数Xに虚数単位i を代入する）によって定義される関数f  : R [ X ] → Cは、射影環準同型である。 fの核は、X ² + 1で割り切れるR [ X ]のすべての多項式から構成される。
• f  : R → Sが環RとS の間の環準同型である場合、f は行列環 M _n ( R ) → M _n ( S )の間の環準同型を誘導します。
• V を体k上のベクトル空間とする。このとき、 ρ ( a ) v = avによって与えられる写像ρ  : k → End( V ) は環準同型である。より一般的には、アーベル群Mが与えられたとき、環R上のM上の加群構造は環準同型R → End( M )を与えることと同値である。
• 可換環R上の単位結合代数間の単位代数準同型は、 R線型でもある環準同型です。

• f ([ a ] ₆ ) = [4 a ] ₆で定義される関数f  : Z /6 Z → Z /6 Zは、核が 3 Z /6 Zで像が 2 Z /6 Z ( Z /3 Zと同型) である rng 準同型 (および rng 自己準同型) です。
• 任意のn ≥ 1に対して環準同型Z / n Z → Zは存在しない。
• RとSが環の場合、各r を( r ,0)に写す包含R → R × Sは rng 準同型であるが、環準同型ではない ( Sが零環でない場合)。これは、 Rの乗法単位元 1 をR × Sの乗法単位元 (1,1) に写さないためである。

• 環自己準同型は、環からそれ自身への環準同型です。
• 環同型とは、2 面逆を持つ環準同型であり、これも環準同型です。環準同型が同型であるのは、基礎となる集合上の関数として全単射である場合に限ります。2 つの環RとS の間に環同型が存在する場合、RとS は同型であると呼ばれます。同型環は、要素のラベル付けが異なるだけです。例: 同型まで、位数 4 の環は 4 つあります。(つまり、位数 4 の 2 つに同型でない環が 4 つあり、位数 4 の環の 1 つおきが、それらの 1 つと同型であるということです。) 一方、同型まで、位数 4 の環は 11 個あります。
• 環の自己同型は、環からそれ自身への環同型です。

入射的な環準同型は、環のカテゴリにおける単射と同一です。 f  : R → S が入射的でない単射である場合、それはr ₁とr _{2 を}Sの同じ要素に送信します。xをそれぞれr ₁とr ₂にマップする、 Z [ x ]からRへの 2 つのマップg ₁とg ₂を考えます。f ∘ g ₁とf ∘ g ₂は同一ですが、f は単射であるためこれは不可能です。

しかし、環のカテゴリにおける射影的環準同型は、エピモーフィズムとは大きく異なります。たとえば、包含Z ⊆ Qは環エピモーフィズムですが、射影ではありません。しかし、これらは強いエピモーフィズムとはまったく同じです。

• 指輪の交換