番号

骨やその他の遺物には、多くの人がタリーマークだと考えている刻み目が刻まれているのが発見されている。^{[ 9 ]}歴史家の中には、レボンボ骨（約43,000年前）とイシャンゴ骨（約22,000～30,000年前）が最古の算術遺物だと示唆する者もいるが、この解釈には異論がある。^{[ 10 ] [ 11 ]}これらのタリーマークは、日数や月の周期などの経過時間を数えたり、動物などの数量を記録したりするために使われた可能性がある。 ^{[ 12 ]}数の概念の根底にあると考えられている数量の知覚システムは 、他の種と共有されており、系統発生的な分布から、言語の出現以前に存在していたと考えられる。^{[ 13 ] [ 10 ]}

集計システムには位取りの概念（現代の十進表記法のように）がないため、大きな数の表現が制限されます。それでも、集計システムは最初の種類の抽象的な数体系と考えられています。^{[ 14 ]}

考古学的記録に残る最も古い明確な数字は、メソポタミアの 60進法（紀元前3400 年頃）である^{[ 15 ]} 。位取り記数は紀元前3千年紀に出現した^{[ 16 ]} 。既知の最古の10進法は、エジプトの紀元前 3100年に遡る^{[ 17 ]}。バビロニアの粘土板は、  紀元前1900～1600年頃の円周と直径の推定値$3{\frac{1}{8}}}$= 3.125、おそらくπの最も古い近似値。^{[ 18 ]}

数字は、数字を表すために使用される記号である数字とは区別されるべきである。エジプト人は最初の暗号化された数字体系を発明し、ギリシャ人はそれに続いて、イオニア式とドーリア式のアルファベットに数える数をマッピングした。^{[ 19 ]}（しかし、紀元前300年にアルキメデスは『砂計算』で、非常に大きな数を表示するために位置記数法を使用することを初めて実証した。^{[ 20 ]}）ローマ数字は、ローマ字の文字の組み合わせを使用するシステムであり、 14世紀後半頃にヒンドゥー・アラビア数字体系が広まるまでヨーロッパで支配的であり続け、ヒンドゥー・アラビア数字体系は今日でも世界で最も一般的な数字の表現システムである。^{[ 21 ]}このシステムの有効性の鍵は、紀元500年頃に古代インドの数学者によって開発されたゼロの記号であった。 ^{[ 21 ]}

ゼロを整数として用いた最初の記録は西暦628年に遡り、インドの数学者ブラフマグプタの主著である『ブラフマスプタシッダーンタ』に登場します。彼は通常、ゼロという数学的概念を最初に定式化した人物と考えられています。ブラフマグプタは0を数として扱い、ゼロによる除算を含む、0を用いた演算について論じました。彼は、負の数と正の数にゼロを用いる規則、例えば「ゼロ＋正の数は正の数であり、負の数＋ゼロは負の数である」などを示しました。この頃（7世紀）には、この概念はクメール数字の形でカンボジアに明らかに伝わっており^{[ 22 ]}、文書によると、この考えは後に中国やイスラム世界に広まりました。この概念は、1000年頃にイスラムの文献を通じてヨーロッパに伝わり始めました^{[ 23 ]。} 

ブラフマグプタ以前にもゼロの使用例はあるが、その記録はブラフマスプタシッダーンタほど完全ではない。^{[ 24 ]}ゼロの最も初期の使用例は、バビロニア人が行ったように、位取り記数法における単なるプレースホルダー数字として、別の数を表すものであった。 ^{[ 25 ]}バビロニアやエジプトの文献を含め、多くの古代文献 で0が使用されている。エジプト人は、複式簿記でゼロ残高を表すためにnfrという単語を使用した。インドの文献では、空の概念を指すためにサンスクリット語のShunyeまたはshunyaという単語が使用されている。数学の文献では、この単語はしばしばゼロを指す。^{[ 26 ]}同様に、パーニニ（紀元前5世紀）は、サンスクリット語の代数文法の初期の例であるアシュタディヤーイーでヌル（ゼロ）演算子を使用している（ピンガラも参照）。^{[ 24 ]} 

記録によると、古代ギリシア人は 0が数であるかどうか確信が持てなかったようで、「『無』がどうして何かになり得るのか？」と自問し、0と真空の性質と存在について興味深い哲学的、そして中世には宗教的な議論が展開された。エレアのゼノンのパラドックスは、 0の解釈の不確実性に一部依存している。^{[ 27 ]}（古代ギリシア人は1が数であるかどうかさえ疑問視していた。^{[ 28 ]}）   

メキシコ中南部のオルメカ文明後期の人々は、紀元前38年までに新世界でゼロのプレースホルダー記号 である貝殻の象形文字を使い始めた。^{[ 30 ]}ゼロを基数として発展させ、それを彼らの数字体系とマヤ暦で用いたのはマヤ人であった。^{[ 31 ]}マヤ人は、多数の点（基数5）と多数の棒（基数4）を組み合わせることで、基数20の数字体系を使用した。 ^{[ 29 ]} 1961年にジョージ・I・サンチェスは、基数4、基数5の「指」そろばんについて報告した。^{[ 32 ] [ 33 ]}    

西暦130年までに、ヒッパルコスとバビロニア人の影響を受けたプトレマイオスは、アルファベットのギリシャ数字を使用する六十進法の中で、0を表す記号（長い上線が付いた小さな円）を使用していた。^{[ 34 ]}これは単なるプレースホルダーとしてではなく、単独で使用されたため、このヘレニズムのゼロは、旧世界で初めて記録された真のゼロの使用例となった。彼の『数学の構文』（アルマゲスト）の後のビザンツ写本では、ヘレニズムのゼロはギリシャ文字のオミクロンに変化した^{[ 35 ]}（イソプセフィーでは70を意味する^{[ 36 ]}）。  

真のゼロは、525年までにローマ数字とともに表で使用されていました（最初に知られているのはディオニュシウス・エクシグウスによる使用）。しかし、それは「何もない」という意味の単語nullaとしてであり、記号としてではありませんでした。 ^{[ 37 ]}除算で余りが0になった場合は、「何もない」という意味のnihil が使用されました。これらの中世のゼロは、後のすべての中世の計算機（イースターの計算機）によって使用されました。^{[ 38 ]} 725 年頃、ベーダまたは同僚がローマ数字の表で、その頭文字である N を単独で使用しました。これは真のゼロ記号です。 

負の数の抽象概念は、紀元前100～50年頃には中国で認識されていました。『九章算術』には図形の面積を求める方法が記載されており、正の係数には赤い棒、負の係数には黒い棒が使われていました。^{[ 39 ]}西洋の著作で最初に言及されたのは、紀元3 世紀のギリシャです。ディオファントスは『算術』の中で、4x + 20 = 0 (解は負)に相当する方程式に言及し、その方程式は不合理な結果をもたらすと述べています。^{[ 40 ]}

600 年代には、インドでは負債を表すために負の数が使用されていました。ディオファントスの以前の言及は、インドの数学者ブラフマグプタが 628 年に著した『ブラフマスプタシッダーンタ』でより明確に論じられており、彼は負の数を使用して今日でも使用されている一般形の二次方程式の解の公式を導き出しました。しかし、12 世紀のインドでは、バースカラが二次方程式に負の根を与えていますが、負の値は「この場合、不適切であるため採用すべきではない。人々は負の根を認めない」と述べています。^{[ 41 ]}

ヨーロッパの数学者は、17 世紀まで、ほとんど負の数の概念に抵抗していたが、 [ ^{41 ]フィボナッチ}は、負の解を負債として解釈できる金融問題（『算盤 の書』第 13章、1202 年）や、後に損失（『フロス』）として解釈できる金融問題で負の解を認めた。ルネ デカルトは、負の解が代数多項式に現れることから、それを偽の根と呼んだが、真の根と偽の根を入れ替える方法も発見した。^{[ 42 ]}同時に、中国人は、対応する正の数の数字の右端のゼロ以外の数字に斜線を引くことで負の数を表していた。^{[ 43 ]}負の数に関する初期のヨーロッパの実験者は、15 世紀のニコラ シュケであった。彼は負の数を指数として使用したが、^{[ 44 ]}それらを「不条理な数」と呼んだ。 

18世紀頃までは、方程式から得られる負の値は無意味であるという前提で、それらを無視するのが一般的だった。

分数の概念は先史時代にまで遡る可能性が高い。^{[ 41 ]}古代エジプト人は、リンド数学パピルスやカフンパピルスなどの数学文書で、有理数を表すためにエジプト式分数表記法を使用していた。^{[ 46 ]}リンドパピルスには、円の直径から円の面積を導出する例が含まれており、πの推定値は次のようになる。${\textstyle {\bigl (}{\frac {16}{9}}{\bigr )}^{2}}$≈ 3.16049.... ^{[ 18 ]}古代ギリシャとインドの数学者は、数論の一般的な研究の一部として、有理数の理論を研究しました。^{[ 47 ] [ 41 ]}これらの特に影響力のある例は、紀元前 300 年頃に遡るユークリッドの『原論』 です。^{[ 48 ]}インドの文献の中で最も関連があるのは、数学の一般的な研究の一部として数論も扱っている『スタナンガ・スートラ』です。^{[ 41 ]}

小数の概念は、位取り記数法と密接に関連しており、両者は並行して発展してきたようです。例えば、ジャイナ教の数学経典には、円周率や2の平方根の小数近似値の計算が含まれていることがよくあります。同様に、バビロニアの数学文献では、六十進法（60を基数とする）の分数が使用されていました。^{[ 49 ]} 

バビロニア人は紀元前1800年という早い時期に、粘土板YBC 7289のように、√2などの無理数の数値近似を小数点以下6桁に相当する精度で示しました。^{[ 50 ]}これらの値は主に幾何学や土地測量における実用的な計算に使用されました。^{[ 51 ]}紀元前800年から500年の間に編纂されたインドのシュルバ・スートラにも無理数の実用的な近似がありました 。^{[ 52 ]}

無理数の存在を最初に証明したのはピタゴラス、より具体的にはピタゴラス派のヒッパソスであるとされており、彼は（おそらく幾何学的な）2の平方根の無理性の証明を出した。^{[ 53 ]}ヒッパソスは2の平方根を分数で表そうとしたときに無理数を発見したという話がある。しかし、ピタゴラスは数の絶対性を信じていた。彼は無理数の存在を否定することも、受け入れることもできなかったので、伝説によれば、この不穏なニュースが広まるのを阻止するために、ヒッパソスを溺死刑に処したという。^{[ 54 ]}

16 世紀には、負の整数と分数がヨーロッパで最終的に受け入れられました。17 世紀までに、数学者は一般的に現代の表記法で小数を使用しました。実数の概念は、17 世紀にルネ デカルトによって導入されました。^{[ 55 ]} 1683 年にヤコブ ベルヌーイは複利を研究しているときに、複利計算の間隔がどんどん短くなるにつれて、指数関数的成長率が2.71828... の底に収束することを発見しました。この重要な数学定数は、後にオイラー数( e )と名付けられました。^{[ 56 ]} 18 世紀には、レオンハルト オイラーによって無理数が単純な連分数が有限でない数であり、オイラー数 ( e ) が無理数であることを証明し、無理数が体系的に研究されるようになりました。^{[ 57 ]} 1761 年に、ヨハン ランベルトによってπの無理性が証明されました。^{[ 58 ]}

実数、ひいては無理数が厳密に定義されたのは19世紀後半であり、オーギュスタン＝ルイ・コーシー、シャルル・メレー（1869年）、カール・ヴァイエルシュトラス（1872年）、エドゥアルト・ハイネ（1872年）^{[ 59 ]} 、ゲオルク・カントール（1883年）^{[ 60 ]}、リヒャルト・デデキント（1872年）^{[ 61 ]らの研究によるものである。}

超越数とは、整数係数の多項式の根ではない数値のことです。つまり、代数的数ではないため、すべての有理数は含まれません。^{[ 62 ]}超越数の存在は、最初にリウヴィル（1844年、1851年）によって確立されました。^{[ 63 ]}エルミートは1873年にeが超越数であることを証明し、リンデマンは1882年にπが超越数であることを証明しました。^{[ 64 ]}最後に、カントールは、すべての実数の集合は非可算無限であるが、すべての代数的数の集合は可算無限であるため、非可算無限個の超越数が存在することを示しました。^{[ 65 ]}

数学では、無限は数ではなく抽象的な概念とみなされます。無限は「どんな数よりも大きい」のではなく、終わりがないという性質です。 ^{[ 66 ]}数学的無限の最も古い概念は、古代インドの文献であるヤジュルヴェーダに現れ、ある箇所で「全体から全体を引くと、残りは依然として全体である」と述べています。 [ 67 ]無限は紀元前400年頃のジャイナ^教の数学者の間で哲学研究の人気の高いテーマでした。彼ら^は、1方向と2方向の無限、面積の無限、あらゆる場所の無限、そして永久に無限の5種類の無限を区別しました。^{[ 68 ]} 

アリストテレスは、西洋における数学的無限の伝統的な概念を定義した。彼は現実の無限と潜在的無限を区別し、後者のみが真の値を持つというのが一般的な見解であった。^{[ 69 ]}ガリレオ・ガリレイの『二つの新科学』では、ガリレオのパラドックスとして知られる、無限集合間の1対1対応の考え方が論じられた。^{[ 70 ]}この理論における次の大きな進歩はゲオルク・カントールによってなされた。彼は1895年に自身の新しい集合論に関する著書を出版し、とりわけ超限数を導入し、連続体仮説を定式化した。^{[ 65 ]}記号${\displaystyle {\text{∞}}}$無限量を表すためによく使われる は、1655 年にジョン・ウォリスによって数学の文脈で初めて導入されました。 ^{[ 71 ]}

1960年代、アブラハム・ロビンソンは、無限大の数と無限小の数を厳密に定義し、非標準解析の分野を発展させるために使用できることを示した。^{[ 72 ] [ 73 ]}超実数体系は、ニュートンとライプニッツによる微積分学の発明以来、数学者、科学者、技術者によって何気なく使用されてきた無限数と無限小の数に関する考え方を扱うための厳密な方法を表している。^{[ 74 ]}

無限の現代的な幾何学的バージョンは射影幾何学によって与えられ、空間の各方向ごとに「無限遠の理想点」が導入されます。特定の方向にある平行線の族は、対応する理想点に収束すると仮定されます。これは透視図法における消失点の概念と密接に関連しています。^{[ 75 ]}

負の数の平方根に関する最も初期の短い言及は、紀元1世紀の数学者で発明家のアレクサンドリアのヘロンの著作に見られ、彼は不可能なピラミッドの円錐台の体積を考察した。[76] 16世紀にニッコロ・フォンタナ・タルタリアやジェロラモ・カルダーノなど^{のイタリアの}数学者によって3次および4次多項式の根の閉じた公式が発見されたとき、それらはより重要になった。これらの公式は、実数解のみに興味がある場合でも、負の数の平方根の操作を必要とする場合があることがすぐに認識された。^{[ 77 ]} 

これは、当時負の数さえ確固たる根拠があるとは考えられていなかったため、二重に不安を掻き立てるものであった。ルネ・デカルトは、1637年にこれらの量に対して「虚数」という用語を造語したとされることがあるが、これは蔑称として用いられた。^{[ 78 ]} （複素数の「実在性」については虚数を参照。）さらに混乱を招いたのは、方程式が

${\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$

代数的恒等式と気まぐれに矛盾しているように見えた

${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}$

これは正の実数aとbに対して有効であり、またaとbの一方が正で他方が負である複素数計算にも使用されていました。この恒等式と関連する恒等式の誤った使用は

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$

aとbの両方が負の場合、オイラーでさえ悩まされた。^{[ 79 ]}この困難は最終的に、彼に特別な記号iを代わりに使う慣習をもたらした。${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$この間違いを防ぐために。

18世紀には、アブラハム・ド・モアブルとレオンハルト・オイラーの研究が行われた。ド・モアブルの公式（1730年）は次の通りである。^{[ 80 ]}

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }$

一方、オイラーの複素解析の公式（1748年）は、次のような結果を示した。

${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.}$

この公式の特殊な場合として、オイラーの等式が得られる。

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

数学における最も基本的な数の間に深い関連性があることを示している。^{[ 81 ]}

複素数の存在は、 1799年にカスパー・ヴェッセルが幾何学的解釈を記述するまで完全には受け入れられていなかった。数年後、カール・フリードリヒ・ガウスがそれを再発見し普及させた結果、複素数論は著しい発展を遂げた。^{[ 82 ]}しかし、複素数の図式表現のアイデアは、1685年のウォリスの『De algebra tractatus』にすでに現れていた。^{[ 83 ]}

同年、ガウスは代数学の基本定理の最初の一般に受け入れられた証明を提供し、複素数上のすべての多項式がその領域で完全な解の集合を持つことを示した。ガウスは、a と b が整数 (現在ではガウス整数と呼ばれる) または有理数であるa + biの形の複素数を研究した。[ 84 ]^彼の弟子であるゴットホルト・アイゼンシュタインは、 ωがx ³ − 1 = 0の複素根(現在ではアイゼンシュタイン整数と呼ばれる)であるa + bωの型を研究した。複素数の他のクラス (円分体と呼ばれる) は、 kの値が大きい場合の単位根x ^k − 1 = 0から派生する。この一般化は主にエルンスト・クンマーによるもので、彼はまた、1893 年にフェリックス・クラインによって幾何学的実体として表現された理想数も発明した。

1850年、ヴィクトル・アレクサンドル・ピュイゾーは極と分岐点を区別するという重要な一歩を踏み出し、本質的特異点の概念を導入した。これは最終的に拡張複素平面の概念へとつながった。

素数は、記録された歴史を通じて研究されてきた可能性がある。素数は、2 つのより小さい自然数の積ではない自然数である。イシャンゴ骨には、10 から 20 までの素数のリストが含まれていると示唆されている。 ^{[ 85 ]}リンド・パピルスには、素数のさまざまな形式が示されている。しかし、素数の正式な研究は、古代ギリシャ人によって最初に記録された。ユークリッドは、『原論』の 1 巻を素数の理論に捧げ、その中で素数の無限性と算術の基本定理を証明し、 2 つの数の最大公約数を見つけるためのユークリッドのアルゴリズムを示した。^{[ 86 ]}

紀元前240年、エラトステネスはエラトステネスの篩を使って素数を素早く分離した。しかし、ヨーロッパにおける素数理論のその後の発展のほとんどはルネサンス期以降に遡る。西暦1000年頃、イブ​​ン・アル＝ハイサムはウィルソンの定理を発見した。イブン・アル＝バンナ・アル＝マラクーシは、数の平方根までしかテストしないことでエラトステネスの篩を高速化する方法を発見した。フィボナッチはイスラムの数学的貢献をヨーロッパに伝え、1202年に試行除法を初めて記述した。^{[ 86 ]}

1796年、アドリアン＝マリー・ルジャンドルは素数の漸近分布を記述する素数定理を予想した。^{[ 87 ]}素数の分布に関するその他の結果には、素数の逆数の和が発散するというオイラーの証明^{[ 88 ]} 、および十分に大きな偶数は2つの素数の和であると主張するゴールドバッハ予想[ ⁸⁹ ]がある。素数の分布に関連するもう1つの予想は、 1859年にベルンハルト・リーマンによって定式化されたリーマン予想である^{。[90]素数定理は}、 1896年にジャック・アダマールとシャルル・ド・ラ・ヴァレ＝プーサンによって最終的に証明された^{。[ 87 ]}ゴールドバッハ予想とリーマン予想は未だ証明も反駁もされていない。

数字は歴史を通じて、また多くの文化において、文化的、象徴的、宗教的な意義を持ち続けてきた。^{[ 12 ] [ 91 ] [ 92 ] [ 93 ]}古代ギリシャでは、数の象徴主義がギリシャ数学の発展に大きな影響を与え、今日でも関心を集めている数論の多くの問題の研究を刺激した。^{[ 12 ]}プラトンによれば、ピタゴラス派は特定の数に特定の特性と意味を帰属させ、「物自体が数である」と信じていた。^{[ 94 ]}

さまざまな文化の民話では特定の数字が好まれており、ヨーロッパ文化では3と7が特別な意味を持ち、中国の民話では4と5がより顕著である。^{[ 95 ]}数字は幸運と関連付けられることもあり、西洋社会では13は不吉な数字と考えられているが、中国文化では8は縁起が良いと考えられている。^{[ 96 ]}

最もよく知られている数は自然数（整数または数え数とも呼ばれる）で、1、2、3などです。伝統的に、自然数の数列は 1から始まります（古代ギリシャ人にとって0は数とはみなされていませんでした）。しかし、19 世紀になると、集合論者やその他の数学者は、自然数の集合に 0（空集合の濃度、つまり0個の要素。したがって0は最小の基数）を含めるようになりました。 ^{[ 98 ] [ 99 ]}今日では、さまざまな数学者が、0を含むか含まないかにかかわらず、両方の集合を表すのにこの用語を使用しています。すべての自然数の集合の数学記号はNで、   ${\displaystyle \mathbb {N} }$[ ^{97 ]そして}時には${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$^{[ 100 ]}または${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$^{[ 101 ]}セットがそれぞれ 0 または 1 から始まるべきかを示す必要がある場合。

今日では数学演算にほぼ普遍的に使用されている10進数体系では、自然数の記号は0、1、2、3、4、5、6、7、8、9の10個の数字で表されます。基数または基数とは、数体系が数を表すために使用する、0を含む固有の数字の数です（10進数体系では基数は10です）。この 10進数体系では、自然数の右端の桁は1の位取り を持ち、他のすべての桁は、その右隣の桁の位取りの10倍の位取りを持ちます。^{[ 102 ]}

集合論は、現代数学の公理的基礎として機能することができ、^{[ 103 ]}自然数は同値な集合のクラスで表すことができます。たとえば、数 3 は、ちょうど 3 つの要素を持つすべての集合のクラスとして表すことができます。あるいは、ペアノ算術では、数3 はS ( S ( S (0))) として表されます。ここで、 Sは「後継」関数です (つまり、3 は 0 の 3 番目の後継です)。^{[ 104 ]}さまざまな表現が可能です。3 を形式的に表すために必要なのは、特定の記号または記号のパターンを 3 回書き込むことだけです。   

 正の整数の負の数は、対応する正の整数に加えると0になる数として定義されます。負の数は通常、負の符号（マイナス記号）を付けて表記されます。例えば、 7の負の数は -7と表記され、7 + (-7) = 0となります。負の数の集合と自然数（0を含む）の集合を組み合わせると、整数 の集合Zが定義されます。ZはZとも表記されます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$[ ^{97 ]}ここで文字 Z はドイツ語のZahl 「数」に由来します。整数の集合は加算と乗算の演算を持つ^環を形成します。 ^{[ 106 ]} 

自然数は整数の部分集合を形成します。自然数にゼロを含めるか否かについて共通の基準がないため、ゼロを含まない自然数は一般的に正の整数と呼ばれ、ゼロを含む自然数は非負の整数と呼ばれます。

有理数とは、整数分子と正の整数分母を持つ分数として表せる数のことです。負の分母も許容されますが、すべての有理数は正の分母を持つ分数に等しいので、一般的には避けられます。^{[ 107 ]}分数は、分子と分母という 2 つの整数と、その間に区切り線を引いた形で表されます。分数⁠ m / n ⁠は、全体をn個の等しい部分にm分割したものを表します。2 つの異なる分数が同じ有理数に対応することがあります。たとえば、⁠ 1 / 2 ⁠と⁠ 2 / 4 ⁠は等しく、つまり次のようになります。^{[ 108 ]}

${\displaystyle {1 \over 2}={2 \over 4}.}$

一般的に、^{[ b ]}

${\displaystyle {a \over b}={c \over d}}$かつその場合に限り${\displaystyle {a\times d}={c\times b}.}$

mの絶対値がn (正であると仮定)より大きい場合、分数の絶対値は 1 より大きくなり、仮分数またはトップヘビー分数と呼ばれます。^{[ 109 ]}分数は 1 より大きい、小さい、または等しい場合があり^{[ 107 ]}、また、正、負、または 0 になることもあります。すべての有理数の集合には整数が含まれます。なぜなら、すべての整数は分母が1 の分数として表すことができるからです。たとえば、−7 は−7 / 1と書くことができます。有理数の記号はQ (商) で、      ${\displaystyle \mathbb {Q} }$[ ^{97 ]​}

実数の記号はRで、次のように表記されます。${\displaystyle \mathbb {R} .}$^{[ 97 ]}それらにはすべての測定数が含まれます。すべての実数は数直線上の点に対応します。負の実数の扱いは算術の一般規則に従い、その表記は対応する正の数の前にマイナス記号を付けるだけです。例: −123.456。

小数点の右側の各桁の位の値は、左側の桁の位の値の 10 分の 1 です。たとえば、123.456 は123456 / 1000を表し、言葉で表すと、100、20、31、40 分の 1、500 分の 1、6000 分の 1 です。実数は、有理数であり、その小数部分の分母の素因数が 2 または 5 またはその両方である場合に限り、有限個の小数桁で表すことができます。これは、10 が十進法の基数であるためです。したがって、たとえば、2分の 1 は 0.5、5 分の 1 は 0.2、10 分の 1 は 0.1、50 分の 1 は 0.02 です。

無理数

有理数でない実数を小数で表すと、小数点の右側に無限に続く様々な数字の列が必要になります。このような実数は無理数と呼ばれます。有名な無理数の一つにπ （円周率）があります^{[ 58 ]。π}は円周と直径の比です。πは次のように表されます。

${\displaystyle \pi =3.14159265358979\dots ,}$

時々あるように、省略記号は小数が循環することを意味するのではなく（循環しません）、小数が無限に続くことを意味します。π は無理数であることが証明されています。無理数であることが証明されているもう 1 つの有名な数は、

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\dots ,}$

2の平方根、つまり、2乗すると2になる唯一の正の実数。^{[ 113 ]}これらの数は両方とも、（コンピュータによって）数兆（1兆＝^10¹²＝1,000,000,000,000）桁まで近似されている。^{[ 114 ] [ 115 ]}

実数のほとんどは無理数であり、繰り返しパターンを持たないため、対応する十進数はありません。実数は、位取りが 1 の数字の右側に小数点が置かれた、丸められた実数または切り捨てられた実数を表す十進数で近似することしかできません。丸められた数または切り捨てられた数は必ず有理数であり、有理数は可算個しかありません。 

すべての測定値は、その性質上、近似値であり、常に誤差範囲があります。したがって、123.456 は、区間内の任意の実数の近似値とみなされます。

${\displaystyle \left[{\tfrac {12345{\mathit {55}}}{10000}},{\tfrac {12345{\mathit {65}}}{10000}}\right)}$

小数点以下3桁に丸める場合、または次の区間内の任意の実数の場合：

${\displaystyle \left[{\tfrac {123456}{1000}},{\tfrac {123457}{1000}}\right)}$

小数点以下第3位以降を切り捨てる場合、測定値自体よりも高い精度を示唆する桁は削除する必要があります。残った桁は有効数字と呼ばれます。

例えば、定規を使った測定では、少なくとも 0.001 mの誤差が生じることはほとんどない。長方形の辺の長さが 1.23  m と 4.56  m と測定された場合、乗算すると長方形の面積は5.614591 m ²から5.603011 m ²の間になる。小数点以下の 2 桁目も保持されないため、それ以降の桁は有効ではない。したがって、結果は通常5.61 m ²に丸められる。^{[ 117 ]}

より抽象度の高いレベルでは、実数は複素数に拡張できます。2次以上の多項式の完全な解集合には、負の数の平方根が含まれる場合があります。（例：${\displaystyle x^{2}+1=0}$[ ^{119 ]} ) これを分かりやすく表現するために、 −1の平方根はiで表され、これ^はレオンハルト・オイラーによって虚数単位と呼ばれる記号として割り当てられた。^{[ 120 ]}したがって、複素数は次の形式のすべての値から構成される。 

${\displaystyle \,a+bi}$

ここで、aとbは実数です。このため、複素数は複素平面上の点に対応します。複素平面は、2 つの実次元のベクトル空間です。式a + biにおいて、実数aは実部、bは虚部と呼ばれます。^{[ 120 ]}

複素数の実部が 0 の場合、その数は虚数または純虚数と呼ばれます。^{[ 120 ]}虚部が 0 の場合、その数は実数です。したがって、実数は複素数の部分集合です。複素数の実部と虚部が両方とも整数の場合、その数はガウス整数と呼ばれます。^{[ 121 ]}複素数の記号はCまたはです。${\displaystyle \mathbb {C} }$[ ^{97 ]​}

代数学の基本定理は、複素数が代数的に閉じた体を形成すると主張しており、これは複素係数を持つすべての多項式が複素数に根を持つことを意味します。 ^{[ 122 ]}実数と同様に、複素数も完備な体を形成しますが、実数とは異なり、順序付けられていません。^{[ 123 ]}つまり、i が1より大きいと言うことに一貫した意味を割り当てることはできず、 i が1より小さいと言うことにも意味はありません。専門用語で言えば、複素数には体演算と互換性のある全順序がありません。  

複素解析は、複素数の関数を研究する数学解析の一分野です。物理問題の解決に役立ち、現代の数学、工学、科学で広く使用されています。応用例としては、流体力学、制御理論、信号処理、数論、微分方程式の解法などがあります。^{[ 124 ]}複素数は量子力学の基本的な側面であるように思われます。量子力学は実数のみを使用して定式化することはできません。^{[ 125 ]}

偶数とは、2で割り切れる整数、つまり余りなく2で割り切れる整数のことです。奇数とは、偶数ではない整数のことです。^{[ 126 ]} (昔ながらの「割り切れる」という表現は、今ではほとんどの場合「割り切れる」と略されます。) この整数の性質をパリティと呼びます。^{[ 127 ]}任意の奇数nは、適切な整数kを用いて、 n = 2k + 1という式で表すことができます。k = 0から始めて、最初の非負の奇数は{1, 3, 5, 7, ...}です。任意の偶数mは、 m = 2kという形で表され、ここでkは再び整数です。同様に、最初の非負の偶数は{0, 2, 4, 6, ...}です。偶数と整数の積は別の偶数になります。奇数と奇数の積だけが別の奇数になります。^{[ 126 ]}

素数（しばしば単にプライムと略される）とは、1より大きい整数で、2つのより小さい正の整数の積ではない数のことである。最初のいくつかの素数は、2、3、5、7、11である。奇数や偶数のように、素数を生成するための単純な公式はない。メルセンヌ素数は特別なクラスであり、 2 ⁿ − 1の形の素数である（nは正の整数）。これらは、発見された最大の素数の多くの記録を保持している。^{[ 129 ]}

素数の研究は多くの疑問を生み出し、そのうちのいくつかにしか答えが出ていない。これらの疑問の研究は数論に属する。^{[ 12 ]}ゴールドバッハ予想は未解決の疑問の一例である。「すべての偶数は2つの素数の和で表せるか？」^{[ 89 ]} 1より大きいすべての整数は、素数の並べ替えを除いて、ただ1つの方法で素数の積で表されるかどうかという疑問には答えが出ており、この証明された主張は算術の基本定理と呼ばれている。証明はユークリッドの『原論』に掲載されている。^{[ 86 ]}

現代社会では、素数は公開鍵暗号、デジタル署名、擬似乱数生成、信号処理、デジタル画像処理のためのデータフィルタリングなど、多くの重要な用途があります。^{[ 130 ]}素数はハッシュテーブル^{[ 131 ]}やエラー検出コード（ ISBNやISSNで使用されるものなど）にも役立ちます。^{[ 132 ]}

自然数の多くの部分集合は、特定の研究の対象となっており、多くの場合、最初に研究した数学者の名前が付けられています。そのような整数の集合の例としては、ベルヌーイ数^{[ 133 ]} 、フィボナッチ数、ルーカス数^{[ 134 ]}、完全数^{[ 135 ]}などがあります。その他の例については、「整数列」を参照してください。

代数的数とは、整数係数を持つ多項式方程式の解となる数のことです。有理数でない実数は無理数と呼ばれます。代数的数でない複素数は超越数と呼ばれます。^{[ 62 ]}整数係数を持つ単項式多項式方程式の解となる代数的数は、代数的整数と呼ばれます。^{[ 136 ]}

周期とは、代数領域上の代数関数の積分として表すことができる複素数です。周期は、代数的数に加えて、π などの多くのよく知られた数学定数を含む数のクラスです。周期の集合は可算環を形成し、代数的数と超越数の間のギャップを埋めます。^{[ 137 ] [ 138 ]}

被積分関数を代数関数と代数関数の指数関数の積とすることで、周期を拡張することができます。これにより、別の可算環、すなわち指数周期が得られます。数eとオイラー定数は指数周期です。^{[ 137 ] [ 139 ]}

定規とコンパスを用いた作図の古典的な問題に触発されて、作図可能な数とは、与えられた単位長さの線分から始めて、有限のステップで定規とコンパスを用いて実部と虚部を作図できる複素数のことである。^{[ 140 ]}関連する主題として、紙を折って作図する点である折り紙数がある。^{[ 141 ]}

計算可能数（再帰数とも呼ばれる）とは、正の数nを入力として与えられたときに、計算可能数の十進数表現の最初のn桁を生成するアルゴリズムが存在する実数である。 ^{[ 142 ]}同等の定義は、μ-再帰関数、チューリングマシン、またはλ-計算を使用して与えることができる。^{[ 143 ]}計算可能数は、多項式の根の計算を含むすべての通常の算術演算に対して安定しており、したがって実代数的数を含む実閉体を形成する。^{[ 144 ]}

計算可能な数は、コンピュータ上で正確に表現できる実数と見なすことができます。計算可能な数は、最初の桁と、残りの桁を計算するプログラムによって正確に表現されます。しかし、計算可能な数は実際にはほとんど使用されていません。その理由の一つは、2つの計算可能な数が等しいかどうかを判定するアルゴリズムが存在しないことです。より正確に言えば、任意の計算可能な数を入力として受け取り、その数がゼロに等しいかどうかを常に判定できるアルゴリズムは存在しません。

計算可能な数の集合は、自然数と同じ濃度を持つ。したがって、ほとんどすべての実数は計算不可能である。しかし、計算不可能な実数を明示的に作り出すことは非常に難しい。

p進数は、実数が小数点の右側に無限に長い展開を持つのと同様に、小数点の左側に無限に長い展開を持つことができます。結果として得られる数体系は、桁に使用される基数に依存します。任意の基数が可能ですが、素数基数が最良の数学的性質を提供します。p進数の集合には有理数が含まれますが、^{[ 145 ] [ 146 ]}複素数には含まれません。

有限体上の代数関数体の要素と代数的数は、多くの類似した性質を持つ（「関数体との類推」を参照）。そのため、数論学者はしばしばこれらを数とみなす。p進数は、この類推において重要な役割を果たす。

実数からより高次元の数体系を構築することができる。${\displaystyle \mathbb {R} }$複素数の構成を一般化する形で、これらはハイパー複素数と呼ばれることもあり、複素数の集合には含まれません。これらには四元数が含まれます。${\displaystyle \mathbb {H} }$ウィリアム・ローワン・ハミルトン卿によって導入された、乗法が可換でない数体系。^{[ 147 ]}八元数${\displaystyle \mathbb {O} }$乗法は交換法則を満たさないだけでなく結合法則も満たさない。 ^{[ 148 ]}そしてセデニオン${\displaystyle \mathbb {S} }$乗法が選択的でも結合的でも交換的でもない。^{[ 149 ]}超複素数には、1 つの実数単位と${\displaystyle 2^{n}-1}$nは非負の整数である虚数単位です。例えば、四元数は一般的に次の形式で表すことができます。

$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}$$

ここで、係数a、b、c、dは実数であり、i、j、kは 3 つの異なる虚数単位である。^{[ 148 ]}

各ハイパー複素数系は、ケイリー・ディクソン構成によって得られる次の2次元ハイパー複素数系の部分集合である。^{[ 150 ]}例えば、4次元四元数は${\displaystyle \mathbb {H} }$は8次元八元数のサブセットである${\displaystyle \mathbb {O} }$これらは、16次元セデニオンのサブセットである。${\displaystyle \mathbb {S} }$32次元トリギンタデュオニオンのサブセット${\displaystyle \mathbb {T} }$、そして無限に${\displaystyle 2^{n}}$nは任意の非負整数である次元。複素数と実数およびそれらの部分集合を含めて、これは次のように記号的に表すことができる。 ^{[ 150 ]}

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} \subset \mathbb {T} \subset \cdots }$

あるいは、実数から始める${\displaystyle \mathbb {R} }$複素単位がゼロであるため、これは次のように表すことができます。

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}\subset {\mathcal {C}}_{1}\subset {\mathcal {C}}_{2}\subset {\mathcal {C}}_{3}\subset {\mathcal {C}}_{4}\subset {\mathcal {C}}_{5}\subset \cdots \subset {\mathcal {C}}_{n}}$

と${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$含む${\displaystyle 2^{n}}$寸法。^{[ 151 ]}

四元数は、3 次元の回転の計算に特に有用であることが証明されています。たとえば、ロケットや航空機の制御システム、ロボット工学、コンピュータの視覚化、ナビゲーション、アニメーションなどに使用されています。^{[ 152 ]}八元数は、特に弦理論、M 理論、超重力において、物理学とのより深い理論的つながりがあるようです。^{[ 153 ]}

無限集合を扱う場合、自然数は順序数と基数に一般化される。前者は集合の順序を表し、後者はその大きさを表す。有限集合の場合、順序数と基数はどちらも自然数と同一視される。無限集合の場合、多くの順序数が同じ基数に対応する。^{[ 154 ]}

超実数は非標準解析で使用されます。超実数、または非標準実数（通常は * Rと表記）は、実数の順序体Rの適切な拡張であり、転送原理を満たす順序体を表します。この原理により、Rに関する真の一階述語を * Rに関する真の一階述語として再解釈することができます。^{[ 155 ]}

超実数とシュール数は、無限小の数と無限大の数を加えることで実数を拡張しますが、それでも体を形成します。^{[ 156 ] [ 157 ]}